2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷附答案

2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（a2）5＝a7 C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.55．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠26．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝无解（）A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣17．（3分）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A．5 B．4 C．3 D．28．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.59．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，垂足为M，AM交BD于点N，BD＝8，则MN的长为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点；④BN＝BMHD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形．14．（3分）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．15．（3分）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CAD＝°．17．（3分）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AD＝1，点P为CD的中点，则BP的最大值是．19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上．20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…），第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……2024的坐标是．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值，请说明理由．24．（7分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，结合图解答下列问题：（1）频数分布表中m＝，扇形统计图中n＝；（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别；（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？组别分组（cm）频数A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤300525．（8分）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象（1）甲货车到达配货站之前的速度是km/h，乙货车的速度是km/h；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM，可得MP＝MN，在Rt△PBM中2+BP2＝MP2，则有BM2+NC2＝MN2．（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，并选择图②或图③进行证明．27．（10分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝6时，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在；若不存在，说明理由．

1．C．2．B．3．C．4．D．5．D．6．A．7．B．8．A．9．C．10．A．11．1.3908×1012．12．x≥4．13．AC＝BD（答案不唯一）．14．．15．﹣≤a＜0．16．65．17．90．18．2．19．、或10．20．（1，3）．21．解：原式＝＝＝4﹣m，当m＝cos60°＝时，原式＝3﹣＝．22．解：（1）△A1B1C5如图所示，B1的坐标为（2，2）；（2）△AB2C2如图所示，B8的坐标为（﹣3，0）；（3）∵AB＝＝，∠BAB2＝90°，∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长为：＝．23．解：（1）将B（1，0），5）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+7．（2）令y＝0，则0＝﹣x4﹣2x+3，解得：x5＝﹣3，x2＝7，∴A（﹣3，0），∴OA＝8，∵C（0，3），∴OC＝8，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+5），且在第二象限内，∴OE＝﹣x，AE＝3+x，∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC＝AE×PE×OA×OC＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣4x+3）（﹣x）×3×3＝（x+）2+∵＜0，∴S有最大值，∴当x＝时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）．24．解：（1）由题意可得，3÷6%＝50，m＝50﹣5﹣20﹣14﹣5＝8，扇形统计图中C组所在的百分比＝＝40%，∴n＝40，故答案为：50，40；（2）被抽取的50名学生立定跳远成绩按从小到大的顺序排列第25个和第26个的平均数，3+8＜25被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；（3）600×＝228（名），答：估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25．解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙货车的速度是（225﹣105）×8÷6＝40（km/h）．故答案为：30，40．（2）∵3.4+0.5＝7（h），6﹣0.8＝5.5（h），∴点E（5，105），225）．设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数．将坐标E（4，105）和F（5.7，得，解得，∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.7）．（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣7）＝40x﹣15（3＜x≤6），线段OD对应的函数表达式为y＝30x（7≤x≤3.5）．当2≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，解得x＝；当3＜x≤3.3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，解得x＝；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，80x﹣215＝40x﹣15；∴出发h或、乙两货车与配货站的距离相等．26．解：图②的结论是BM2+NC2+BM•NC＝MN8．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN、QM，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝30°，∴∠BAM+∠QAB＝30°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM；∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°，∴BH＝BQBQ，∴HM＝BM+BH＝BM+BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM4，即（BQ）7+（BM+BQ）5＝QM2，整理得BM2+BQ7+BM•BQ＝QM2．∴BM2+NC4+BM•NC＝MN2．图③的结论是：BM2+NC3﹣BM•NC＝MN2．证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN、QM，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝60°，∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM，在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∴BH＝BQBQ，HM＝BM﹣BH＝BM﹣BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM5＝QM2，即（BQ）2+（BM﹣BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2﹣BM•BQ＝QM2．∴BM5+NC2﹣BM•NC＝MN2．27．解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据题意得：，解得：．答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元；（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买m）个乙种品牌毽子，根据题意得：，解得：≤m≤64，又∵m，（100﹣，∴m可以为60，62，∴学校共有3种购买方案，方案7：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案5：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子；（3）学校选择方案1商家可获得的总利润为2×60+4×10＝340（元）；学校选择方案2商家可获得的总利润为7×62+4×7＝338（元）；学校选择方案2商家可获得的总利润为5×64+4×3＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，商家获得利润最大．28．解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，∵OA的长度是x5﹣5x﹣6＝5的根，∴OA＝6，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在R