5.3三角形的中位线课件（五四制）数学八年级上册

第5章平行四边形5.3三角形的中位线三角形中位线的性质三角形中位线在四边形中的应用平行四边形的判定边角对角线两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形回顾与思考探究思考请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．知识点三角形中位线的性质1DE特别提醒1.一个三角形有三条中位线.2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形.3.三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段.4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系DE和边BC关系数量关系：位置关系：ABCDEDE//BCDE＝BC观察猜想例1已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线.求证：DE∥BC，DE＝BC.如图(2)，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.证明：∴CF∥AB.∵BD＝AD，

∴CF＝BD.∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴

DF∥BC(平行四边形的定义)，DF＝BC(平行四边形的对边相等).∴DE∥BC，DE＝BC.归纳利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等.例2如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.导引：点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE.∴四边形ABEC是平行四边形．∴点F是BC的中点．又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线．∴AB＝2OF.归纳证明线段倍分关系的方法：

由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理．1.已知三角形的各边长分别为8cm，10cm和12cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长.解：以各边中点为顶点的三角形的周长为(8＋10＋12)＝15(cm)．2.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离.你能说说其中的道理吗？解：由题意可知，MN是△ABC的中位线，所以AB＝2MN.所以测出MN的长，就可知道A，B间的距离．A3.如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB＝(

)A．50m

B．48mC．45m

D．35mB4.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(

)A．5B．7C．9D．11B5.如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(

)A．4.5B．5C．5.5D．6A6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(

)A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC＝30°D．AB＝

CDC议一议如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流.知识点三角形中位线在四边形中的应用2中点四边形的定义：依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．拓展：不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形．例3如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．如图，连接BD.∵点E，H分别是边AB，DA的中点，∴EH为△ABD的中位线．∴EH∥BD，EH＝BD.同理可得：FG∥BD，FG＝

BD.∴EH∥FG，EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．证明：解法提醒1.依次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形，所有的中点四边形都是平行四边形.2.利用中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”的方法.归纳此题主要考查了平行四边形的判定及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10cm，BD＝12cm，则四边形EFGH的周长为(

)A．10cmB．11cmC．12cmD．22cmD1.2.如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(

)A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长先增大后减小C3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长为______cm.104.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．3练点1三角形的中位线及定理

1.

如图，在△

ABC

中，若

AD

＝

BD

，

BE

＝

CE

，则下列线

段是△

ABC

的中位线的是(

A

)A.

DE

B.

BD

C.

CE

D.

AE

(第1题)A2.

[母题·教材P139随堂练习T2]如图，

A

，

B

两点被池塘隔

开，

A

，

B

，

C

三点不共线.设

AC

，

BC

的中点分别为

M

，

N

.

若

MN

＝3

m，则

AB

＝(

B

)A.4

mB.6

mC.8

mD.10

m(第2题)B3.

如图，在四边形

ABCD

中，点

E

，

F

，

G

分别是边

AB

，

AD

，

DC

的中点，则是图中某个三角形的中位线的线段

是(

D

)A.

BG

B.

BD

C.

EG

D.

EF

(第8题)D三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．几何语言(如图)：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．DE=BC．ABCDE如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝________cm.易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长3点拨：∵AC