高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究一数列的求和(原卷版+解析)

专题研究一数列的求和编写：廖云波题型一倒序相加法求和【例1-1】已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046归纳总结：【练习1-1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若，则（

）A．2018 B．4036 C．2019 D．4038题型二列项相消法【例2-1】数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.【例2-2】已知等差数列满足：，，的前项和为．(1)求及；(2)令，求数列的前项和．【例2-3】已知数列的首项为3，且．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【例2-4】在数列中，，且对任意的，都有.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.归纳总结：【练习2-1】已知数列的前项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知__________，求数列的前项和．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．条件：①；

②；③题型三错位相减【例3-1】在等差数列中，已知，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.归纳总结：【练习3-1】设数列的前n项和分别为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前n项和.题型四奇偶项求和【例4-1】设数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列和的前10项的和．归纳总结：【练习4-1】已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，求【请完成课时作业（四十）】

【课时作业（四十）】1．已知等差数列的前项和为，则___________.2．数列满足，前16项和为540，则__．3．数列的通项公式为，前项和为，则＝________.4．已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．5．已知等比数列的公比大于1，，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.6．已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.7．已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和．

8．已知数列满足(1)记，写出，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前2022项和.9．已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.10．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.专题研究一数列的求和编写：廖云波题型一倒序相加法求和【例1-1】已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.【详解】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A归纳总结：【练习1-1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若，则（

）A．2018 B．4036 C．2019 D．4038【答案】D【分析】利用，再等差数列前𝑛项和的方法倒序相加法求和即可.【详解】，∵函数∴，令，则，∴，∴.故选：D.题型二列项相消法【例2-1】数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.【答案】【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】设数列的前项和为，因为，所以，，解得.故答案为：.【例2-2】已知等差数列满足：，，的前项和为．(1)求及；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差中项的知识，由，可得，即，由，可求得该数列公差，可得答案；（2）由（1）所得，根据裂项，可得，再求和，可得答案.（1）由，则，即，因此，数列的公差，即，且.（2）由，则，即.【例2-3】已知数列的首项为3，且．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明是等差数列；(2)对裂项求和即可.(1)因为，所，则，所以数列是以为首项，公差等于1的等差数列，∴，即；(2)，则；综上，，.【例2-4】在数列中，，且对任意的，都有.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由，可得，根据等比数列的定义和累加法求解即可.（2）利用分组求和和裂项相消求.（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以（2）由（1）得，所以归纳总结：【练习2-1】已知数列的前项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知__________，求数列的前项和．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．条件：①；

②；③【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由，利用，即可求得数列的通项公式；（2）分别选择条件①②③，求得数列的通项公式，结合乘公比错位相减法、裂项法和分类讨论，进而求得数列的前项和.(1)解：因为在数列中，．当时，；当时，，又因为也满足，所以数列的通项公式为．(2)解：选择条件①：由，可得，，两式相减得，故．选择条件②：由（1）知，所以∴.选择条件③：因为，当n为偶数时，；当n为奇数时，，综上所述：数列的前项和.题型三错位相减【例3-1】在等差数列中，已知，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的性质，结合已知条件计算公差，即可求解；（2）结合（1）中数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和即可.（1）解：因为数列为等差数列，，，设等差数列的公差为，则，解得，故.（2）解：因为，所以，则，，即，所以归纳总结：【练习3-1】设数列的前n项和分别为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据可得，利用即可求得；同理利用当时，可求得，利用等比数列的通项公式求得答案；（2）由（1）的结果可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.（1）由得，当时，，当时，也适合，故.由得，得，当时，，得，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以,综上所述：，.（2），所以，所以，所以，所以，所以.题型四奇偶项求和【例4-1】设数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列和的前10项的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.（1）由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.（2）当为偶数时，当为奇数时，，所以数列和的前10项的和：归纳总结：【练习4-1】已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前n项和为，求【答案】(1)，(2)【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，然后，列出方程组求解即可；（2）根据题意，化简得到，，然后，求出的前6项，即可求出.（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），∵，，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）知，，∴，∴，【请完成课时作业（四十）】

【课时作业（四十）】1．已知等差数列的前项和为，则___________.【答案】【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案为：2．数列满足，前16项和为540，则__．【答案】-2【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可【详解】因为数列满足，当为奇数时，，所以，，，，则，当为偶数时，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因为前16项和为540，所以，所以，解得．故答案为：．3．数列的通项公式为，前项和为，则＝________.【答案】【分析】根据题设中的通项公式，列举出数列的前几项，找出规律，然后根据规律求和.【详解】解：，，，，又的周期为，故答案为：4．已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．【答案】(1)an＝2n﹣1(2)证明见解析【分析】（1）由等比数列的性质，等差数列的通项公式列出关于的方程组，解出后可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，根据的单调性得证不等式成立．(1)设等差数列{an}的公差为d＞1，∵a2＝3，且a1+1，a3﹣1，a6﹣3成等比数列，∴a1+d＝3，＝（a1+1）（a6﹣3）即＝（a1+1）（a1+5d﹣3），解得a1＝1，d＝2．∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．(2)证明：＝＝，∴，∵Sn+1﹣Sn＝＞0，∴数列{Sn}单调递增，∴S1≤Sn＜，即≤Sn＜．5．已知等比数列的公比大于1，，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出公比，根据题目条件列方程求解；（2）先写出，利用裂项求和，分组求和的办法表示出.（1）设等比数列的公比为，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以的前项和为6．已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）分，与两种情况分析，当是，构造证明即可；（2）由（1）可得，再利用裂项求和求解，进而证明即可（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述7．已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据整数的性质可得或，从而可求，，从而可求.（2）利用错位相减法可求.(1)因为和的项均为正整数，所以前n项和也为正整数．又，从而得，所以得或，若，则，与的项均为正整数相矛盾，故不符合题意，所以，．当时，，当时，，所以同理，．(2)记的前n项和为，当时，，，所以；当时，则，①①，得，②由①-②得，化简得，而也符合该式，综上，的前n项和．8．已知数列满足(1)记，写出，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前2022项和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；（2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算．(1)，又(2)，则9．已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值为，最小值为【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式；（2）利用错位相减法即可求出；（3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出.(1)因为，所以，所以，又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，所以.(2)因为，所以①，②，①-②得，；(3)，记的前项和为，则，当为奇数时随着的增大而减小，