高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.1平面向量的概念(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念（一）向量的实际背景与概念在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。例1：给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个举一反三下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？（1）密度（2）体积（3）电阻（4）推进力（5）长度（6）加速度向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.（二）向量的几何表示对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。A起点BA起点B终点我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）向量的表示方法：几何表示：①用有向线段表示；字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：；③用字母、、等表示。问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）（①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作。注意与0的区别（及书写方法）。②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。例2：下列结论中正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．对任意向量，是一个单位向量D．零向量没有方向举一反三1．下列结论中，正确的是__．①零向量只有大小没有方向②对任一向量，||＞0总是成立的③||④与线段BA的长度不相等．2.图中，小正方形的边长为1，则||＝__，||＝__，||＝__．相等向量与共线向量1.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；2.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线.3.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.例3．（1）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和（2）．下列叙述：（1）单位向量都相等；（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（4）方向不同的两个向量一定不平行.其中正确的有________.(填所有正确的序号)举一反三1．下列说法正确的是（）A．向量就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若，则D．共线向量是在一条直线上的向量2．下列叙述中错误的是（多选）（）A．若，则B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量3．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．(1)共线向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？巩固提升一、单选题1．下列说法正确的是（）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量2．下列说法正确的个数为（）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数

④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．33．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．4．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题5．以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量6．下列说法正确的有（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线三、填空题7．已知，若，则________.8．有下列命题：①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；④方向相反的两个单位向量互为相反向量；⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为______．四、解答题9．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．10．1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．(1)在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？(2)是否存在的相反向量？6.1平面向量的概念（一）向量的实际背景与概念在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。例1：给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】【分析】既有方向，又有大小的量为向量【详解】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C举一反三下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？（1）密度（2）体积（3）电阻（4）推进力（5）长度（6）加速度向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.【答案】（4）（6）（1）（2）（3）（5）【解析】【分析】根据向量的概念进行判断即可.【详解】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：（4）（6）；（1）（2）（3）（5）.（二）向量的几何表示对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。A起点BA起点B终点我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）向量的表示方法：几何表示：①用有向线段表示；字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：；③用字母、、等表示。问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）（①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作。注意与0的区别（及书写方法）。②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。例2：下列结论中正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．对任意向量，是一个单位向量D．零向量没有方向【答案】B【解析】【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量与向量的模相等，B对；对于C选项，若，则无意义，C错；对于D选项，零向量的方向任意，D错.故选：B.举一反三1．下列结论中，正确的是__．①零向量只有大小没有方向②对任一向量，||＞0总是成立的③||④与线段BA的长度不相等．【答案】③【解析】【分析】根据向量的概念，逐项判断即可得解.【详解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小与方向是向量的两个要素，∴①不正确；②中，零向量的模为0，∴②不正确；③中，由于与方向相反大小相等，∴③正确；④中，与线段BA的长度相等，∴④不正确故答案为：③．2.图中，小正方形的边长为1，则||＝__，||＝__，||＝__．【答案】32【解析】【分析】根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.【详解】由题意可知：||3．||．||．故答案为：3；；2．相等向量与共线向量1.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；2.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线.3.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.例3．（1）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选：B.（2）．下列叙述：（1）单位向量都相等；（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（4）方向不同的两个向量一定不平行.其中正确的有________.(填所有正确的序号)【答案】（2）【解析】【分析】（1）单位向量的方向不一定相同，故不相等；（2）零向量方向不确定；（3）共线向量可以起点不同，终点相同；（4）方向相反的向量是平行的.【详解】（1）错误,单位向量模都相等，但是方向不一定相同.（2）正确,若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的.（3）错误,共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同.（4）错误,方向相反的两个向量一定平行.故答案为：（2）举一反三1．下列说法正确的是（）A．向量就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若，则D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【解析】【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若，则，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.2．下列叙述中错误的是（多选）（）A．若，则B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量【答案】ABC【解析】【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.故选：ABC.3．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．(1)共线向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？【答案】(1)与共线，与共线(2)与(3)无相同向量(4)【解析】【分析】（1）利用共线向量的定义判断，（2）利用相反向量的定义判断，（3）利用相同向量的定义判断，（4）求出各个向量的模进行判断(1)与共线，与共线(2)与是相反向量(3)图中无方向相同的向量，所以向量，，，，中无相同的向量(4)由图可知，所以模相等的向量为巩固提升一、单选题1．下列说法正确的是（）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，故未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.2．下列说法正确的个数为（）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数

④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】①错误，只有速度，位移是向量．②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．③错误，④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．故选：A.3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】方向相同，模长相等的向量为相等向量.【详解】AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.故选：D4．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根据物理量的定义及性质判断是否为向量即可.【详解】根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，∴③④⑤是向量，①②是标量.故选：C二、多选题5．以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答.【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.故选：AD6．下列说法正确的有（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线【答案】BD【解析】【分析】取可判断AC选项的正误；利用向量相等的定义可判断B选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；对于B选项