2025版高考数学一轮总复习考点突破第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性考点3函数性质的综合应用VIP

函数性质的综合应用角度1奇偶性与单调性结合若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是(C)A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)[解析]由已知得图象，故选C.[引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为D.[解析]如图．[引申2]若将不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为[－1,0]∪[1,3].[解析]奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0.由xf(x－1)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,fx－1≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,－2≤x－1≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2，))解得－1≤x≤0或1≤x≤3.角度2奇偶性与周期性结合[解析]由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此推断各选项．∵f(x)为偶函数，∴f(x)图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于(2,0)轴对称，f(x)为周期函数且周期为8，故选AD.角度3单调性、奇偶性和周期性结合[解析]因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．名师点拨：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．留意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【变式训练】1．(角度1)(2024·郴州其次次数学质量检测)已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))[解析]∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤eq\f(1,3).又因为定义域为[－2,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))∴－1≤x≤eq\f(1,3).2．(角度2)(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(CD)A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4)[解析]因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数．3．(角度3)(2024·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝(D)A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(7,4) D．eq\f(5,2)[解析]由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.依据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.依据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\l