高中数学讲义-不等式板块

比较大小

mte典例分析

【例1】若0<〃<入，a+b^\,则在下列四个选项中，较大的是（）

A.1B./+〃C.2abD.b

2

【例2】将23按从大到小的顺序排列应该是

【例3】若％=6-2,x=2-百，则x,y满足（）

A.x>yB.yC.x<yD.x=y

【例4】若]■<[<｛）,则下列不等式中，

ab

®a-\-b<ab②|〃|>|人|③。<人@—+—>2

ab

正确的不等式有,（写出所有正确不等式的序号）

【例5】已知a,6eR,那么">|句”是"/>〃，，的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【例6】若8<。<0,则下列不等式中正确的是（)

11。a

->--+->2

人

A.4匕QD.a+b>ab

【例7】比较下列代数式的大小:

（1）x2+3x与x-2；

（2）x6+\^x4+x2；

【例8】比较下列代数式的大小：

（1）丁-。与4-y4；

（2）W-弗与私-y（其中.昼>0,且x>y）

（3）炉/与（其中x>0,y>0,xWy）.

【例9】a、b、c、”均为正实数，且a>b,将2、巴、处£与史W按从小到大的

aba+cb+cl

顺序进行排列.

【例10】比较大小：log—vlog/?与logf（其中1>方>々>1）

b

【例11】已知a、b、c、d均为实数，且必>0,-£<-4,则下列各式恒成立的是（）

ab

A,.八，ab、ab

A.be<adB.bc>adfC.—D.—<—

cdcd

【例12］当a>8>c时，下列不等式恒成立的是（）

A.ab>acB.a\c\>b\c\C.\ab\>\bc\D.(a-b)\c-b\>0

【例13】已知三个不等式：ab>0,be-ad>0,--->0（其中。、b、c\d均为实

ab

数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，

可组成的正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【例14】⑴已知：a>,求证：a>0,b<0.

ab

dc

(2)若c>d>0,求证:——<一.

ab

设则。>是的

【例15】aeR,1L<1（)

a

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例16】如果。<0">0,那么，下列不等式中正确的是（）

A.-<-B.C.a1<b2D.\a\>\b\

ab

【例17】设若〃_|例>0,则下列不等式中正确的是（）

A.B.a3+Z?3<0C.cr-b2<0D.b+a>0

若［〈工<0,则下列结论不正确的是()

【例18】

ab

A.a2<b2B.ab<b2C.-+->2D.|a|+|/?|>|a+Z?|

ab

【例19］若"b<0,则下列结论中正确的命题是()

A.和」>；均不能成立

ab\a\\b\

B.和」>与均不能成立

a-baIa\\b\

c.不等式和!］均不能成立

a-ba\bJya)

不等式弁击和G4)>04)均不能成立

D.

【例20】若I」/，则下列结论中不正确的是()

ab

A.log<;b>log^aB.llog.b+logAal)？

2

C.(log,,a)<1D.|log〃勿+1log力a|>|logab+log/7a\

【例21】设。，bwR,且人(。+〃+1)<0,/?(6z+Z?-l)<0,贝lj()

A.a>1B.a<-\C.-\<a<\D.|a|>1

【例22】判断下列各命题的真假，并说明理由.

(1ac2>he2,则(2)若“>。，则

ab

(3)若〃>b,c>d,则a-c>b-d.(4)若4>"meN+，则

已知-卜<。，试将下列各数按大小顺序排列上"力一。士

【例23】

【例24】实数a、h、c满足条件：①a<b,c<d；②(a-c)(/?-c)>0;③

(a-d)(b-d)<0,则有()

A.a<c<d<bB.c<a<b<d

C.a<c<b<d

【例25】已知实数〃、〃满足等式

①0<b<a®a<b<0®0<a<b®b<a<0⑤a=b

其中不可能成立的关系式有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例26】设/(x)=l+log*3,g(x)=21ogt2,其中>>0且xWl.试比较/(x)与g(x)的

大小.

【例27】若a=log,3,/?=log32,c=log12,d=log,-,则的大小关系是（）

5~3

A.a<b<c<dB.d<b<c<aC.d<c<b<aD.c<d<a<b

【例28】——<0,则下列不等式①a+人②|a|>|》|③④2+3>2中，正确

abab

的不等式有（）

A.1个B32个C.3个D.4个

【例29】设a、bvc\加、〃均为正实数，P=\[ab+\[cd,Q=y/ma+nc-.—+—,

Vmn

那么（）

A.P》QB.PWQ

C.P<QD.P、。间大小关系不确定，而与〃八〃的大小有关

【例30】设。、。为非零实数，若则下列各式成立的是（）

A.a2<b2B.ab2<a2bC.D.-<-

ab~a~bab

【例31】设4",C是互不相等的正数，则下列等式中不怛或享的是（）

2

A.\a-b\^\a-c\+\b-c\B.a+-^^a+-

aa

C.\ci~b\-\-----，2D.yjci+3—\la+1WJa+2-

a-b

【例32】““">()且"M"是丝也1”的()

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例33】a20,b'O,且a+b=2,则（）

22

A.B.ab>Lc.a+b^2D./+〃W3

22

【例34］若直线二+上=1通过点M(cosa,sine)则(）

ab

A./+从W1B.a2+tr^\

D

C.-卜户I

【例35】设实数a、b满足0<a<6,且a+O=l,则下列四数中最大的是（）

A.-B.a2+h2C.labD.a

2

【例36】正实数a、bxc满足a+"=〃+c,|a-^Z|<|Z?-c|,则（）

A.ad-beB.ad<beC.ad>beD.ad与。c,大小不定

【例37］已知则J（a-A）S-c）与幺尸的大小关系是

【例38】已知实数xxy\z满足条件x+y+z=0,孙z>0,设T,+驾L,则（）

xyz

A.T>0B.T=0C.T<0D.以上都可能

【例39】若a>l>)>0,以下不等式恒成立的是(

a+\b+l

A.A>b^B.a~>於

C.八]gbD.—i^lg6Z<V&lgtz

【例40]若0<%<生，0<白<2，且4R曲的2=1,则下列代数式中值最大的是()

A.岫+a2b2B.a[a2+^Z?2C.+a2blD.—

ante典例分析

【例41】已知函数/(x)=|lgx|,若0<”〃,3,f(a)=f(b),则。+28的取值范围是(

A.(20,+00)B.[2&，+oo)C.(3,+oo)D.[3,4-00)

plgx|,0<xW10,

【例42】已知函数f(x)=,1若互不相等，且f(a)=f(h)=f(c),

—x+61x>10

I2

则"c的取值范围是

A.(1,10)B.(5,6)C.(11,12)D.(20,24)

【例43］若—lva<2,-2<b<\,贝此一〃的取值范围是

【例44】已知①-+②1W”〃W3,求：3〃-〃的取值范围.

【例45】已知一3vav-2<8v-1,求4+0,。一6,/?-24,",@各自的取值范围.

【例46】已知集合。=｛（用，%2>0,%+%=％｝（其中k为正常数）.

（1）设〃=再入2，求〃的取值范围；

（2）求证：当人》1时不等式_—对任意（5，X,）w£>恒成

（百八%）12k）

立；

（3）求使不等式1g—々对任意（内，恒成立的公的范

围.

均值不等式的应用

mte典例分析

【例47］若x>0,贝ljy=工+9的最小值是一

x

【例48】设a>)>c>0,贝IJ2/+J-+——二--io〃c+25c2的最小值是(

aba(a-b)

A.2B.4C.2x/5D.5

【例49］若A,B,C为―三个内角,则介仁的最小值为一

【例50]i^a>0,b>0,a+b+ab=24,贝I]()

A.a+6有最大值8B.。+6有最小值8

C.灿有最大值8D.ab有最小值8

【例51】已知：a、（其中R,表示正实数）,

a2+b2>2(a2+ab+b')2上"+疯+62尔金

求证:

a+b3(a+b)23JI

一十一

ab

【例52】设a也c>0,求证：£Z3+hy+c3>3ahc,当且仅当。=力=c时等号成立,

进一步证明：产+6+c-痂：当且仅当。=8=。时

V33111

一十一----

abc

各等号成立.

【例53】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/

小时）与汽车的平均速度口（千米/小时）之间的函数关系为：

y=—~~-------（v>0）.

v2+3v+1600

⑴在该时段内，当汽车的平均速度I，为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

（精确到01千辆/小时）

⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【例54】某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万

元，年维修费第一年是62万元，以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少

年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）

【例55］如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图

中阴影部分），这两栏的面积之和为18OO（）cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏

之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,

能使矩形广告面积最小？

【例56］如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀

箱.污水从月孔流入，经沉淀后从8孔流出.设箱体长度为a米，高度为

米.已知流出的水中，杂质的质量分数与a,b的乘积必成反比.现有制箱材料

60平方米，问当a,〃各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最

小（4B孔的面积忽略不计）

【例57】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840c病，画面的宽与高的比为“a<1）,画

面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的

尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？如果可I用，那么，为何值时，能

使宣传画所用纸张面积最小？

【例58】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位：m）

的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8,".问X,），分别为多

少（精确到0.01m）时用料最省?

【例59】某村计划建造一个室内面积为800＞的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左.右两

侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温

室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？

【例60】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定

义为：1-而左鸿萼而）为°》，要求清洗完后的清洁度为。99•有两种

物体质量（含产物）

方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗

后受残留水等因素影响，其质量变为“（1Wa〈3）.设用x单位质量的水初次清

洗后的清洁度是叶竺用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

X+1

竺竺，其中c（0.8<c<0.99）是该物体初次清洗后的清洁度.

y+a

⑴分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较

少；

⑵若采用方案乙，当。=1.4时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用

水量最小？

【例61］按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为。元，如果他卖出该

产品的单价为〃，元，则他的满意度为一?一；如果他买进该产品的单价为〃元，

m+a

则他的满意度为‘一.如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别

n+a

为/；,和h，则他对这两种交易的综合满意度为阿.

现假设甲生产A、8两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、8两种

产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、8的单价分别为外元和〃%元，

甲买进A与卖出B的综合满意度为%,乙卖出A与买进B的综合满意度为电.;

3

⑴求％和坛关于巩、，沏的表达式；当〃时，求证：%二h乙;

⑵设色当机八、，“分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最

大的综合满意度为多少？

⑶记⑵中最大的综合满意度为hu,试问能否适当选取mA、%的值，使得益》为

和心三儿同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

F1

1M「典例分析

【例62]若x>0,贝1]2+3、+3的最小值是

X

【例63】设a、beR,则a+%=3,则2"+2〃的最小值是

【例64]若a、Z?eR,,且〃+。=1,则帅的最大值是

【例65】已知不等式（x+y）\+£]29对任意正实数刀，,恒成立，则正实数。的最小值

为（）

A.8B.60.4D.2

【例66】当％=一时，函数丁=£（2一£）有最_____值，其值是

【例67】正数〃、方满足3=9,贝的最小值是

hb

【例68］若x、y6R且x+4y=l,则％・y的最大值是

2____

【例69】设x'O,y20,x2+^-=1,则xdT+）产的最大值为

【例70】已知x>0,y>0,x+y=i,则11+工］的最小值为

【例71］设〃>。>0,那么/+丁」的最小值为()

b(a-b)

A.2B.3C.4D.5

【例72】设％2+9=1,则（1一孙）0+孙）的最大值是最小值

是.

7

【例73］已知-+—=2（x>0,y>0）,则个的最小值是__________________

xy

【例74】已知f+y2=〃,租2+〃2=6,其中及>。，_0_«Z?,求加工+〃》的最大值.

【例75]a>0,h>0,a+b=4,求+]0+；]的最小值.

【例76】设x,y,z为正实数，满足x-2y+3z=0,则f的最小值是

XZ

【例77】已知X、yeR,且2x+5y=20,当》=,y=时，?有最大值

为.

【例78］若a、6wR，，且a+b=1,则"的最大值是,此时a=,b=

【例79】求函数\，=22的最小值.

，元2+9

【例80】将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块

_（梯形的周长丫

是梯形,圮,=梯形的面积则s的最小值是

【例81】设实数x,y满足3T到2辽8,4W工W9,则鸟的最大值是

yy

【例82】求函数y的最小值.

6+上

【例83】求函数/•（x）=f+x+l+L士的最小值.

Xx~

【例84】已知x23,求y=%+3的最小值.

x

X24-S

【例85】求函数)，=之皂的最小值.

6+4

【例86】函数/(x)=9、9T-2(3、+3”的最小值为()

A.1B.2C.一3D.

【例87]⑴求函数y=f+4的最小值，并求出取得最小值时的x值.

d+1

⑵求丫=绰号的最大值.

JT+4

【例88]⑴求函数yW+x+l(x>-l且”0)的最小值.

x+1

⑵求函数y=l-2x-?的取值范围.

X

【例89]⑴求函数产函(2-9)的最大值.

(2)求丫=f)+44的最小值.

2，炉+1

⑶求函数丫=宜%的最值.

【例90]⑴已知x<2,求函数y=l-4x+—'—的最小值.

45-4x

⑵求函数y=l-2x-3的取值范围.

X

⑶求函数y=x2(2—/)的最大值.

【例91]⑴已知是正常数，a#b,x,yw(0,+8),求证：式+匕》空心匚，指出

xyx+y

等号成立的条件；

⑵利用⑴的结论求函数/(x)=2+'一(xe(0,-))的最小值，指出取最小值时

xl-2x2

x的值.

工1313

【例92】分别求g(x)=f-3x+—+——2(x>0)和/(x)=x2+3x+—+——2(x>0)的最小

x~XX"X

值.

手户的最小值.

【例93】求函数y

【例94】函数小)=荒的最大值为()

A.2

B.-D.1

52C・日

【例95】设函数/(X)=2X+L-1(X<0),则/(x)()

X

A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数

【例96】设S=f-2(x+y),其中x,y满足log?尤+log2y=1,则S的最小值

为.

【例97】设。>0">0,若石是3"与3%的等比中项，则_L+_L的最小值为()

ab

A.8B.4C.1D.i

4

【例98］已知:x〉O,求4d+°的最小值.

x

149

[#099]已知:x,y,z>O,x+y+z=l,求一+—+一的最小值.

xyz

[1501OO]已知a\b、cwR，且a+8+c=l,求，4q+1+，配>+l+J4+I的最大值,

【例101】求=fl+—Y1+--—1的最小值[()<〃<二].

Isina八cosa)\2)

【例102]若”>0,Z?>0,且a+b=2,求。2+8？的最小值.

【例103】已知。＞0力＞0,a+b=\求证：+12.

[150104]已知给定正数。工和未知数x,y,且工>0,），>0,满足4+6=10,色+2=1

xy

x+y的最小值为18,求明〃的值.

【例105】若々"wR—且a/?=l+a+"分另U求a+匕和出?的最小值.

[1501O6]若a是1+26与1-26的等比中项，则第久的最大值为（）

同+2|向

A2.B后C6D应

15452

线性规划

且他蚱典例分析

x2+y2-2x-2y+l^O

【例107】设。为坐标原点，A（l,1）,若点B满足

1WyW2

则。4・08的最小值为（)

A.V2B.2C.3D.2+72

【例108】已知变量x,y满足yW2,则x+y的最小值为（）

x-y<0

A.2B.3C.4D.5

工20,

<x-y-\20,

【例109】不等式组Px-2）=6W°所表示的平面区域的面积等于

【例110】设变量满足约束条件则目标函数z=y+2x的最小值为

[X--I

()

A.1B.2C.3D.4

y20,

<x-y-120

【例111】设变量招>满足|3x-2y-6W°,则该不等式组所表示的平面区域的面积

等于z=x+y的最大值为.

x+y-3W0

【例112】目标函数z=2x+y在约束条件2x-y20下取得的最大值是一

y^O

【例113】下面四个点中，在平面区域4内的点是()

A.(0,0)B.(0,2)C.(-3,2)D.(-2,0)

[yWx+1](-

信向区域

【例114】已知平面区域Q=<(x,y),y20•,A/=-(%,y)

一xWl,

C内随机投一点P,点P落在区域”内的概率为()

x+y》0

【例115】若x,y满足约束条件「-丫+320,则z=2v的最大值为一

0WxW3

【例116】已知不等式组表示的平面区域的面积为4,点尸(x,y)在所给平

面区域内，则z=2x+)，的最大值为.

【例117】设x,yeR,且满足x-y+2=0,则Jf+y?的最小值为若x,y

又满足y>4-x,则上的取值范围是.

【例118]“关于x的不等式工2-2ax+a>。的解集为R”是“OW"1”的(

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

尢+yW1

【例119】已知不等式组尤-y2-1表示的平面区域为若直线y=履-3女与平面

y20

区域"有公共点，则上的取值范围是()

A.卜则B.C.(0,1]D,18,一；

0WxW2

L15IJ120]已知不等式组x+y-220所表示的平面区域的面积为4,则A的值为

kx-y+2^0

()

A.1B.-3C.1或-3D.0

(3-a)x-3,xW7

[1501211已知函数/(x)=若数列｛”"｝满足a“=/(w)(〃eN*),且

尸x>7

{q}是递增数列，则实数a的取值范围是()

x2+y2-2x-2y+1^0

【例122】设。为坐标原点，4(1,1),若点8满足

1WyW2

贝的最小值为()

A.V2B.2C.3D.2+应

x'l

【例123】已知变量x,y满足yW2，则x+y的最小值为（）

大一y<0

A.2B.3C.4D.5

x20,

*x-y-120,

【例124】不等式组[3x-2）=6<°所表示的平面区域的面积等于

【例125】设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y+2x的最小值为

[x-

()

A.1B.2C.3D.4

不等式的证明

Fl限典例分析

【例126】«,b,c是三角形的三边，机＞0.求证：，-+上＞」■

a+mb+mc+m

【例127】已知a>6>c,求证—L+_L>JL

a—bb—ca—c

11A

【例128]已知求证：——+——2——

a-bb-ca-c

【例129】已知a〉0,>0,且a+8=l.求证：力+')2V.

【例130】若a、b、CGR_,且。+b+c=l,求证:

[150131]设〃也cwR_,求证：(a+b+c)d+—?—)24.

ah+c

2j22

【例132】已知aZcwR-求证：—H+—^a+b+c.

bca

【例133】已知x,y,zwR,，且x+y+z=l,求证：\[x+y[y+\[z.

【例134】若半径为1的圆内接&48C的面积是,，三边长分别为a,b,c,求证:

(1)aZ?c=1；(2)\[a+\/b+\[c^—+—+—

abc

【例135】已知以ac是互不相等的正数，

求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(/+b2)>6abe.

【例136】已知a、b,c是一个三角形的三边之长,

至、P.a+b+c.a+b+c.a+h+c

求证：(---------A1)X(---------1)x(---------1)^8.

b+c-ac+a-ba+h-c

【例137】若a、b、ceR,且a+8+c=l,求证：.

【例138]⑴已知〃也ceR,求证：a1+c2ah+be+ca

(2)若〃>0,Z?>0,且a+b=l,求证：—+i^4.

ab

【例139】设x,y,z均为正数，求证：yjx2+xy+y2+yjy2+yz+z2>\/z2+zx+x2.

[150140]已知〃，b,c均为正数，求证：\la2+Z?24-\/b2+c2+4^+^^\[2(a+b+c).

【例141】已知锐角AA8C的三边长分别为叫b,c,且。边上的高为人求证:

6+cN+4〃2

【例142】设。、b、c是正实数，且满足abc=\,证明：

（即1+加一1+/7+：卜1.

【例143】证明下列不等式：

⑴若x,y,ZGR,a,byceR+(为正实数)，则

b+cc+a2a+b、

---k2+---y+---z“2(xy+yz+zx).

ab"c

⑵若x,y,ZGR+(R+为正实数)，且x+y+z=xyz,则

J±+±52性+」+』.

xyzixy

2

[150144]设。+6>0,求证：log,(〃+〃)2110g[(/+l)+-logt(Z?+1).

22222

【例145】已知正数。也。满足证明：a3+b3+c3^a~-b'-C~

【例146]设x>0(i=l,2,,〃)且不+/++七=1,〃wN,〃22.

求

证

1

X+++++++++^

-4

【例147】证明柯西不等式：

2

+a2b2++a„bn）W（a；+雨++£）（，+区++彳）（可也e/?,/=1,2〃）

等号当且仅当4=%==a“=0或6,=初时成立（”为常数，i=l,2n）

【例148]设〃同=加+加+4"0）,若，（O）W1,/⑴Wl,/（-l）Wl,

试证明：对于任意-IWxWl,有

【例149】关于x的不等式|x-l|+|x-2户/+a+1的解集为空集，则实数”的取值范

围是.

【例150】若不等式x+g》|a-2|+l对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是

【例⑸】设函数/(x)=x2-l,对任意xe”00)

W/(x-1)+4/(M恒成立，则实数机的取值范围是

【例152】若不等式加+%+2>0的解集为R,则〃的范围是()

A.a>0B.a>—C.a>—D.a<0

88

【例153】已知不等式」一+」一++—>-log,(«-1)」对于一切大于1的自然

»+1n+22n12\’3

数〃都成立，试求实数”的取值范围.

【例154】若不等式(”2*+2(叱2»-4<0对,*€1«恒成立，则。的取值范围是

【例155】f(x)=