备考2025届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

第2讲两条直线的位置关系1.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（AA.（－52，12） B.（－25C.[－52，－12] D.[－25解析将两直线方程联立得y＝x+2k+1，y＝－12x+2，得x＝2－42.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（A）A.1或2 B.3或4 C.3 D.4解析由题意得｜－2a+4+1｜a2+1＝｜－4a+6+1｜a2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a3.已知直线l1：xsinα＋y－1＝0，直线l2：x－3ycosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（A）A.35 B.－35 C.23 解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin24.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则a2+b2-2A.[2，18] B.[2，38]C.[0，38] D.[0，210－2]解析画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上随意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|-10|32＋a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（C）A.（1，－1） B.（－1，1）C.（135，－135） D.（－2，解析点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为y+3－2+3＝x－15－1，即y＝14x－即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（B）A.2 B.22 C.23 D.4解析解法一由x－my即点Q（2－2mm2因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ｜＝2-2mm2+12+-2m+2m2+12=8(m2+1)m2+12=解法二易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多选/2024青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ACD）A.直线l2过定点（－3，－1）B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1解析对于A，解法一直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2x－y+5=0，x－y+2=0，解得x＝－3解法二在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确对于C，若l1∥l2，则有4·[－（m＋1）]－（－3）·（m＋2）＝0，解得m＝2，当m＝2时，l1与l2不重合，故C正确.对于D，当l1∥l2时，由对选项C的分析可得此时直线l2的方程为4x－3y＋9＝0，则l1，l2之间的距离为｜4－9｜42＋（－38.[2024安徽合肥联考]过直线2x－y＋4＝0与3x－2y＋9＝0的交点，且垂直于直线x-2y+1＝0的直线方程是2x＋y解析由3x－2y+9=0，2x－y+4=0，解得x=1，y=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x－2y＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是9.已知△ABC的一个顶点A（4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x－y－1=0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为2解析由题知，A（4，－1）不在这两条角平分线上，因此l1，l2是角B，角C的角平分线所在直线.设点A关于直线l1的对称点为A1（x1，y1），关于直线l2的对称点为A2（x2，y2），则A1，A2均在边BC所在的直线上.由y1+1x1－4×1=－1，x1+42－y1－12－1=0，得x1=0，y1=3，所以A1(0,3).因为l2：x＝1，所以易得y2＝－10.过点A（0，73），B（7，0）的直线l1与过点（2，1），（3，k＋1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k＝（BA.－3 B.3 C.－6 D.6解析若l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2.（圆内接四边形的对角互补）易知直线l1的斜率k1=73-7=-13，直线l2的斜率k2＝k+1－13－211.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x－my－2＝0的距离.当θ，m变更时，d的最大值为（C）A.1 B.2 C.3 D.4解析解法一由题意可得d＝｜cosθ－msinθ－2｜m2+1＝｜msinθ－cosθ+2｜m2+1＝｜m2+1（mm2+1sinθ－1m2+1cosθ）+2｜m2+1解法二易知点P（cosθ，sinθ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线x－my－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以dmax＝3，此时A，12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线l:x+y+A.存在点P，使得｜PA｜＝2B.存在点P，使得PA⊥PBC.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29解析设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(a+2)2＋(－a－3－1)2＝2，即a2+6a+8=0，解得a对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又kPB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当a=1时，直线PB的斜率不存在，又kPA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，kPA＝－a－4a+2，kPB＝－a－4a－1，若PA⊥PB，则kPAkPB＝－a－4a+2·－a－4a－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（a+2）2＋（－a－3－1）2＝（a－1）2＋（－a－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝14对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b），则b－1a+2=1，－2+a2＋1+b2+3=0，解得a＝－4，b＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝故选ACD.13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB｜的最小值为5＋2.解析设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(x0－5)2＋x02＋(x0-1)2＋(x0－3)2，此式可理解为点Q(x0，x14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝ax0＋by0＋ca2＋b2.已知点P1，P2A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2＜0，则直线P1