高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)9.2.4总体离散程度的估计(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

9.2.4总体离散程度的估计（讲义+例题+小练）样本方差与标准差设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为eq\x\to(x)，(1)样本方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)样本标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2])例：1．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（

）A．甲地：总体均值为，中位数为B．乙地：总体均值为，总体方差大于C．丙地：中位数为，众数为D．丁地：总体均值为，总体方差为2．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.3．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______．举一反三1．甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲、乙的平均数，，分别表示甲、乙的方差，则（

）A．， B．，C．， D．，2．现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则______.3．为了了解某体育院校新生的体能情况，该校随机抽查了名学生，测试1分钟引体向上的成绩（次数），成绩均在内，按次数分成4组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求的值；(2)以每组数据的中点值作为该组数据的代表值，估计新生引体向上的成绩的平均数和方差.巩固提升一、单选题1．高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（

）A．平均数 B．方差 C．极差 D．中位数2．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）．A类轮胎：94，96，99，99，105，107．B类轮胎：95，95，98，99，104，109．根据以上数据，下列说法正确的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定3．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（

）A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是4．设，随机变量X的分布列是XP现仅变动，的值为，使得E（X），D（X）的值均保持不变，则（

）A． B．C． D．5．已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（

）A．， B．， C．， D．，6．已知某班男女同学人数之比为，该班所有同学进行毽球（踢毽子）比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽球，在毽球落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽球则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（

）A．16，38 B．16，37 C．17，38 D．17，37二、多选题7．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（）A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．中位数为38．已知数据的平均数为，标准差为，则（

）A．数据的平均数为，标准差为B．数据的平均数为，标准差为C．数据的平均数为，方差为D．数据的平均数为，方差为三、填空题9．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，则此时方差________．10．已知数据，，，，，的方差为5，则数据，，，，，的方差为______．四、解答题11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲

6

9

7

8

8

5

6乙

a

3

9

8

9

6

4经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．(1)求实数a的值；(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？12．某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中B配方的频率分布直方图.药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出、两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于时为废品，指标值在为一等品，不小于为特等品.现把测量数据整理如下，其中配方废品有件.配方的频数分布表质量指标值分组频数(1)求实数、的值；(2)试确定配方和配方哪一种好?（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）9.2.4总体离散程度的估计（讲义+例题+小练）样本方差与标准差设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为eq\x\to(x)，(1)样本方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)样本标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2])例：1．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（

）A．甲地：总体均值为，中位数为B．乙地：总体均值为，总体方差大于C．丙地：中位数为，众数为D．丁地：总体均值为，总体方差为【答案】D【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超过人，故A不正确；乙地：总体均值为，说明乙地过去天新增疑似病例例，总体方差大于，有可能存在一天新增疑似病例超过人，故B不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例超过人，故C不正确；当总体平均数是，若有一个数据超过，则方差就超过，故D正确，故选：D.2．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.【答案】0【解析】【分析】根据中位数得到，即可得到平均数，要标准差最小，即最小，利用基本不等式求其最值即可.【详解】因为总体的中位数为90，所以，平均数为，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故.故答案为：03．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______．【答案】

11

54【解析】【分析】由平均数与方差的性质即可求解.【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为．故答案为：11，54.举一反三1．甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲、乙的平均数，，分别表示甲、乙的方差，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图中平均数的计算方法、数据的集中程度即可判断作答.【详解】因甲，乙两组数据采用相同的分组方法，则它们的分组各个中点值对应相同，设第1组到5组的中点值依次为，由两个频率分布直方图知，它们都关于过最中间一个小矩形下底边的中点且垂直于横轴的直线对称，即，令甲组数据从第一组到第五组的频率依次为，且，乙组数据从第一组到第五组的频率依次为，且，则，同理，因此，，由频率分布直方图知，乙组数据比甲组数据相对于平均数更集中，甲组数据波动较乙的大，则有，所以，.故选：B2．现有一组数据：1，3，4，6，7，7，21，设中位数为a，众数为b，方差为，则______.【答案】【解析】【分析】先求出中位数和众数，再求方差，然后可得结果.【详解】由题意可知中位数是6，众数是7，即，；平均数为，所以，所以.故答案为：.3．为了了解某体育院校新生的体能情况，该校随机抽查了名学生，测试1分钟引体向上的成绩（次数），成绩均在内，按次数分成4组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求的值；(2)以每组数据的中点值作为该组数据的代表值，估计新生引体向上的成绩的平均数和方差.【答案】(1)50(2)平均数的估计值为26，方差的估计值为20.25【解析】【分析】（1）根据频数总数频率即可求解；（2）由频率分布直方图求平均数的公式及方差公式即可求解.(1)解：根据频率分布直方图得第一组的频率为，所以，所以.(2)解：新生引体向上的成绩的平均数为，新生引体向上的成绩的方差为，所以新生引体向上的成绩的平均数的估计值为26，方差的估计值为20.25.巩固提升一、单选题1．高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（

）A．平均数 B．方差 C．极差 D．中位数【答案】D【解析】【分析】根据平均数、方差、极差、中位数的概念判断．【详解】如果后面的成绩非常差，平均数可能偏小，不能确定是否进前6，同样极差可能很大，也不能判断，方差只反映数据的稳定性，不能确定，中位数是中间的的一个数，是11个数据中的第6个，不比中位数小则为前6，因此知道中位数即可．故选：D．2．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）．A类轮胎：94，96，99，99，105，107．B类轮胎：95，95，98，99，104，109．根据以上数据，下列说法正确的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定【答案】D【解析】【分析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误．对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误．对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确．故选：D.3．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（

）A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是【答案】C【解析】【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义求解．【详解】解：对于选项A：因为，所以新数据的平均数为，故选项A正确，对于选项B：因为，所以新数据的方差为，故选项B正确，对于选项C：因为数据，，，的中位数为，所以新数据的中位数是，故选项C错误，对于选项D：设数据，，，中最大，最小（其中，，，，则，所以新数据的极差是，故选项D正确，故选：C．4．设，随机变量X的分布列是XP现仅变动，的值为，使得E（X），D（X）的值均保持不变，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意可得和，联立消去即可得解.【详解】由期望不变可得：，所以①，由期望E（X）没有变化，所以平均数不变，由方差不变可得：，所以②，由①②可得，所以，可得，故选：A5．已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】由题意，可得，设收集的98个准确数据分别记为，则，，所以．故选：A6．已知某班男女同学人数之比为，该班所有同学进行毽球（踢毽子）比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽球，在毽球落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽球则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（

）A．16，38 B．16，37 C．17，38 D．17，37【答案】D【解析】【分析】设男生有5人，且用脚踢到毽球次数分别为，，，，，设女生有4人，用脚踢到毽球次数分别为，，，，根据平均数和方差的计算方法计算即可.【详解】设该班有男生5人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，，，设女生4人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，.则男生踢到毽球次数的平均数，方差，即，女生踢到毽球次数的平均数，方差，即．故全班同学踢到毽球次数的平均数为，方差为．故选：D.二、多选题7．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（）A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．中位数为3【答案】ACD【解析】【分析】根据几个数的平均数、众数、中位数、标准差的定义直接计算即可.【详解】平均数为；众数为2和3；标准差为；中位数为．故选：ACD．8．已知数据的平均数为，标准差为，则（

）A．数据的平均数为，标准差为B．数据的平均数为，标准差为C．数据的平均数为，方差为D．数据的平均数为，方差为【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.【详解】，，对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；对于C，，，故正确；对于D，数据的平均数为，方差为，故错误.故选：BC.三、填空题9．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，则此时方差________．【答案】##1.6【解析】【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以.，所以.当加入新数据4，5，6后，平均数，方差.故答案为：10．已知数据，，，，，的方差为5，则数据，，，，，的方差为______．【答案】45【解析】【分析】利用方差的性质直接求解．【详解】数据，，，，，的方差为5，则数据，，，，，的方差为：．故答案为：45．四、解答题11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲

6

9

7

8

8

5

6乙

a

3

9

8

9

6

4经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．(1)求实数a的值；(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？【答案】(1)10；(2)甲的成绩比乙