2025届新高考数学冲刺突破复习 常用逻辑用语

2025届新高考数学冲刺突破复习常用逻辑用语课程标准1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定

定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系．2．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．CONTECT内容索引01教材梳理强基固本02考点探究精准突破03课时测评教材梳理强基固本微提醒区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．理清主干知识1．充分条件、必要条件与充要条件充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要⊆＝2．全称量词命题和存在量词命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等____存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等____∀∃微提醒

对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)全称量词命题、存在量词命题及其否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，p(x)成立∀x∈M，p(x)_________，¬p(x)存在量词命题______M中的元素x，p(x)成立∃x∈M，p(x)_________，¬p(x)∃x∈M存在∀x∈M记牢常用结论1．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假．练透教材典题1．[多选题]下列结论正确的是A．p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C．已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B√√√√2．[多选题](链接人A必修一P34T5)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件√√√3．(用结论)(链接人A必修一P31T3)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确．4．(链接苏教必修一P47T10)若命题“∀x∈R，x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是___________．(－∞，1)5．(链接人B必修一P38T5)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．(－∞，3)返回考点探究精准突破考点一充分条件、必要条件的判定基础练例1√(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立；所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.√(2)(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件规律方法充分条件、必要条件的两种判定方法1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．2．集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．√对点练1.(1)(2024·湖北武汉模拟)已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.√(2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即由sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”成立的必要不充分条件．故选B.考点二充分必要条件的探求与应用综合练例2(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10√命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇒“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇒9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．变式探究1．(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为___________．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，则m的取值范围是[9，＋∞)．[9，＋∞)2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，这样的m不存在．规律方法根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点1．把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2．要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．√对点练2.(1)(2024·山东济南模拟)“a>b”的一个充分条件是(2)已知p：|x－1|>2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(0,2]考点三全称量词命题与存在量词命题多维练例3角度1含有量词的命题的否定√

(变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案？变式探究例4角度2含量词命题的真假判断[多选题]下列命题中的真命题是A．∀x∈R,3x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2√√√当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确．故选ACD.角度3含量词命题的应用例5√规律方法含量词命题的解题策略1．判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题