高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时一元二次不等式(原卷版+解析)

第4课时一元二次不等式及其解法编写：廖云波【回归教材】1、一元二次不等式判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解4、一元二次不等式恒成立问题恒成立的充要条件是：且或且．【典例讲练】题型一一元二次不等式及其解法【例1-1】求下列不等式的解集．(1)；(2)【例1-2】解下列关于x的不等式(1)；(2)；(3)；归纳总结：【练习1-1】解下列不等式：(1)；(2).(3)【练习1-2】解关于x的不等式．题型二分式、绝对值、高次不等式及其解法【例2-1】不等式的解集为（

）A． B．C． D．或【例2-2】解下列不等式：（1）＜0；（2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0.【例2-3】不等式的解集是____.【例2-4】不等式的解集是_______．归纳总结：【练习2-1】不等式的解集为___________.【练习2-2】不等式的解集为___________.【练习2-3】写出下列不等式的解集．（1）：_____________；（2）：_____________；（3）：_____________；（4）：_____________．题型三三个二次之间的关系【例3-1】关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________．【例3-2】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．归纳总结：【练习3-1】若关于的不等式的解集为或，求，的值.【练习3-2】已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（

）A． B． C． D．题型四不等式恒（能）成立问题【例4-1】根据已知条件，求参数的取值范围.(1)已知函数的定义域为，求的取值范围；(2)已知函数.若对于，恒成立，求实数的取值范围.【例4-2】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【练习4-1】已知不等式．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．【请完成课时作业（四）】

【课时作业（四）】A组基础题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．不等式的解集为（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)6．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（多选题)如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（

）A． B．0 C．1 D．29．（多选题)若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为10．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________．11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．12．已知函数，.(1)若，求不等式的解集；(2)若对，不等式都成立，求实数的取值范围.13．已知函数，的解集为或，(1)求a､b的值；(2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围.B组能力提升能1．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（多选题)已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A．B．C． D．5．已知二次函数，又.(1)求函数在上的最小值；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.第4课时一元二次不等式及其解法编写：廖云波【回归教材】1、一元二次不等式判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解4、一元二次不等式恒成立问题恒成立的充要条件是：且或且．【典例讲练】题型一一元二次不等式及其解法【例1-1】求下列不等式的解集．(1)；(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先将二次项系数化正，再因式分解求解即可；（2）先去括号，再因式分解求解即可(1)即，故，解得，故的解集为(2)即，即，即，解得或，故解集为【例1-2】解下列关于x的不等式(1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】【分析】（1）首先因式分解，即可求出不等式的解集；（2）对根的判定式分两种情况，当时求出所对应的方程的根，即可求出不等式的解集；（3）首先因式分解，再对分三种情况讨论，即可求出所对应的不等式的解集；(1)解：因为，即，所以，解得∴原不等式的解集为.(2)解：因为，若，即，解得或，当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当，即，解得时，所以原不等式的解集为；当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为；(3)解：因为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．归纳总结：【练习1-1】解下列不等式：(1)；(2).(3)【答案】(1)或(2)(3)答案见解析【解析】(1)因为，所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集为或.(2)因为，所以方程有两个相等实根x1＝x2＝所以原不等式的解集为.(3)解：即，则对应方程的根为，①当或时，原不等式的解集为，②当或时，原不等式的解集为，③当时，原不等式的解集为.【练习1-2】解关于x的不等式．【答案】答案见解析.【解析】【分析】分，，三种情况进行讨论，在时直接求解范围，在与时判断的正负，有根的情况下判断根的大小，即可的解.【详解】解：（1）当时，原不等式，解得，不等式解集为；（2）当时，，开口向上，由图象得：若时，，的两个零点为，，不等式的解集为；若时，，不等式解集为；（3）当时，，的两个零点为，开口向下，由图象得不等式解集为；综上可知，当时不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．题型二分式、绝对值、高次不等式及其解法【例2-1】不等式的解集为（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式，求解即可.【详解】原不等式变形为，即，且，解得，∴原不等式的解集为.故选：.【例2-2】解下列不等式：（1）＜0；（2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0.【答案】（1）(－∞，－2)∪(1,2)；（2）{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}．【解析】【分析】（1）解法1：由原不等式等价于或求解；解法2：利用穿根法求解；（2）由原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2,x≠1，利用穿根法求解.【详解】（1）解法1：原不等式等价于或，解得1＜x＜2或x＜－2，综上，所以原不等式的解集是{x|1＜x＜2或x＜－2}．解法2：原不等式等价于(x＋2)(x－1)(x－2)＜0，所以由穿根法可得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,2)．（2）原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2,x≠1，所以由数轴标根法可得原不等式的解集为{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}．【例2-3】不等式的解集是____.【答案】或【解析】【分析】根据给定不等式，分段去绝对值符号求解作答.【详解】当时，，解得，则有，当时，，解得，则有，所以原不等式的解集是：或.故答案为：或【例2-4】不等式的解集是_______．【答案】##【解析】【分析】根据零点分段法讨论的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果.【详解】当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，即恒成立．综上，原不等式的解集为.故答案为：.归纳总结：【练习2-1】不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.【详解】，解得，故解集为，故答案为.【练习2-2】不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】将分式不等式移项通分分解因式化为，然后转化为整式不等式组，进而利用数轴标根法求解.【详解】等价于，即，即，又等价于，利用数轴标根法解得或,所以原不等式的解集为，故答案为：【练习2-3】写出下列不等式的解集．（1）：_____________；（2）：_____________；（3）：_____________；（4）：_____________．【答案】

R

【解析】【分析】根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法求解即可.【详解】解：（1）因为，所以，所以不等式的解集为；（2）由得或，即或，所以不等式的解集为；（3）由得不等式的解析为R；（4）由得，又，所以，所以，解得，所以不等式的解集为：，故答案为：（1）；（2）；（3）R；（4）.题型三三个二次之间的关系【例3-1】关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】由不等式的解集求得，然后再解一元二次不等式．【详解】因为关于实数x的不等式的解集是或，所以，解得，所以不等式为，即，或．故答案为：．【例3-2】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.【详解】由题意得，即，所以即，解得．故选：B归纳总结：【练习3-1】若关于的不等式的解集为或，求，的值.【答案】，【解析】【分析】由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可【详解】因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得【练习3-2】已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，且，所以，当且仅当时等号成立.故选：C题型四不等式恒（能）成立问题【例4-1】根据已知条件，求参数的取值范围.(1)已知函数的定义域为，求的取值范围；(2)已知函数.若对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的取值范围为；(2)实数的取值范围为.【解析】【分析】由条件可得恒成立，由此可求的取值范围；(2)由已知可得当时，再结合二次函数性质求的取值范围.(1)因为函数的定义域为，所以恒成立，所以或，所以或，所以，所以的取值范围为.(2)由可得，由已知对于恒成立，所以当时，，当时，函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，所以当时，取最大值，最大值为，所以，由此可得；当当时，函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，所以当时，取最大值，最大值为，所以，由此可得；当时，对于恒成立，综上，，所以实数的取值范围为.【例4-2】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.【详解】由题意得，，，即，故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A【例4-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.归纳总结：【练习4-1】已知不等式．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得，，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数利用，解不等式组．(1)当时，不等式为，解得，显然不符合题意；当时，由已知，得即解得,综上，实数a的取值范围为(2)原不等式可化为，设，由题意，当，恒成立，所以，即,解得，所以实数x的取值范围为【请完成课时作业（四）】

【课时作业（四）】A组基础题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先解出集合中对应的不等式，然后可得答案.【详解】由可得，由可得，，即或，所以，所以，故选：C2．不等式的解集为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】直接利用穿根法，求解不等式的解集即可.【详解】解：不等式，化为：，由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】讨论和两种情况，即可求解.【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)【答案】C【解析】【分析】不等式等价于，运用二次函数的性质求解即可.【详解】不等式等价于，设，显然a=0不符合题意，若，，是开口向上，零点分别为1和的抛物线，对于，解集为或，不符合题意；若，则是开口向下，零点分别为1和的抛物线，对于，依题意解集为，，即，故选：C.6．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求的最小值，根据不等式有解可得答案.【详解】，关于的不等式有解，等价于，.故选：D.7．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.【详解】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.8．（多选题)如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.【详解】由题设知，对应的，即，故，所以数值中，可取到的数为1，2.故选：.9．（多选题)若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为【答案】ABD【解析】【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确,B正确；，解得：或.所以D正确；C错误.故选：ABD10．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】将不等边变形为，令，根据二次函数的性质，判断的值域，再由不等式有解，求解的取值范围.【详解】不等式有解即不等式有解，令，当时，，因为当时，不等式有解，所以，实数的取值范围是.故答案为：11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．【答案】【解析】【分析】的解集为，则a＜0，且3是方程个根，由此求出a和b的关系，代入化简即能解得答案﹒【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，即且．又，则，得，所以，解得或，即不等式的解集为﹒12．已知函数，.(1)若，求不等式的解集；(2)若对，不等式都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分，，三种情况去绝对值再逐个求解即可；（2）根据绝对值三角不等式可得，再解绝对值不等式即可(1)当时，，则，当时，，则无解，当时，令，解得，则，当时，，则恒成立，则，综上所述，不等式的解集为.(2)因为对都成立，所以恒成立，只需，由绝对值三角不等式知，所以，解得或.故实数的取值范围为.13．已知函数，的解集为或，(1)求a､b的值；(2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据解集确定的根为-2，b，即可求解a，b；（2）根据一元二次不等式恒成立的处理方法求解m范围即可.(1)∵的解集为或∴-2，b为方程的两个根∴，解得(2)由（1）可知，∴不等式在R上恒成立，等价于在R上恒成立，即，∴∴m的取值范围为

B组能力提升能1．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范