备考2025届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破1球的切接问题命题点2内切球问题

命题点2内切球问题例2（1）[全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为23π解析易知半径最大的球即该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22（2）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以随意转动，则a的最大值为2解析解法一由题意知，正四面体在圆锥内可以随意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为P，圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，连接SO，易知P在SO上，SO⊥AB，则OA＝OB＝32.因为SO＝332，所以SA＝SB＝SO所以△SAB为等边三角形，可知点P是△SAB的中心.连接BP，PQ，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°，设正四面体外接球的半径为r，于是tan30°＝r32＝33，即r＝33×32因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a则64a＝32，求得a＝2，所以a的最大值为解法二由题意知，正四面体在圆锥内可以随意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，圆锥的轴截面如图所示，则OA＝OB＝32.连接SO，则SO⊥AB，SO＝332，所以SA＝SB＝SO2＋OB2＝3，△由三角形内切圆半径公式r＝2S三角形a＋b＋c（其中S三角形是三角形的面积，a，b，c是三角形的三边长，r是三角形内切圆半径）知，因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a，则64a＝32，求得a＝2，所以a方法技巧求解常见几何体的内切球半径的方法几何体求内切球半径R的方法正方体（棱长为a）R＝a正四面体（棱长为a）R＝612三棱锥1.过球心O、顶点P、切点M作截面图，部分截面图如图所示，利用相像三角形对应边成比例求解，即OMO2.等体积法：将三棱锥分割为以内切球球心为顶点，三棱锥的四个面为底面的棱锥，利用三棱锥的体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.训练2（1）[2024河南省部分名校联合检测]已知三棱锥P－ABC的全部顶点均在半径为2的球O的球面上，底面△ABC是边长为3的等边三角形.若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则r＝（B）A.1 B.13C.32 D.解析如图，设底面△ABC的中心为Q，连接BQ，OQ，则BQ＝3×32×23＝3，且OQ⊥底面ABC，延长线段QO交球面于点P，此时三棱锥P－ABC的体积取得最大值.连接OB，因为球O的半径为2，所以OB＝2，在Rt△OQB中，OQ＝22－（3）2＝1，所以三棱锥P－ABC的体积的最大值为V＝13×34×32×（2＋1）＝9S三棱锥P－ABC＝34×32＋3×12×3×（23）2－（由等体积法知934＝13×934（1＋13）×r，解得r＝3（2）[2024江苏省淮安市涟水县第一中学模拟]已知三棱柱ABC－EFG中，GC⊥AC，AE⊥BC，平面EBC⊥平面AEB，AC＝5，若该三棱柱存在体积为43πA－EBC的体积为（B）A.23 B.4 C.2 D.解析设内切球的半径为R，则43πR3＝43π，所以R＝1.因为AE⊥BC，AE∥GC，所以GC⊥BC，又GC⊥AC，且AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，所以GC⊥平面ABC，所以三棱柱ABC－EFG为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为作AO⊥BE交BE于O点，连接CO，如图所示.因为平面EBC⊥平面AEB，平面EBC∩平面AEB＝BE，AO⊂平面AEB，所以AO⊥平面EBC，又BC⊂平面EBC，所以AO⊥BC.因为EA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EA⊥BC，又EA∩AO＝A，EA，AO⊂平面AEB，所以BC⊥平面AEB，而AB⊂平面AEB，所以AB⊥BC