高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量运算的坐标表示

1.3.2空间向量运算的坐标表示

导学案

【学习目标】

1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直

2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单

几何体中的问题

【自主学习】

知识点一空间向量运算的坐标表示

设a=（a”名，&）,b=（b\,8,&）,空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算坐标表示

加法a+b=(a+\，戈+。2,a+&)

减法a-b=1比一b\,也,――

数乘入a=（入方”入金，入&），入£R

数量积a.b=+也从~\~a3b3

知识点二空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示

设a=（a"a?,&）>b=（仇，bt），则

<

平行（a〃合）a//b(bWO)=a=入Zz«刘2=入8，(XwR)

、&=入th

垂直（a，6）aVb^a・b=Ooa4+包十+ab、=0(a,6均为非零

1

向量）

模a=\/a•&=、//+〃+/

a•b_______ai仿+a28+a3-

夹角公式'㈤•引/?；+£+£

知识点三向量的坐标及两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设4（句，b\,G）,6（比，bz,C2）,则

A

（1）AB=（色一4,b「b\,Q—a）;

（2）daB=AB\=4（还一句）一+（2一，i）~+（Q-。1丫・

2

【合作探究】

探究一空间向量的坐标运算

【例1】⑴若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c—a)・2b

=—2,则x=.

(2)已知a=(2,—1,—2),b=(0,—1,4),

求a+b,a~b,a,b,(2a),(—6),(a+5)•(a—Z>).

【答案】⑴2(2)(2,-2,2),(2,0,-6),-7,14,-8

[e~a=(0,0,1-jr),26=(2,4,2),由(c—a)•26=—2得2(1一力=一2,解得

x—2.]

(2)[解]a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,—2+4)=(2,

—2,2)；

a—b=(2,—1,-2)—(0,—1,4)=(2—0,—1+1,—2—4)=(2,0,-6)；

a-(2,-1,-2)-(0,-l,4)=2X0+(-l)X(-1)+(-2)X4=-7；

(2a),(―/>)=—2(a,/>)=—2X(—7)=14；

(a+/>),(a—6)=(2,—2,2),(2,0,—6)=2X2—2X0+2X(—6)=—8.

归纳总结：进行空间向量的数量积坐标运算的技巧

利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技

巧.

(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a+b)<a-6)=i-lf=\a\2-b\2,

(a+b),(a+力)=(a+砂等.

(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再

代入坐标运算，如计算(2a)-(-6),既可以利用运算律把它化成一2(a•8),也

3

可以求出2a,一，后，再求数量积；计算(a+b)•(a—b),既可以求出a+b,a

一b后,求数量积，也可以把(a+b)•(&—力写成/一82后计算.

【练习1](1)已知向量a=(1,2,3),b=(—2,—4,—6),c|若(a+

b)•c=7,则a与c的夹角为.

(2)已知〃(1,2,3),M2,3,4),尸(一1,2,-3),若|序=3|而且/〃而,则0

点的坐标为()

A.(2,5,0)B.(—4,-1,—6)或(2,5,0)

C.(3,4,1)D.⑶4,1)或(一3,-2,-5)

【答案】(1)120°(2)B

[(l)因为a=(l,2,3),6=(—2,-4,-6),所以a+b=(—l,—2,—3),所

以la+引=，五因为(a+力)•c=7,所以a+6与c夹角的余弦值为(，即夹角

为60°.因为a=(l,2,3)与a+6=(—1,-2,—3)方向相反，所以可知a与c

的夹角为120°.

(2)设。(x,y,z),则尿(x+1,y~2,z+3),.就-(1,1,1),

222222

.('^+l)+(y-2)+(z+3)=3^1+1+1,

[x+l=y-2=z+3,

/x=—4,|x=2,

解得—1,或"=5,

[z=-6lz=0,

・・・。点的坐标为(-4,-1,—6)或(2,5,0).]

4

探究二空间向量的平行与垂直

【例2】(1)对于空间向量a=(1,2,3)"=(入，4,6).若a//b,则实数人=()

A.-2B.-1C.1D.2

(2)正方体中，"是棱〃〃的中点，P、0分别为线段3〃，物上的

点，

且3而三曲，若PQLAE,BD=人而，求人的值.

［思路探究］(1)利用向量共线充要条件.

⑵建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求入值.

【答案】(DD

1231

［因为空间向量a=(1,2,3),b=(入，4,6),若a〃瓦则7=彳=1=5，所以入

44。Z

=2,故选D.］

⑵［解］如图所示，以，为原点，赢DC,应的方向分别为x轴，y轴，z轴

的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则力(1,0,0),/o,0,1

6(1,1,0),5,(1,1,1),22)(0,0,1),

由题意，可设点户的坐标为(a,a,1),

5

因为3友心而，所以3（a—l,a—1,0）=（一%-a0）,

3

所以3a—3=-a,解得a=j,

所以点尸的坐标为g，*1）

由题意可设点。的坐标为（，，40）,

因为HLL4E,所以闲•花=0,

所以（。一•力一*—•f—1,0,3=0，

即解得6=（,

所以点0的坐标为（；，；，0］，

因为劭=入〃Q所以（一1，—1，。）=入R0）

所以?=-1,故人=-4.

归纳总结：

（1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；

（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；

⑶对于a=（x”K，Z）,力=（尼，%Z?）,根据为用+y先+20是否为0判断

两向量是否垂直；根据出=入在，必=入%，©=入z?（入©R）或也"=匕=亘（髭，如

在y2z2

及都不为0）判断两向量是否平行.

6

2.由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即

可

【练习2］已知a=(入+1,1,2入)，加=(6,2加一1,2).

(1)若2〃，，分别求人与加的值；

⑵若a=#,且与c=(2,—2X,—人)垂直，求a.

［解］⑴由a〃b,得(入+1,1,2、)=A(6,2加一1,2),

［4+1=6A,f1

力=

i=k2m—1,解得Jk—5'

［24=24,l®=3.

，实数入=E，m=3.

5

(2)Va=/,且ale,

p+l)2+l2+(24)2=5,

•<

.(4+1,1,2^),(2,—2入，一4)=0,

'5乂+21=3,

化简，得Ic12c解得人=-1.因此，a=(0,1,—2).

2240,

探究三空间向量的夹角与长度问题

【例3】如图所示，在直三棱柱483436中，CA=CB=l,N30=9O°,棱

=2,肱A'分别为4A,44的中点.

7

⑴求融的长;

(2)求//与6C所成角的余弦值;

(3)求证：而L平面G期V：

［思路探究］建系小灯z-得各点的坐标一数量积运算一夹角、长度公式

-*几何结论

［解］(1)如图所示，建立空间直角坐标系Gxyz.

依题意得8(0,1,0),A'(l,0,1),

•••I励=叱1-oy+(o—i『+(i—0『=小,

线段瞅的长为击.

(2)依题意得4(1,0,2),<7(0,0,0),((0,1,2),

.•.荫=(1,-1,2),^=(0,1,2),

.,.防•法=1义0+(—1)X1+2X2=3.

又|朋|=季，|绍|=4.

8

L-、BA}•SA/30

Acos〈物i,CB)=---------

-*■-►I()

\BAi\\CBi\

故48与6c所成角的余弦值为鸣.

(3)证明:依题意得4(1,0,2),G(0,0,2),6(0,1,0),

Ml,0,1),心,j,2),

."〃=弓，5,oLGH,O,-i),

讪=3-1,1),

ff11

：.QM*BN=~X\+-X(-1)+0X1=0,

乙乙

郎・孤1X1+0X(-D+(-l)Xl=0.

J.QMLBN,C\N'BN,

:.BNLCM,BN'GN,

又,?G"AQN=G,G，化平面C\MN,GAiz平面C脚,

.•.及归_平面QMN.

归纳总结：

1.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤

(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标;

9

(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为

异面直线所成的角.

2.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系；

(2)求出线段端点的坐标；

(3)利用两点间的距离公式求出线段的长.

【练习3］在棱长为1的正方体4?845G〃中，E,尸分别是加，龙的中点,

G在棱切上，CG=*D,〃是GG的中点.

(1)求证：EFLBG

(2)求跖与GG所成角的余弦值;

⑶求勿的长.

［解］如图，以〃为原点建立空间直角坐标系力灯z,

则5,(1,1,1),<7(0,1,0),

0,3,d,P0),

40,ohC；(0,1,1),

10

11

O

nin——a一--

⑴正=5,J,一弓，5c=(—i,o,—1),・O・5C=522

〈乙乙乙)1,乙

—1)=0,

:.EFLBC

(2)：询=(0,-；，-11

孰岸&I-fo.-i)=1

\EF\=

3

一

8-倔

；,EF与GC所成角的余弦值是星.

平

/.cos(£F,C\G)-近n

X-4

11

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.已知三点2(1,5,-2),8(2,4,1),C(a,3,8+2)在同一条直线上，那么(

A.a=3,b=~3B.a=6,b=~l

C.a=3,6=2D.a=-2,8=1

【答案】C

[根据题意2=(1,-1,3),赤=(a—l,-2,6+4),

,砒标线，：.AC=XAB,

(a—1,—2,3+4)=(入，一入，3人)，

(a—1=4，(a=3,

{-2=-A,解得|8=2,

故选C.]

16+4=31,[A=2

—3,—2),b=；x—2a,则x等于(

2.已知a=(2,3,—4),6=(—4,)

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

【答案】B

[由题a=(2,3,—4),6=(—4,—3,—2),设x=(%y,z)

贝U由b=^x—2a,可得(一4,—3,—2)=g(犷,y,z)—2(2,3,-4)%2_

2

—(4,6,-8)=(]L4,6,gz+8),解得IF=0,y=6,z=-20,即x=(0,6

12

-20).]

3.已知向量a=(l,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

【答案】B

[不妨设向量为6=(x,y,z),

a•b—111

A.若5=(—1,1,0),则cos0=-,------=-=--;=-5工[,不满足条件.

\a•\b\72x7222

B.若6=(1,-1,0),则cos°=a1.~b^=yp)xyp1~~2,满足条件.

a•b—111

===-

C.若，=(0,—1,1),则cos0a\~b^x-^22^2'不满足条件•

a•b—21

D.若b~(-1,0,1),则cos()=J.一~b\=yj2Xyl2=一1工万’不满足条件.故

选B.]

4.已知向量a=(-2,x,2),6=(2,1,2),c=(4,—2,1),若aJL(b—c),则

x的值为()

A.-2B.2

C.3D.-3

【答案】A

[b—c=(-2,3,1),a"(b—c)=4+3x+2=0,x=­2.]

5.已知从B、。三点的坐标分别为4(4,1,3),8(2,-5,1),<7(3,7,A),

若茄，就；则入等于()

13

A.28B.-28

C.14D.-14

【答案】D

\_AB=(-2,—6,—2),AC=(—1,6,九一3),

'：~ABVAC,.•.法•荷=-2X(—1)-6X6—2(4一3)=0,解得儿=一14.]

二、填空题

6.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a—b,<?=a+2/>—c,则p•g

【答案】-1

p=a~b=(1,0,—1),q=a+2b~c—(0,3,1),g=lX0+0O3+(一

1)Xl=-1.]

7.已知空间三点4(1,1,1),6(—1,0,4),C(2,—2,3),则花与5的夹角J的

大小是.

【答案】120。

\_AB=(-2,—1,3),CA—(—1,3,-2),

L-、-2X-1+-1X3+3X-21

cos{AB,CA)=-------------------------i=-----j=-----------------------

[147142

二8=(AB,31)=120°.]

8.如图，正方体力式》48a〃的棱长为1,E、尸分别是棱8C、〃〃上的点，如果

身心平面ABF,则CE与以'的和的值为.

14

【答案】1

［以〃M、DC、〃〃分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略)，设gx,DF

=y,则易知£(x,1,1).5(1,1,0),

...谦=(x—l,0,1),又为(0,0,1—9,8(1,1,1),...丽=(1,1,y),由于4RL

BE若3幻_平面45R

只需赤•日=(1,1,力•(x—1,0,D=0，x+y=L]

三、解答题

9.已知空间中三点力(-2,0,2),5(-1,1,2),C(一3,0,4),设a=茄，b=AC.

(1)求向量a与向量8的夹角的余弦值；

⑵若4a+6与姑一2b互相垂直，求实数4的值.

[解](l)Va=(l,1,0),b=(-l,0,2),・b=(l,1,0)•(—1,0,2)=—1,

又Ia|=^/l2+l2+02=V2.Ib\-12+02+22=V5.

Q•b-1A/10

=

Acos〈a,b)=,a！b\^T[Q~~10~,即向量a与向量力的夹角的余弦值为

yio

-10'

(2)法一：.:ka+b=(k—1,k,2),ka—2b=(k+2,k,—4),且Aa+力与Aa—

2b互相垂直，

5

A(A-1,左2)・(A+2,k,-4)=(4-1)(A+2)+〃-8=0,・・・A=2或4=一3

15

5

...当Aa+b与后一2b互相垂直时，实数4的值为2或一;

法二：由(1)知b=邓,a•b——\,

5

：.(ka+b)•<ka—2Z>)=k'a—ka,b—2b=2接+k—10=0,得左=2或k=—7

10.已知正三棱柱力处43。，底面边长18=2,AB.LBQ,o,a分别是边io,

4G的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）求正三棱柱的侧棱长；

⑵求异面直线与a'所成角的余弦值.

[解]（1）设正三棱柱的侧棱长为h,

由题意得4（0,-1,0）,B（小,0,0）,^7（0,1,0）,瓜他,0,A),G(o,1,A),

则拓=（4，1,/1）,拓=（一4，1,/?）,

因为4笈，/，所以法•诟=-3+1+力2=0,

所以h=y[i.

⑵由⑴可知耘=（小，1,隹），BC=（~y[3,1,0),

所以法•访=-3+1=—2.

因为|耘|=十,瓦|=2,所以cos（拓，BC）-2

2m6,

16

所以异面直线眼与勿所成角的余弦值为A当/6

17

B组能力提升

一、选择题

1.直三棱柱力优45G中，/BCA=90°,M,“分别是45,4G的中点，BC=

CA=CQ,则切/与4M所成角的余弦值为()

12

AC.

-To5

【答案】c

［建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设BC=2,则

8(0,2,0),4(2,0,0),“(1,1,2),Ml,0,2),所以"(1,

fbM•AN

—1,2),AN=(-1,0,2),故BM与4V所成角。的余弦值cos0=———

丽•|和

3_^30

#10

2.(多选题)若向量a=(1,2,0),6=(—2,0,1),则下列结论正确的是()

A.cos(a,t>)=—-B.aVb

5

C.a//bD.|=|

【答案】AD

响量a=(1,2,0),6=(—2,0,1),

|a|=/,|b\=y15,

a-8=1X(—2)+2X0+0Xl=-2,

a9b—22

==

cos{a,6〉=n_ai\--•-7bT\~~5^~r5-

18

由上知A正确，B不正确，D正确.C显然也不正确.]

二、填空题

3.已知a=(x,2,—4),b=(—1,y,3),c=(1,—2,z),且a,b,c