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函数eq\r(63x)+eq\r(113y)=46的性质与图像※.函数的定义域∵eq\r(113y)=46-eq\r(63x)≥0,∴eq\r(63x)≤46,即:0≤x≤eq\f(2116,63).则函数的定义域为:[0,eq\f(2116,63)].※.函数的单调性对方程两边同时对自变量x求导,得:eq\f(63,2eq\r(63x))+eq\f(113y',2eq\r(113y))=0,eq\f(113y',eq\r(113y))=-eq\f(63,eq\r(63x)),y'=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113y),eq\r(63x))<0即函数y在定义域上为单调减函数。当x=0时,ymax=eq\f(2116,113);当x=eq\f(2116,63)时,ymin=0。则函数的值域为:[0,eq\f(2116,113)]。本题也可通过复合函数性质来判断函数单调性,因为eq\r(63x)+eq\r(113y)=46,所以eq\r(113y)=46-eq\r(63x),又因为函数y1=eq\r(63x)为增函数,则取负号后为减函数,即f(eq\r(113y))为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113y),eq\r(63x))=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)).∴y"=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*(eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))'.=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(\f(\r(x),2\r(y))y'-\f(\r(y),2\r(x)),x)=-eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(-\f(\r(x),2\r(y))(eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))-\f(\r(y),2\r(x)),x)=eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(\f(\r(x),2\r(y))(eq\f(63,113)*eq\f(eq\r(113),eq\r(63))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))+\f(\r(y),2\r(x)),x)>0,所以函数y在定义域上为凹函数。※.函数的五点图x08.3916.725.133.58eq\r(63x)022.932.439.74646-eq\r(63x)4623.113.66.30y18.724.7221.630.350※.函数的示意图y(0,18.72)(8.39,4.722)(1
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