高中数学北师大版必修2学案立体几何初步1-6垂直关系含答案2

第1课时垂直关系的判定

预

习

核心必知—自读教材找关键

导

*

引

问题思考——辨析问题解疑惑区

zizftuK.ueK.i$du［izfiugan自主学习梳理主干

［核心必知］

1.直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.

2.直线与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一个平面内的

/___L〃屋a1..

两条相交直线都垂直,那么该直

线与此平面垂直nZ_LaJj_A*

3.二面角及其平面角

(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱，这

两个半平面叫作二面角的面.

(3)二面角的记法.

如图，记作：二面角B.

(4)二面角的平面角.

以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直为棱的两条射线,这两条射线所成的角叫

作二面角的平面角，其中平面角是直免的二面角叫作直二面角.

如图二面角若有

①隹

②A4运a,仍运£.

③(MJJ,OB^l.

则//仍就叫作二面角。一/一£的平面角.

4.两个平面互相垂直

(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相

垂直.

（2）两个平面互相垂直的判定定理:

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面经过另一个平面

4a^a

的一条垂线,则这两个平面互

ya—3、

相垂直7

［问题思考］

1.若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？

提示：不一定垂直.例如，a〃az〃a〃…，且囱，a?…至，与这组平行直线垂直.有可能直线,

在这个平面内或与平面斜交.

2.在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？

提示：（1）定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直

线与直线垂直”能够相互转化的数学思想.

（2）两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递

性，直线垂直

于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直.如图：

a,a,a//b,ILa,ILb,但/不垂直于a,

3.如图所示的是一块三角形纸片，过顶点力翻折纸片，得到折痕/〃，将翻折后的纸片竖起放置在桌

面上（胡，〃，与桌面接触），折痕4〃与桌面垂直吗？

提示：不一定垂直，只有当4。，%时，力〃才与桌面所在的平面垂直.

课

堂

能力提升

互知识突破一

动II

重点知识拔高知识

区

步步探究稳根基深化提能夺高分

师生共研突破重难fkisftenggongyantupozfiongnan

知识点1直线与平面垂直的判定K重点知识•讲透练会X

讲一讲

1.如图，在四棱锥腼中，底面4阅9是矩形，为，平面团（力，AP=AB=2,3€=距,E,b分别

是的,AC的中点.证明：红工平面期

02/24

［尝试解答］证明：如图，连接此,,EC,

在Rt△必£和■中，PA=AB=CD,AE=DE,

:.PE=CE,即△必'C是等腰三角形.

又尸是。。的中点，

又A.+A百=25=BC,厂是AC的中点，：.BFLPC.

又BFCEF=F,平面戚

类题•通出

(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条

件：①面内的两条相交直线；②都垂直.

(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的.

练一练

1.如图，Rt44比1所在平面外有一点S,且％=赤5(7,点〃为斜边4C的中点.

s

⑴求证：5®_L平面/a1；

(2)若AB=BC,求证：如平面夕!C

证明：(1)；S4=SG〃为4c的中点，J.SDLAC.

在口△?!比中，AD=DC=BD.

又,：SB=SA,SD=SD,

：./\ADS^/\BDS.

:.SDLBD.

又ACCBAD,

；.M_L平面ABC.

(2),JBA^BC,〃为47中点，

：.BDVAC.

又由(1)知平面ABC,

：.SDLBD.

于是陟垂直于平面弘c内的两条相交直线.

二班，平面SAC.

知识点2平面与平面垂直的判定-K重点知识•讲透练会】I

讲一讲

2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段H，SB,SC,且,

NBSC=90°.

A

求证：平面平面BSC.

［尝试解答］证明：法一：取a'的中点。，

连接加、SD.

A

：/4S?=N4SC=60°,且S4=5»=SG：.AS^AB^AC.

：.ADVBC.

又△4?S是正三角形，△收'为等腰直角三角形，.•.加=敛

:.Aff+Sa=A^+B^=A^=A«.

由勾股定理的逆定理，知皿US〃.

又：助。比，〃，."〃，平面6SC

又AD至平面ABC,；.平面4%?_1_平面BSC.

法二：同法一证得4M6GSDVBC,

则/49S即为二面角A-BOS的平面角.

•.•/%r=90。，令必=1,则赤平，4g乎，：.S0-VAS=S^.

：.N4?S=90°..•.平面平面BSC.

类题•通J去

常用的两个平面互相垂直的判定方法：

(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直;

(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.

对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”.

04/24

练一练

2.如图，在直三棱柱4吐44G中，力、66,点〃是的中点，求证：平面。V，平面A4由8

证明：•••4(^84点。是4?的中点，C.CDLAB.

在直三棱柱ABC-AxBxG中，B、BL平面ABC,

又CD区平面ABC,

：.CDLByB.

又‘：ABCB\B=B,

平面AABB.

又,：CD总平面CA\D,

.•.平面平面AA\B\B.

I解题高手II妙解题同样的结果,不一样的过程,节省辞题时间.也是得分!

在矩形/a®中，4B=1,8C=a(a>0),月J_平面4G且为=1,则%边上是否存在点。，使得做_1_

Qffi并说明理由.

［巧思］由条件可知/。，微根据半圆上的圆周角是直角.将回边是否存在点的问题转化为以为

直径的圆是否与园边有公共点的问题来解决.

［妙解］...〃!，平面4腼，

PALQD.

若PQA.QD,

则ML平面PAQ.

：.AQLQD.

当a=2时，以/〃为直径的圆与边比相切，故只有一个点。，使您让"

当a>2时，以助为直径的圆与边加相交，故只有两个点。，使/UL/Z

当0〈水2时，以/〃为直径的圆与边6C无公共点，故正边上不存在点。，使

训

达标练一能力练练

II提

学业水平小测，让学课下能力提升，提速能

生趁热打铁消化所学,提能，每课一检测，步区

既练速度又练准度步为营步步赢

fencenglianK.igubentincng分层练习固本提能

♦学业水平达标

1.已知/_L。，则过，与。垂直的平面（）

A.有1个B.有2个C.无数个D.不存在

解析：选C由面面垂直的判定知，过/任作一平面都与。垂直.

2.已知直线勿，〃与平面a,£,y,下列可能使aj,£成立的条件是（）

A.a1.y,PLYB.aC8=m,mLn,r&8

C.m//a,m//£D.m//a,ml.£

解析：选D选择适合条件的几何图形观察可得，A中。与£相交或平行；B中%£相交，但不

一定垂直；C中a〃£或。与£相交.

3.（浙江高考）设/是直线，。，£是两个不同的平面（）

A.若/〃。，/〃£,贝I]£

B.若/〃。，71£,则£

C.若71a,则

D.若a_L尸，1//a,则]±尸

解析：选B对于选项A,两平面可能平行也可能相交；对于选项C,直线/可能在£内也可能平行

于£；对于选项D,直线/可能在£内或平行于£或与£相交.

4.如图，己知：以垂直于圆。所在平面.48是圆。的直径，，是圆周上一点.则图中垂直的平面共

有对.

解析：平面如C_L平面为C；平面为C_L平面/6C；平面均收1平面A9C

答案：3

5.空间四边形4?切中，若AB=AD,BC=CD,则立1与利的位置关系是—

解析：如图，设£为物的中点，连接CE.

,:AB=AD,BC=CD,：.AELBI),CEVBD,

平面AEC.

又AC区平面AEC,BDLAC.

答案：垂直

6.已知四面体4阅?中，BC=AC,BD=AD,BELCD于E,求证：切_L平面1庞

06/24

证明：取心中点连接孙必

A

"：BC=AC,BD=AD,J.CMVAB,DMLAB.

又。/ADQM,；.他L平面CDM.

「如乏平面。:.CD'AB"

又,：CDLBE,ABCBE=B,

.,.5_L平面ABE.

■课下能力提升（九）

一、选择题

1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）

A.平行

B.垂直

C.相交不垂直

D.不确定

解析：选B由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面.

2.在三棱锥上8切中，ADLBC,BDLAD,那么必有（）

A.平面从»_L平面从右

B.平面平面47。

C.平面平面BCD

D.平面18cL平面BCD

解析：选C由BDLAD,BCCBD=ff?ADL平面BCD,A9营平面"C,平面松工平面MZ

3.在正方体校中，与4〃垂直的平面是（）

A.平面放GC

B.平面4戊为

C.平面AiBiCiDi

D.平面4如

解析：选B如图，连接4〃、BC由18CD48G〃为正方体可知，AB工儿B、,故/〃，平面

AxDCB,.

4.设人加为不同的直线，。为平面，且下列为假命题的是（）

A.若ml.a,则m//1

B.若心1,则必〃a

C.若m//a,则mVl

D.若必〃/,则必J.a

解析：选BA中，若a,ml.a,则m//1,所以A正确；B中，若/_La,mVl,则m//a或席a,

所以B错误；C中，若J，。，HI//a,则如，/,所以C正确；若a,m//1,则如，a,所以D正确.

5.如图，在正方形46（6中，E、尸分别为边6G切的中点，〃是"的中点，现沿力&AF,加'把这

个正方形折成一个几何体，使氏a〃三点重合于点G,则下列结论中成立的是（）

A./（口_平面目&B.44L平面加'G

C.必J_平面/砂I）.M平面4:户

解析：选A'：AG.1GF,AGVGE,GFCGE=G,

平面EFG.

二、填空题

6.如图，在正方体/比AGO中，平面4切与平面做4〃的位置关系是

解析：四是正方形，被

又平面465，47区平面46口，

：.D^DLAC.'：DiDCDB=D,平面BR队D.

,：AC噎平面4或，平面力制J_平面BRDyD.

答案：垂直

7.如图所示，底面力仇》是矩形.用_L平面4%/,则图中互相垂直的平面共有对.

解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面用员L平面/比。，平面*CL平面/比。，平面处〃L平面

ABCD,平面月仍_L平面PAD,平面为反L平面PBC,平面A7ZL平面PAD.

08/24

)D

答案：6

8.已知点。为三棱锥片46C的顶点户在平面四C内的射影，若PA=PB=PC,则0为A4BC的一

心；若PA1BC,PBLAC,则。为比1的心；若。到三边四，BC,。的距离都相等且点〃在△

/重的内部，则。为姓的心.

解析：如图，由PA=PB=PC,

：.OA=OB=OC,。是△力比'的外心;

若PA1BC,又如_L面月式；

J.BCLPO.

面PAO.：.BCVAO.

同理必1如是的垂心;

若P到/反比边的距离相等，贝IJ易知。至『8,以边的距离也相等，从而可判定。是△/a'的内心.

答案：外垂内

三、解答题

9.如图，四边形4%是边长为a的菱形，倒工平面力比0,£是力的中点，求证：平面应E1平面ABCD.

证明：设ACCBD=0,连接应:如图.

因为。为〃1中点，后为处的中点,

所以皮是△为。的中位线，E0//PC.

因为/TL平面///,

所以&?J_平面ABCD.

又因为仇2区平面BDE,

所以平面应温L平面ABCD.

10.(北京高考)如图1,在Rt△腑'中，NQ90°,D,£分别为4G16的中点，点尸为线段切上

的一点.将△力应•沿以'折起到应,的位置，使口，如图2.

(1)求证：应//平面A@；

(2)求证：4尸J_豳

(3)线段48上是否存在点0,使4UL平面DE5说明理由.

解：(1)证明：因为。，£分别为4G48的中点，

所以DE//BC.

又因为应?平面AxCB,

所以〃〃平面A\CB.

⑵证明：由已知得ACYBC^.DE//BC,

所以加上然

所以庞_L4〃，DELCD.

所以旭"平面AXDC.

而47?平面ADC,

所以DEVAxF.

又因为4刊_①，所以4心平面比如

所以44跳：

(3)线段46上存在点Q,使4d平面DEQ.理由如下：

如图，分别取4G46的中点只Q,%PQ"BC.

又因为瓦1〃况所以,DE〃PQ.

所以平面侬即为平面DEP.

由(2)知，龙_1平面4ZT,所以应工4c

10/24

又因为。是等腰三角形的£底边4C的中点，

所以AyCLDP.

所以4d平面麻

从而4UL平面DEQ.

故线段46上存在点Q,使得4人平面DEQ.

第2课时垂直关系的性质

预

习

核心必知——自读教材找关键

导

I引

问题思考—辨析问题解疑惑

区

ziz/iu^uejQishutizfiugan自主学习梳理主干

［核心必知］

1.直线与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果两条直线同垂直于一个平

一a_La

?a//b

面，那么这两条直线平行b，Q

2.平面与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

a、

两个平面垂直，则一个平面内aAB=1

|alaI

垂直于交线的直线与另一个平aa

面垂直a_Ll」

£

［问题思考］

1.由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个

平面的两个平面平行吗？

提示：可能平行，也可能相交.如图.

2.两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？

提示：不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一个平面.

课

堂

知识突破一能力提升

互

动II

重点知识拨高知识

区步步探究稳根基深化提能夺高分

突破重难sfiisficnggongyantupozfiongnan

知识点1线面垂直的性质的应用K重点知识•讲透练会】I

讲一讲

1.如图，在正方体中，点反尸分别在47上，且济工4〃，"4C求证：EF//BIX.

［尝试解答］证明：如图所示，连接/瓦BCBD.

'：ZWJ_平面ABCD,〃W平面ABCD,

：.DDxLAC.

又•.FC_L协且BDCDIX=D,

，4句_平面BDKB、.

•:即三平面BD&B、,:*BgAC.

同理能_L^G...9_L平面46C

■:EFLA、D,A\D〃BC

:.EF1BC又阮147且ACC\BxC=Z,

...硝_平面4RC.：.EF//BDy.

类题•通浜

线面垂直的性质除了线面垂直的性质定理外，常用的还有：①若线垂直于面，则线垂直于面内的线.②

若一条直线同时垂直于两个平面，则这两个平面平行.③若一条直线垂直于一个平面，则与这条直线平行

的直线也垂直于这个平面.利用这些性质可以证明线线平行、线线垂直、面面平行及线面垂直.

练一练

1.如图所示，在正方体四CXM为G4中，〃是49上一点，内是4c的中点，拗比平面

求证：⑴删〃4”；

(2)M是45的中点.

证明：(1)：四边形/能4为正方形，,4〃_1_4〃

12/24

又平面血©4,

：.CDVADy.

,:A、DCCD=D,

.•.44_L平面AyDC.

又二顺_平面AxDC,

：.MN//AIK.

(2)连接QY在△4%中,

AgOD,A、N=NC,

：.ON//^CD//^AB.

：.0N//AM.

又•：蚓/OA,

四边形4於。为平行四边形.

ON=AM.

'：ON-=^AB,

：.4M=二"是"的中点.

知识点2面面垂直的性质的应用•------K重点知识•讲运练会】|

讲一讲

2.已知平面四从L平面4%7,平面处CJ_平面平面月％;«为垂足.

(1)求证：平面16a

(2)当£'为4蹴的垂心时，求证：是直角三角形.

［尝试解答］(1)如图，在平面4?。内取一点〃，

作昵L/IC于点内，平面处CL平面且交线为4G

平面PAC.

又为手平面阳G.•.加工仍

作加_L/8于点6,

同理可证〃G，/庐，DG、加都在平面/以内且交点为〃,

二必，平面ABC.

(2)连接跖并延长，交/V于点〃

1点是的垂心，...ACL应：

又已知於是平面如C的垂线，.•./TL45：

又VBECAE=E,J.PCL面ABE.J.PCA,AB.

又；为_L平面四G：.PA±AB.

•：PAnPC=P,：.ABL平面用C

J.ABLAC,即△?1%是直角三角形.

类题•通决

面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意以下

三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线.

练一练

2.如图所示，夕是四边形48切所在平面外的一点，四边形4BC0是N/M8=60°且边长为a的菱形.侧

面以〃为正三角形，其所在平面垂直于底面/比。

(1)若G为4)边的中点，求证：6C_L平面用〃;

(2)求证：ADVPB.

证明：⑴连接出,BD.

由题知△为〃为正三角形，G是49的中点,

C.PGVAD.

又平面用〃_1_平面ABCD.

平面ABCD,

：.PGLBG.

又；四边形4%力是菱形且N%8=60°,

：.△/劭是正三角形，

：.BG±AD.

又ADCPG=G,

14/24

平面PAD.

(2)由⑴可知BGX.AD,PGLAD.BGCPG=G,

所以力。_1_平面PBG,

所以阳

知识点3垂直关系的综合应用•------1【拔高知识•拓宽提能】I

讲一讲

3.如图，力是正方形，弘，平面力及力，BKLSC于点、K,连接必求证：

(1)平面S6UL平面KBD-,

(2)平面皈不垂直于平面SDC.

［尝试解答］(1)连接力。：四边形是正方形，

：.ACLBD.又必_1平面ABCD,

：.SALBD,

二劭_L平面SAC,

:.SCLBD.

又‘：SCLBK,BKCBD=B,

，SC_L平面KBD.

又SCN平面SBC,

,平面瞅1L平面KBD.

(2)假设平面工平面SDC.

,：BKLSC,:.BK1平面SDC.

,：DC与平面SDC,：.BKLDC,

又ABHCD,：.BKLAB.

•.3版是正方形，4?_L6G."AL平面SBC,

又SB基平面角G.../此•，这与N酬是RtZk52心的一个锐角矛盾，故假设不成立.

，原结论成立，即平面S笫不垂直于平面SOC

类题•通经

在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是

从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

_________________曲曲叁立的定义_________________

［।I

练一练

3.如图，在三棱锥R4比＞中，月_L平面48C平面处8,平面阳C求证：BCLAB.

证明：在平面内，作4〃J_图于〃

•.・平面用aL平面PBC,

且平面为8n平面PBC=PB.

平面PBC.

又比美平面PBC,

C.ADVBC.

又•.•必_L平面ABC,6C区平面ABC,

：.PALBC,

，优」平面PAB.

又A5些平面PAB,

：.BCLAB.

4.如图，四棱锥及力的底面是边长为a的菱形，/质=120°,平面也世平面48（力，PC=a,

Pg木a,£为处的中点.求证：平面被此平面被⑦

证明：设ACCBD=0,连接£0,则£0〃AC

16/24

'：PC=CAa,Pg巾,a,

:.Pd+5=Plf,

：.PCLCD.

:平面筋_L平面力仇力，应为交线，

.•./TL平面ABCD,

.♦.£21平面ABCD.

又E0平面EDB,

故有平面薇%L平面ABCD.

|解题高手||多解题干一样的旅程，不一样的风景,换个思维开拓视野!

已知：平面ac平面B=AB,a_Ly,£J.y,求证：ABLy.

［证明］法一：如图(1),•••a,y于a1,81y于BD,

在厂内过一点夕作直线nVBD,过。作直线mVBC,

则ml.a,〃J.B.

,：aClB=AB,

nA.AB.

又mCn=P,.,.ABA.y.

法二：假设4?不垂直于y,

；a_L/于8C,在a内作A&LBC,

则仍J.在£内作AB2LBD,

又8工y于BD,：.ABdy.

上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一条矛盾,

故48不垂直于/是不可能的，因此力反Ly.

［尝试用另外一种方法解题］

法三：如图(2),在平面a内作直线0，比；

VaVy,any=BC,：.m±y.

同理在平面£内作直线nLBD,则nl.y.：.m//n.

,:盛B,：.m//

又缶a,an8=AB,'.m//AB,ABI.y.

法四：过1作胡_L7于尻

*.*al./,且点4Ga,8a,同理小至尸.

：.AB^aA£,仍与四重合，即ABLy.

训

练

一

练

达标

提能力练

I

能I

速

，提

提升

能力

课下

学

，让

小测

水平

学业

，步

一检测

，每课

提能

.

化所学

打铁消

区