北师大版（2019）高一数学必修第一册1.3小结3-不等式 讲义（知识点+基础巩固检测）【新教材】

1.3小结3--不等式知识点与基础巩固检测题（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；(同向同正可乘)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）基本不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么变形：有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。基础巩固检测题一、单选题1．已知，，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．2．若，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．3．若，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．4．已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．5．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（）A．25 B．50 C．20 D．6．若，则（）A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为7．设，则（）A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N8．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．函数的最小值为（）A．9 B．6 C．5 D．211．若，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．12．已知，，，则下列各式中正确的是（）A． B．1 C．2 D．1二、填空题13．已知，则的最小值为______14．已知，则_______．（用“>”或“<”填空）15．若,,则的最小值为__________.16．若，且，则的最小值为__________.三、解答题17．已知.（1）已知x＞0，求y的最小值；（2）已知x＜0，求y的最大值．18．设，．（1）证明：介于与之间；（2）判断，哪个更接近于，并说明理由．19．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？20．已知，，，求证：（1）；（2）21．（1）已知，求的取值范围；（2）已知，且，求的取值范围．22．我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.（1）求函数的最大值；（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案1．C【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：，，.故选：C.2．C【分析】利用特殊值判断ABD，根据不等式的性质判断C；【详解】解：对于A：若，，显然满足，但是，故A错误；对于B：若，，显然满足，无意义，故B错误；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：若，，显然满足，但是无意义，故D错误；故选：C3．D【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】当时，ABC选项错误，对于D选项，，由于，所以，所以，D选项正确.故选:D4．B【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.【详解】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值．故选：B.5．B【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.【详解】由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，当且仅当m=n=±时等号成立.所以mn的最大值是.故选：B【点睛】关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.6．D【分析】由基本不等式，即可得出结果.【详解】,当且仅当取“=”所以故选：D7．A【分析】直接利用作差法判断即可【详解】解：因为，所以，故选：A8．B【分析】比较、、的大小，进而可得出、、的大小关系.【详解】，，又，即，又、、均为正数，所以，.故选：B.9．C【分析】由不等式的性质可求解【详解】，，故选：C10．C【分析】本题可通过基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，则，当且仅当时取等号，故函数的最小值为.故选：C.11．C【分析】应用特殊值：判断各项的正误，结合排除法即可确定正确选项.【详解】由题意，若，则：A：，错误；B：，错误；C：；D：，错误.∴由排除法知：C正确.故选：C.12．C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当时，，所以AB选项错误，同时，所以D选项错误.对于C选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以C选项正确.故选：C13．16【分析】先对变形得，然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16，故答案为：1614．>【分析】作差，判断差的符号可得答案.【详解】因为,又，，所以，所以，故答案为：>.15．8【分析】对原式化简，可得，再根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为又，，所以，所以;当且仅当时，即时取等号.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.16．【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可解得结果.【详解】，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17．（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可【详解】（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析【分析】（1）只要证明即可；（2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可．【详解】（1）证：∵，∴介于，之间；（2）解：∵，，更接近于．【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．19．（1）当时，取得最小值14；（2）当时，取得最大值36【分析】（1）设，，，然后利用基本不等式求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.（2）设，，，然后利用基本不等式求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.【详解】（1）设，，，由均值不等式，得，当且仅当时，取等号．由得，即当时，取得最小值14．（2）设，，，由均值不等式，得．当且仅当时，取等号．由得．即当时，取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.20．（1）详见解析；（2）详见解析。【分析】（1）由知道，再利用不等式的加法性质，相加，化简即可得证。（2）由（1）知，两边同时乘以即可得证。【详解】（1），，（2）又，【点睛】本题考查简单本等式的证明，属于基础题，解本类题的关键在于熟练掌握不等式的运算性质。21．（1）；（2）【分析】利用“一正”，“二定”，“三相等”，关键构造出定值，即可求解.【详解】解：（1）∵，∴，∴(当且仅当，即时，取“=”），故原式的取值范围为.（2）(当且仅当，即时，取“=”），故原式的