高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)6.3.2-4平面向量的正交分解、加减运算和数乘运算及坐标表示(原卷版+解析)

课时跟踪检测（七）平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示基础练1．若O(0,0)，A(1,2)，且eq\o(OA′,\s\up7(―→))＝2eq\o(OA,\s\up7(―→))，则A′点坐标为()A．(1,4) B．(2,2)C．(2,4) D．(4,2)2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是()A．不共线 B．相等C．方向相同 D．方向相反3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(1，－2) B．(1,2)C．(5,6) D．(2,0)4．若向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，则eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝()A．(－2,4) B．(4,6)C．(－6，－2) D．(－1,9)6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))＋2eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________.8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．10．已知a＝eq\o(AB,\s\up7(―→))，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．拓展练1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．22．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq\o(AB,\s\up7(―→))和eq\o(CD,\s\up7(―→))是相反向量，则D点坐标是()A．(1,0) B．(－1,0)C．(1，－1) D．(－1,1)3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,6) B．(7,6)C．(6,7) D．(7，－6)4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是()A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.6．已知A，B，C三点共线，eq\o(BA,\s\up7(―→))＝－eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(―→))，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．7．已知向量eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)．(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；(2)若eq\o(AC,\s\up7(―→))＝2eq\o(BC,\s\up7(―→))，求x，y的值．培优练已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))为一组基底来表示eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＋eq\o(CD,\s\up7(―→)).课时跟踪检测（七）平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示基础练1．若O(0,0)，A(1,2)，且eq\o(OA′,\s\up7(―→))＝2eq\o(OA,\s\up7(―→))，则A′点坐标为()A．(1,4) B．(2,2)C．(2,4) D．(4,2)解析：选C设A′(x，y)，eq\o(OA′,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C.2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是()A．不共线 B．相等C．方向相同 D．方向相反解析：选D∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(1，－2) B．(1,2)C．(5,6) D．(2,0)解析：选Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.4．若向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))解析：选D法一：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)，∴eq\r(3)×eq\r(3)－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，eq\r(3))与a＋2b是共线向量．故选D.法二：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)＝－eq\r(3)(－1，eq\r(3))，∴向量a＋2b与(－1，eq\r(3))是共线向量．故选D.5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，则eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝()A．(－2,4) B．(4,6)C．(－6，－2) D．(－1,9)解析：选A在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)．又eq\o(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，所以eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))＝(1,5)，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(－3，－1)，所以eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(－2,4)．故选A.6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))＋2eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(－3,3)．∴eq\o(AB,\s\up7(―→))＋2eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.答案：59．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝eq\f(1,2).10．已知a＝eq\o(AB,\s\up7(―→))，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝eq\o(AB,\s\up7(―→)).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－7，,0－y＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－10.))∴A点坐标为(8，－10)．拓展练1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：选B由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).故选B.2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq\o(AB,\s\up7(―→))和eq\o(CD,\s\up7(―→))是相反向量，则D点坐标是()A．(1,0) B．(－1,0)C．(1，－1) D．(－1,1)解析：选C∵eq\o(AB,\s\up7(―→))与eq\o(CD,\s\up7(―→))是相反向量，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))＝－eq\o(CD,\s\up7(―→)).又eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(1,1)，∴eq\o(CD,\s\up7(―→))＝(－1，－1)．设D(x，y)，则eq\o(CD,\s\up7(―→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,6) B．(7,6)C．(6,7) D．(7，－6)解析：选D设D(x，y)，由eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．故选D.4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是()A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)解析：选BCD由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.解析：由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq\f(29,2).答案：－eq\f(29,2)6．已知A，B，C三点共线，eq\o(BA,\s\up7(―→))＝－eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(―→))，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，eq\o(BA,\s\up7(―→))＝－eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(―→))，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－eq\f(3,8)(y－2)．∴y＝10.答案：107．已知向量eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)．(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；(2)若eq\o(AC,\s\up7(―→))＝2eq\o(BC,\s\up7(―→))，求x，y的值．解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．由eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)得eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(2－x,1－y)，所以3(1－y)＝2－x.所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.(2)由eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)，得eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(－x－1，－y)，由eq\o(AC,\s\up7(―→))＝2eq\o(BC,\s\up7(―→))得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2x－2，,1－y＝－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1.))C级——拓展探索性题目应用练已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))为一组基底来表示eq