高中数学《离散型随机变量及分布列》考点讲解与训练

《7.2离散型随机变量及分布列》考点讲解

【思维导图】

一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点

概念WW,

都有唯一的实数（）与之对应

随Xw

机离散型随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有

变随机变量取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量

量

随机变量一般用大写字母表示

表小

用小写字母表示随机变量的取值

一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为

离XX”................

散X取每一个值x*=l»2,…，”）的概率P（X=x»=m，则称表

型

随

概念

机

分

布

变

列

量

及

分为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列

布

列...rr/=1»2,…,n

性质

+.・・+/+・・・+，”=1

如果随机变量x的分布列为其中oq，vi,则称离散型随机变量x服从两点分布.

两

点其中尸=P（X=1）称为成功概率.

分

布

【常见考点】

考法一随机变量及离散型随机变量）

考法二分布列）

离散型随机变量及分布列

考法三两点分录）

考法一随机变量及离散型随机变量

【例1】（1）下列变量中，不是随机变量的是（）

A.一射击手射击一次命中的环数

B.标准状态下，水沸腾时的温度

C.抛掷两颗骰子，所得点数之和

D.某电话总机在时间区间（0,T）内收到的呼叫次数

（2）.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A.掷5次硬币正面向上的次数M

B.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

C.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

D.将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X

【一隅三反】

1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是（）

A.出现7点的次数B.出现偶数点的次数

C.出现2点的次数D.出现的点数大于2小于6的次数

2.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为C,则

“&〉4”表示试验的结果为（）

A.第一枚为5点,第二枚为1点

B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C.第一枚为6点,第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用s表示甲的得

分，则｛4=3｝表示（）

A.甲赢三局

B.甲赢一局

C.甲、乙平局三次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

4.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）

A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数D.取到的球的个数

5.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（填序号）.

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③西部影视城一日接待游客的数量X；

④阅海大桥一天经过的车辆数是X.

考法二分布列

【例2-1]若随机变量X的分布列如下所示

X-1012

P0.2ab0.3

且E（X）=0.8,则a、b的值分别是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4

C.0.3,0.2D.0.2,0.3

【例2-2].（某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/

次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

消费次第第1次第2次第3次第4次之5次

收费比率10.950.900.850.80

若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进

行统计，得到统计数据如下：

消费次数12345

人数60201055

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为

X元，求X的分布列.

【一隅三反】

1.（多选）已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）:

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的有（）

A.a=0.1B.P（X》2）=0.7

C.P（X23）=0.4D.P（XW1）=O.3

2.在某校举办的“知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每

名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率

2122

均为；，乙队中3名同学答对的概率分别是且每名同学答题正确与否互不

3233

影响.用X表示乙队的总得分.

（1）求随机变量X的分布列；

（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，求P（A）.

3.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为《、?、:，三人各射击一次，击

中目标的次数记为。.

（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；

（2）求4的分布列.

考法三两点分布

【例3】设随机变量X服从两点分布，若P（X=l）—P（X=0）=0.2,则成功概率

P（X=1）=（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【一隅三反】

1.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用

J描述一次试验的成功次数，则。（4=1）=（）

121

A.0B.—C.-D.一

233

2.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X=0）=3-4尸（X=l）=a,

则。=（)

2

A.B.C.D.

3234

答案解析

考法一随机变量及离散型随机变量

【例1】（1）下列变量中，不是随机变量的是（）

A.一射击手射击一次命中的环数

B.标准状态下，水沸腾时的温度

C.抛掷两颗骰子，所得点数之和

D.某电话总机在时间区间（0,T）内收到的呼叫次数

（2）.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A.掷5次硬币正面向上的次数M

B.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

C.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

D.将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B

（2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故

M是离散型随机变量

在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

可能取的值，可以按一定次序一一列出，

故Y是离散型随机变量

在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，

无法一一列出，

故T不是离散型随机变量

在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列

出，故X是离散型随机变量故选：C

【一隅三反】

1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是（）

A.出现7点的次数B.出现偶数点的次数

C.出现2点的次数D.出现的点数大于2小于6的次数

【答案】A

【解析】•••抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件

•••出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A

2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为€,则

“g>4”表示试验的结果为（）

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

【答案】C

【解析】由于4表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值

为6-1=5,而自>4只有一种情况，也即J=5,此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选

C.

3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用〈表示甲的得

分，则｛0=3｝表示（）

A.甲赢三局

B.甲赢一局

C.甲、乙平局三次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得。分，

故4=3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.

4.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）

A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数D.取到的球的个数

【答案】C

【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项c是离散型随机变量，其可以一一列出，

其中随机变量X的取值0,1,2,3,故选C.

5.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（填序号）.

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③西部影视城一日接待游客的数量X；

④阅海大桥一天经过的车辆数是X.

【答案】②

【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此

它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序

一一列出，故不是离散型随机变量.故答案为：②

考法二分布列

【例2-1]若随机变量X的分布列如下所示

X-1012

P0.2ab0.3

且E（X）=0.8,则a、b的值分别是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4

C.0.3,0.2D.0.2,0.3

【答案】B

【解析】由随机变量X的分布列得：O.2+a+b+O.3=l,所以。+匕=（）.5,

又因为E（X）=-lx0.2+0xa+lx匕+2x03=0.8,解得〃=0.4,所以故

选：B

【例2-2].某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/

次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

消费次第第1次第2次第3次第4次“次

收费比率10.950.900.850.80

若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统

计，得到统计数据如下:

消费次数12345

人数60201055

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为

X元，求X的分布列.

【答案】(1)公司获得的平均利润为45元；(2)分布列答案见解析.

【解析】(1)因为第一次消费时，公司获得利润为200—150=50元，

第二次消费时，公司获得利润为200x0.9—150=40元，

所以两次消费中，公司获得的平均利润为丝士竺=45元，

2

(2)因为公司成本为150元，所以消费一次公司获得的平均利润为50元，消费两次公司

获得的平均利润为竺:竺=45元，消费三次公司获得的平均利润为50+，+3°=40

23

50+40+30+20

元，消费四次公司获得的平均利润为=35元,

4

50+40+30+20+10

消费五次公司获得的平均利润为=30元,

5

X的所有可能的取值为50,45,40,35,30,

p(X=50)=—=0.6,

100

P(X=45)=—=0.2,

100

P(X=4O)=—=0.1

100

p(X=35)=—=0.05,

100

P（X=3O）=H=O.O5,

100

.故X的分布列为

X5045403530

P0.60.20.10.050.05

A.a=0.1B.P(X》2)=0.7

C.P(X23)=0.4D.P(XW1)=O.3

【答案】ABD

【解析】因为0.1+0.2+0.4+().2+a=l,解得a=().l,故A正确；

由分布列知P(XN2)=0.4+0.2+0.1=0.7，尸(XN3)=0.2+0.1=0.3,

P(X<l)=0.1+0.2=0.3,故BD正确，C错误.

故选：ABD

2.在某校举办的“知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每

名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率

2172

均为彳，乙队中3名同学答对的概率分别是工，彳，；，且每名同学答题正确与否互不

3233

影响.用X表示乙队的总得分.

(1)求随机变量X的分布列；

(2)设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，求P(A).

【答案】⑴见解析；⑵铐

O1

【解析】(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)4d,

1723318

2(*=1)=』仓立仓仁：1？2

',233223318

P(X=2)=，仓仁心-?--rf-=

''22332339

P(X=3)=J仓32=2,

172339

所以随机变量X的分布列为

X0123

1542

P

181899

（2）设甲队得分为Y,则

4

-X=\?y

7^9-

3.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为!、->三人各射击一次，击

中目标的次数记为九

（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；

（2）求4的分布列.

【答案】（1）1（2）见解析

【解析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A，则甲，乙两人击中，丙没有击中的

(2)由题意可知，随机变量4的可能取值为。、1、2、3,

24

12Y2=

P（舁0）=—x3-9-

23J9

5

18

所以，随机变量j的分布列如下:

40123

2451

P

991818

考法三两点分布

【例3】设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)-P(X=())=0.2,则成功概率

P(X=1)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】随机变量X服从两点分布，P(X=l)-P(X=0)=0.2,

>(X=l)-P(X=0)=0.2,、

根据两点分布概率性质可知：jp,X=ij+p；x=oj=],解得尸(X=l)=0.6,故

选：C.

【一隅三反】

1.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用

。描述一次试验的成功次数，则%=1)=()

21

A.0B.—C.D.

23

【答案】C

【解析】据题意知，“4=0”表示一次试验试验失败，“4=1”表示一次试验试验成功.

设一次试验失败率为“，则成功率为2,，所以〃+2〃=1,所以〃=；,

2

所以p（g=i）=3.故选：c.

2.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X=0）=3—4P（X=l）=a,

则。=（）

2111

A.-B.-C.-D.一

3234

【答案】C

【解析】因为X的分布列服从两点分布，所以P（X=O）+P（X=1）=1,

因为P（X=（））=3—4P（X=l）=a,所以P（X=0）=3-4[l-P（X=（））]

...p（x=O）=；,「.a=；

故选：C.

《7.2离散型随机变量及分布列》考点训练

【题组一随机变量及离散型随机变量】

1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）

A.至少取到1个白球B.取到白球的个数

C.至多取到1个白球D.取到的球的个数

2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放

回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”事件的是（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X„5

3.下列随机变量不是离散型随机变量的是

A.某景点一天的游客数&

B.某寻呼台一天内收到寻呼次数&

C.水文站观测到江水的水位数&

D.某收费站一天内通过的汽车车辆数&

4.下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是（）

A.将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和

B.某篮球运动员6次罚球中投进的球数

C.电视机的使用寿命

D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数

5.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是

白色为止，所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为（）

A.1,2,6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3…

6.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）.

A,掷5次硬币正面向上的次数M

B.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

C.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

D.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X

7.（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（）

A.X取每一个可能值的概率是正数

B.X取所有可能值的概率和为1

C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

8.（多选）如果。是一个随机变量，则下列命题中的真命题有（）

A.J取每一个可能值的概率都是非负数B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值与自然数一一对应D.。的取值是实数

9.小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用

来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结

果.

10.一个袋中装有形状、大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球

的个数为X.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；

(2)若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果

都加上6分，求最终得分y的可能取值，并判断丫是不是离散型随机变量.

【题组二分布列】

1.若随机变量X的分布列为尸(x=i)=二(i=l,2,3,4),则P(X>2)=

2.某校组织一次冬令营活动，有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学，为了活

动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同

学.

(1)求X的分布列；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

【题组三两点分布】

1.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是()

A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X={1,取出白球；0,取出

红球}

D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

2.设离散型随机变量X服从两点分布，若尸(X=O)=；,则尸(X=l)=_.

3.若离散型随机变量X的分布列是

X01

P9c-c3-Be

则常数c的值为

4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量J描述一次试验的成功次数，则

%=0)

答案解析

【题组一随机变量及离散型随机变量】

1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）

A.至少取到1个白球B.取到白球的个数

C.至多取到1个白球D.取到的球的个数

【答案】B

【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，

其中随机变量X的取值0,1,2.故选：B.

2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放

回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”事件的是

（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X„5

【答案】C

【解析】因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，所以

X=6.故选：C

3.下列随机变量不是离散型随机变量的是

A.某景点一天的游客数&

B.某寻呼台一天内收到寻呼次数&

C.水文站观测到江水的水位数€

D.某收费站一天内通过的汽车车辆数&

【答案】C

【解析】随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变

量，称为离散型随机变量.对于C选项来说，由于水位数是属于实数，是一个连续的变

量，不属于离散型随机变量.

4.下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是（）

A.将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和

B.某篮球运动员6次罚球中投进的球数

C.电视机的使用寿命

D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数

【答案】C

【解析】随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量

两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有

限个或可列无限多个，这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中4民。都属于离散

型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.

5.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是

白色为止，所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为（）

A.1,2,…，6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3…

【答案】B

【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随

机变量X,则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.

6.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）.

A.掷5次硬币正面向上的次数M

B.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

C.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

D.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X

【答案】B

【解析】由随机变量的概念可知.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能

一一举出，故不是离散型随机变量

7.（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（）

A.X取每一个可能值的概率是正数

B.X取所有可能值的概率和为1

C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】BC

【解析】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.

对于B选项，X取所有可能值的概率和为1,故B选项正确.

对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.

对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选

项错误.

故选：BC

8.（多选）如果J是一个随机变量，则下列命题中的真命题有（）

A.J取每一个可能值的概率都是非负数B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值与自然数一一对应D.J的取值是实数

【答案】ABD

【解析】根据概率性质可得J取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；

。取所有可能值的概率之和是1,所以B正确；

。的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.

故选：ABD

9.小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用

来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果

【答案】6,11,15,21,25,30

【解析】X的可能取值为6,11,15,21,25,30.

其中，X=6表示抽到的是1元和5元；

X=ll表示抽到的是1元和10元；

X=15表示抽到的是5元和10元；

X=21表示抽到的是1元和20元；

X=25表示抽到的是5元和20元；

X=30表示抽到的是10元和20元.

10.一个袋中装有形状、大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球

的个数为X.

（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值；

（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果

都加上6分，求最终得分y的可能取值，并判断丫是不是离散型随机变量.

【答案】（1）答案见解析；（2）y的可能取值为6,11,16,2i,y为离散型随机变量.

【解析】（1）

X0123

取得1个白取得2个白

结果取得3个黑球取得3个白球

球，2个黑球球，1个黑球

（2）由题意可得y=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,

故y的可能取值为6,11,16,21.

显然，y为离散型随机变量.

【题组二分布列】

1.若随机变量X的分布列为P（X=i）=二（i=l,2,3,4）,则P（X>