2024八年级数学下册第2章一元二次方程单元基错含解析新版浙教版

Page15第2章一元二次方程（单元基础卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生留意：1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必需在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．（温岭市期末）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】把x＝1代入方程得到1﹣3+c＝0，然后解关于c的方程即可．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，∴1﹣3+c＝0，∴c＝2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（椒江区期末）下列方程为一元二次方程的是（）A．x+1＝0 B．x2+3y+1＝0 C．x2+3x＝5 D．x2+＝5【分析】依据一元二次方程的定义推断即可．【解答】解：A．是一元一次方程，故本选项不合题意；B．含有两个未知数，故本选项不合题意；C．是一元二次方程，故本选项符合题意；D．是分式方程，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．（南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，支配支配21场竞赛．设竞赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21【分析】依据题意可知，这是一道典型的单循环竞赛，然后依据支配支配21场竞赛，即可得到x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝21，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．4．（临海市期末）用配方法解方程x2+2x＝1，变形后的结果正确的是（）A．（x+1）2＝﹣1 B．（x+1）2＝0 C．（x+1）2＝1 D．（x+1）2＝2【分析】方程两边加上1，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出推断．【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝1，变形得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，娴熟驾驭完全平方公式是解本题的关键．5．（怀化期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要留意a≠0的条件．这是在做题过程中简洁忽视的学问点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．依据定义即可推断．【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要留意a≠0的条件．这是在做题过程中简洁忽视的学问点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．（永春县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出推断．【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，娴熟驾驭完全平方公式是解本题的关键．7．（椒江区期末）某校组织了一次篮球邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只竞赛一场），共进行了36场竞赛，请问共有多少支队伍参加竞赛？设共有x支队伍参加竞赛，则所列方程正确的是（）A．＝36 B．＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【分析】设共有x支队伍参加竞赛，利用竞赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设共有x支队伍参加竞赛，依题意得：＝36，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（温岭市期末）2024年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x，则下列方程中符合题意的是（）A．1.4x2＝2.3 B．1.4（1+x2）＝2.3 C．1.4（1+x）2＝2.3 D．1.4（1+2x）＝2.3【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），假如设平均每月的增长率为x，那么依据题意可用x表示11月份新冠疫苗接种量，从而得出方程．【解答】解：设平均每月的增长率为x，那么依据题意得：1.4（1+x）2＝2.3．故选：C．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，驾驭平均增长率问题的一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键．9．（环江县期末）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0【分析】由方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，可得△≥0且k≠0，即可求得k的取值范围．【解答】解：当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，∴x＝﹣3，∵方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，解得：k≥﹣，∴k的取值范围为：k≥﹣．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式．留意当△≥0时，方程有两个实数根．10．（惠安县期末）现有x支球队参加篮球竞赛，竞赛接受单循环制即每个球队必需和其余球队竞赛一场，共竞赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45 C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都竞赛一场，共可以竞赛x（x﹣1）场，再依据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．【解答】解：∵有x支球队参加篮球竞赛，每两队之间都竞赛一场，∴共竞赛场数为x（x﹣1）．∴共竞赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（拱墅区校级开学）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝6．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子照旧成立．【解答】解：把x＝m代入x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴代数式m2﹣m+5＝1+5＝6．故答案是：6．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．12．（大连期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝2．【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，解得：m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（鄞州区校级期末）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是34．【分析】探讨：当a＝4时，则4+b＝12，解得b＝8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b＝4时，不符合三角形三边的关系；当a＝b时，利用根与系数的关系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，则m+2＝36，从而得到m的值．【解答】解：当a＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4≠0，不符合题意；当b＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合题意；当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值为34，故答案为34．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．14．（定西期末）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是x1＝4，x2＝﹣3．【分析】干脆利用因式分解法解方程即可．【解答】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，∴x1＝4，x2＝﹣3；故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．（达川区期末）如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，支配在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m2．设人行通道的宽度为xm，依据题意可列方程：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，依据两块绿地的面积和为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，依题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．故答案为：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（濂溪区校级期末）设m、n分别为一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n＝﹣11．【分析】依据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，将其代入m+n+mn中即可求出结论．【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣7，则2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）＝2×（﹣7）﹣（﹣3）＝﹣11．故答案为﹣11．【点评】本题考查了根与系数的关系，依据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣7是解题的关键．17．（辛集市期末）将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为（x﹣）2＝．【分析】先移项，再配方，即可得出答案．【解答】解：x2﹣3x+1＝0，x2﹣3x＝﹣1，x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2，（x﹣）2＝，故答案为：（x﹣）2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．18．（鄞州区校级期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，依据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共10小题）19．（临海市期末）“惠民政策”接连出台，老百姓得到实惠．某种心脏支架原价10000元一副，经过连续两次降价后，现在仅卖729元一副．求该种支架平均每次降价的百分率．【分析】设该种支架平均每次降价的百分率为x，利用心脏支架经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设该种支架平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1﹣x）2＝729，解得：x1＝0.73＝73%，x2＝1.27（不合题意，舍去）．答：该种支架平均每次降价的百分率为73%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．（河南模拟）解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）3x2﹣2x＝﹣1．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）3x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×3×1＝0，x＝＝＝，所以x1＝x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．21．（九龙坡区期末）解下列一元二次方程：（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；（2）x2﹣6x﹣1＝0．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣5x﹣4x+20＝20，即x2﹣9x＝0，分解因式得：x（x﹣9）＝0，所以x＝0或x﹣9＝0，解得：x1＝0，x2＝9；（2）方程移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，娴熟驾驭各自的解法是解本题的关键．22．（衡阳期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发觉，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会削减1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x元，每天可售出y件．（1）写出y与x之间的函数关系式：y＝50﹣（不要求写出自变量取值范围）；（2）当x取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？【分析】（1）利用每天可售出的数量＝50﹣销售单价增加的钱数÷2，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）利用超市每天销售这种玩具获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该种玩具每件利润不得超过60元，即可确定x的值，再将其代入y＝50﹣中即可求出此时每天的销售量．【解答】解：（1）依题意得：y＝50﹣．故答案为：y＝50﹣．（2）依题意得：（40+x）（50﹣）＝2250，整理得：x2﹣60x+500＝0，解得：x1＝10，x2＝50．∵每件利润不得超过60元，∴0≤x≤20，∴x＝10，此时y＝50﹣＝50﹣＝45．答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元，此时每天可销售45件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）依据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（临海市期末）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“V”型轨道上滚动，其中右侧轨道长为25m，左侧轨道长为30m．钢球先由静止起先沿右侧斜面滚下，速度每秒增加8m/s，到达底端后又沿着左侧斜面对上滚动，速度每秒削减am/s．（提示：钢球滚动的距离＝平均速度×时间t，＝，其中v0表示起先的速度，vt表示t秒时的速度．）（1）若钢球在右侧轨道滚动2s，则v1＝16m/s，＝8m/s；（2）写出钢球在右侧斜面滚动的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数解析式，并求出t的取值范围；（3）若钢球滚出左侧斜面，干脆写出a的取值范围0≤a＜．【分析】（1）依据题意求得vt＝8t．把t＝2代入，得到v1＝16m/s，依据＝，代入计算即可；（2）由“钢球滚动的距离＝平均速度×时间t”列出关于t的一元二次方程，进而得到t的取值范围；（3）令钢球在底端时t＝0，得出钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，求出v＝0时，＝＝＝10m/s，那么钢球在左侧斜面滚动的时间t＝＝3，由钢球滚出了左侧斜面得出20﹣3a＞0，进而求出a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得vt＝v0+at＝0+8t＝8t，∴当t＝2时，v1＝8×2＝16（m/s），＝＝＝8（m/s）．故答案为：16，8；（2）∵vt＝8t，∴＝＝＝4t，∴s＝t＝4t2，当s＝25时，25＝4t2，解得t＝（负值舍去），∴s＝4t2（0≤t≤）；（3）当t＝时，v＝8×＝20（m/s），令钢球在底端时t＝0，依据题意得，钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，当v＝20﹣at＝0时，＝＝＝10（m/s），∴t＝＝3（s），∴20﹣3a＞0，∴a＜，又a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意得到关系式是解题的关键．24．（庆阳期末）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．【分析】（1）依据题意得出长×宽＝96，进而得出答案；（2）依据题意得出长×宽＝110，得到方程无解即可．【解答】解：（1）设AB的长为x米，依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，解得：x1＝4，x2＝8，答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；（2）不能．理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，∵Δ＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，∴该一元二次方程无实数根，∴假设不成立，∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．25．（枣阳市期末）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．（1）假如方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k＝1，求该方程的根．【分析】（1）依据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；（2）将k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0．∴20﹣4k＞0，解得k＜5；∴k的取值范围为k＜5．（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，（x﹣1）（x+3）＝0，x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．26．（西湖区校级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T＝+，求T的取值范围．【分析】首先依据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，依据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程依据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，依据m的取值范围，得到T的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1，∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3．（1）∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝+＝＝＝＝＝2﹣2m．∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3．此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1，所以0≤2﹣2m≤4．即0≤T≤4且T≠2．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是驾驭根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．27．（盐都区期末）随着“共享经济”的概念快速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）从六月份起，该公司确定降低租金，经调查发觉，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）2，又知五月份的全天包车数为：64次