高中数学奥赛辅导讲座：集合

高中数学奥赛辅导讲座集合与集合;集合与其子集集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。知识系统及其结构：

基本概念：1、集合：一定范围内、确定的、互异的研究对象，作为一个整体称为集合，简称集．各个对象叫做集的元素．元素有四个属性：确定性、互异性、无序性、任意性。2、无限集：含无限多个元素的集称无限集.

3、有限集：含有限个元集的集称为有限集．4、列举法：对有限集，可把它所有的元素写在一个大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。5、描述法：把集合中所有元素的共同属性写在大括号内，这种方法叫描述法.6、空集：一般地，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作Φ

．显然对任一非空集合A,Φ

A。7、元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA，（或aA）．8、常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示．有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．9、子集：若集A的元素都是集B的元素，就称A为B的子集，记作AB．显然AA。10、真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且AB，就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。空集是任何非空集合的真子集．12、集合相等：对于集合A，B，如果AB，同时

BA，那么A＝B．13、交集：对任意两个集合A与B，所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B．

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}11、集合的子集个数：集合A有n个元素，集A的子集共有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.14、并集：由所有属于集A的元素或属于集B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B．A∪B＝{x|x∈A或x∈B}15、全集：如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示U表示．16、补集：一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作A

即A＝｛x│xS，且xA｝．S17、集合的包含关系有传递性：AB，BC

AC

；

A

B，B

C

A

C如韦恩图所示。18、运算的性质：对任意集合A与B，总有A∩A＝A∪A＝A∪Φ＝AA∩Φ＝Φ．A∩B＝B∩A．A∪B＝B∪A．A∪A＝I，A∩A＝Φ

．交、并、补运算有德·摩根律：

(A∪B)

＝A∩B，(A∩B)=A∪B19、形如2n(n∈Z)的整数叫做偶数，形如2n＋1(n∈Z)的整数叫做奇数，{奇数}∪{偶数}＝Z，{奇数}∩{偶数}＝．若I＝R，则Q

＝{无理数}称无理数集．SSSSSSSSS集合与元素一.集合里的元素是什么

集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补(∈、、、、、N、N※

、Z、Q、R、∩、∪、CsA、I、＝、≠……)等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”，“互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类(有限集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。、

例１．设集合A＝（－3，2）。已知x、y∈N，x>y,x3+19y=y3+19x,判断a=与集合A的关系分析：解决本题的关键在于由已知条件确定x+y的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a＝的范围。解：因为x3-y3=19(x-y),且x、y∈N，x>y,所以x2+x<x2+xy+y2=19<3x2由此及x∈N得x=3,从而y=2.所以－3＜a＝即a∈A。例２．设A＝{x∣x=a2+b2,a、b∈Z}，x1，x2∈A，求证：x1·x2∈A。

分析：A中的元素是什么？是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(x)2+(y)2，x·y∈Z例２．设A＝{x∣x=a2+b2,a、b∈Z}，x1，x2∈A，求证：x1·x2∈A。

证明：设x1＝a2+b2，x2=c2+d2，a、b、c、d∈Z则x1×x2＝(a2+b2)(c2+d2)

＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-bc·ad+a2d2

＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而x1·x2∈A例３．以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1

P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则kx∈P(k∈N)

(1)由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x(|y|∈N)故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P。

(2)2P。若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（2k+1）∈P（k∈N）时，－1＝（－2k-1）＋2k∈P，与③矛盾。于是，由②知P中必有正奇数。设我们取适当正整数q，使则负奇数。前后矛盾。说明：本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换(0＝2abcd-2abcd)。命题的结论说明集合A对于其中元素的“·”运算是封闭的。类似的有：自然数集合N对于“＋”、“×”运算是封闭的整数集合Z对于“＋”、“－”、“×”运算是封闭的有理数集合Q对于“＋”、“－”、“×”、“÷”运算是封闭的(除数不能是零)实数集合对于“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算是封闭的复数集合对于“＋”、“－”、“×”、“÷”、乘方、开方运算都是封闭的。二、集合中待定元素的确定例4．已知集合M＝{x，xy，lg(xy)}，S＝{0,|x|,y}，且M＝S,则(x＋1/y)＋(x2＋1/y2)＋…＋(x2004＋1/y2004)的值等于(

)分析：解题的关键在于求出x和y的值，而x和y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：

(a)相等两集合的元素个数相等；

(b)相等两集合的元素之和相等；

(c)相等两集合的元素之积相等；对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。再由两集合相等知

当x＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故x＝1不满足题目要求；当x＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而x＝－1满足题目要求，此时y＝－1，于是

x2K＋1＋1/y2K＋1＝－2(K＝0,1，2，……)，

x2K+1/y2K＝2(K＝1,2，……1002)故所求代数式的值为0解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以xy≠0，故x，y均不为零，所以只能有lg(xy)＝0，从而xy＝1∴M＝{x，1，0}，S＝{0，∣x∣，1/x}例5.设A＝{x∣x2+ax+b=0}

B＝{x∣x2+cx+15=0}若A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a,b,c。分析：由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合∩、∪的概念入手，可以寻得解题的突破口。解：由A∩B＝{3}知3∈B,由韦达定理知此时，B＝{3,5}＝A∪B,又由A∩B＝{3}知5A；而(A∩B)A(A∪B)，故A＝{3}，即二次方程x2＋ax+b＝0有二等根x1＝x2＝3，根据韦达定理，有x1＋x2＝6＝－a，x1x2＝9＝b,所以，a＝－6，b＝9，c＝－8例6.设A是数集，满足若a∈A，则∈A，且1

A.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.

⑶若a∈A，证明：1－∈A.

解：⑴2∈A

－1∈A

∈A

2∈A

∴A中至少还有两个元素：－1和

⑵如果A为单元素集合，则a＝

即a2－a＋1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

但该方程有两个虚数解：a＝i

故在复数范围内，A可以是单元素集，A＝{i}或{i}⑶a∈A

∈A

∈A，即1－∈A三．有限集元素的个数(容斥原理)请看以下问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题(请读者参阅高中教材《数学》第一册(上)P23－P23阅读材料“集合元素的个数”。)为此我们把有限集合A的元素个数记作card(A)或n(A)或|A|可以证明：

(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；

(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)

-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)

+card(A∩B∩C)如下图所示：由图1－3－1，有card(A∪B)=①+②+③=(①+②)+(②+③)-②

＝card(A)+card(B)-card(A∩B)又由图1－3－2，有card(A∪B∪C)=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦＝(①+④+⑤+⑦)+(②+⑤+⑥+⑦)+(③+④+⑥+⑦)-(⑤+⑦)-(⑥+⑦)-(④+⑦)+⑦＝card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)现在我们可以来回答刚才的问题：“开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？”了设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学}则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0即card(B∩C)=3所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)

例7．计算不超过120的合数的个数

分析1：用“筛法”找出不超过120的质数(素数)，计算它们的个数，从120中去掉质数，再去掉“1”，剩下的即是合数。解法1：120以内：①既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”；②素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30个。所以不超过120的合数有120－1－30＝89(个)

(附：筛法：从小到大按顺序写出1－120的所有自然数：先划掉1，保留2，然后划掉2的所有倍数4,6，…120等；保留3，再划掉所有3的倍数6,9…117、120等；保留5，再划掉5的所有倍数10,15，…120；保留7，再划掉7的所有倍数，…这样，上面数表中剩下的数就是120以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉‘筛法’”)

[分析2]受解法1的启发，如果能找出1—n中质数的个数m，则n－1－m就是不超过n的合数的个数。由初等数论中定理：a是大于1的整数。如果所有不大于的质数都不能整除a，那么a是质数。因为120<121＝112，<11，所以不超过120的合数必是2或3或5或7的倍数，所以只要分别计算出不超过120的2、3、5、7的倍数，再利用“容斥原理”即可。解法2：设S1＝{a∣1≤3≤120,2∣a}；S2＝{b∣1≤b≤120,3∣b}；S3＝{c∣1≤3≤120,5∣c}；S4={d∣1≤d≤120,7∣d}，则有：card(S1)＝[120/2]=60，card(S2)＝[120/3]＝40，card(S3)＝[120/5]＝24，card(S4)＝[120/7]＝17

card(S1∩S2)＝[120/2×3]＝20,card(S1∩S3)＝[120/2×5]＝12，

card(S1∩S4)＝[120/2×7]＝8,card(S2∩S3)＝[120/3×5]＝8，

card(S2∩S4)＝[120/3×7]＝5,card(S3∩S4)[120/5×7]＝3，

card(S1∩S2∩S3)[120/2×3×5]＝4,card(S1∩S2∩S4)＝[120/2×3×7]＝2，

card(S1∩S3∩S4)＝[120/2×5×7]＝1，card(S2∩S3∩S4)＝[120/3×5×7]＝1，

card(S1∩S2∩S3∩S4)＝[120/2×3×5×7]＝0∴card(S1∪S2∪S3∪S4)＝card(S1)＋card(S2)＋card(S3)＋card(S4)－card(S1∩S2)－card(S1∩S3)－card(S1∩S4)－card(S2∩S3)－card(S2∩S4)－card(S3∩S4)＋card(S1∩S2∩S3)＋card(S1∩S2∩S4)＋card(S1∩S3∩S4)＋card(S2∩S3∩S4)－card(S1∩S2∩S3∩S4)＝(60＋40＋24＋17)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0＝141-56＋8＝93∵2，3，5，7是质数∴93－4＝89即不超过120的合数共有89个。高中数学奥赛辅导讲座--第二讲1.集合与集合：AB,A

B,A

B,A∩B,A∪B,UA,……

2差集：A－B＝{x|x∈A且x

B}(部分资料上用“A\B”表示)3.集合运算律：(略)4.n个元素的集合所有子集个数为：2n已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有()个

A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M，则8－x∈M，则满足这样条件的集合M的个数为()

A.64 B.32 C.16 D.83.求集合{x∈Z|≤2x＜32}的真子集个数.4.已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.一.集合与集合的运算例5．已知集合M＝{直线}，N＝{抛物线}，则M∩N中元素的个数为()

(A)0；(B)0,1，2其中之一；(C)无穷；(D)无法确定[分析]M中的元素为直线，是无限集；N中的元素为抛物线，它也是无限集。由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在，故M∩N＝φ，选(A)[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点，N中的元素是抛物线上的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选(B)；例6．已知A＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，B＝{y∣y＝－x2－2x＋2，x∈R}，求A∩B先看下面的解法：

解：联立方程组

y＝x2－4x＋3①

y＝－x2－2x＋2②①－②消去y，得

2x2－2x＋1＝0③因为Δ＝(－2)2－4×2×1＝－4<0，方程③无实根，故A∩B＝φ上述解法对吗？

[说明]上述解法对吗？画出两抛物线的图象：y＝x2－4x+3=(x-1)(x-3),开口向上，与x轴交于(1,0)、(3,0)，对称轴为x＝2，纵截距为3；y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，开口向下，与x轴交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，对称轴为x＝－1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗？

42-2-4-5542-2-4-55回头审视两集合A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中的元素都是实数y，即当x∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二次函数的值域集合。故由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3≤3，可知A＝{y∣y≥－1}，B＝{y∣y≤3}，它们的元素都是“实数”，从而有M∩N＝{y∣－1≤y≤3}你看，认清集合中元素的构成是多么重要！二.集合与集合的包容关系

在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。例7.已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.证明：这10个元素的总和S＜100×10＝1000

而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S

根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，

如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.

如果M、N中有公共元素，记M∩N＝Q,

考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q

则M'、N'中没有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同时它们都是A的子集.

即M'、N'为所求集合.

命题成立！解：（1）

。

。例8．S1、S2、S3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i、j、k，若x∈Siy∈Sj，则x-y∈Sk(1)证明：三个集合中至少有两个相等。

(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？

证明：（1）若x∈Siy∈Sj，则x-y∈Sk

所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设S1、S2、S3中的最小正元素为a，不妨设a∈S1，设b为S2、S3中最小的非负元素，不妨设b∈S2则b-a∈S3。若b>0,则0≤b-a＜b，与b

的取法矛盾。所以b=0。任取x∈S1因0∈S2,

故x－0＝x∈S3。所以，同理所以S1=S2。(2)可能。例如S1=S2={奇数}，S3={偶数}显然满足条件，S1和S2与S3都无公共元素。例９．设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，ab∈S；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，则；若－r∈S，则。总之，取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S。设p、q∈S，由①pq∈S，又由前证知，所以

∈Ｓ。因此，Ｓ含有全体正有理数。

再由①知，0及全体负有理数不属于Ｓ。即Ｓ是由全体正有理数组成的集合。例10.已知集合：问(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。A∩C与B∩C分别为方程组(Ⅰ)(Ⅱ)的解集。由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（x,y）=（1，0），(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能

①②由①解得a=0；由②解得a=1。故a=0或1时，(A∪B)∩C恰有两个元素

(2)使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：

解得，故当时，(A∪B)∩C恰有三个元素。例10.设n∈N且n≥15，A、B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=φ，且A∪B={1，2，3，…，n}。求证：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，{1，2，3，…，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集A、B之一。假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集A、B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。

不妨设1∈A，则3A，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B。同样6B，所以6∈A，这时10A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=42，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=52，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．

易得：A＝(1，3)，设要使

只需f(x)、g(x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，由此推出－4≤a≤－1．

三.有限集合子集的个数问题：

(1)集合{a}一共有几个子集？

(2)集合{a，b}一共有几个子集？

(3)集合{a,b,c}一共有几个子集？

(4)集合{a,b,c,d}一共有几个子集？

(5)猜想集合{a1,a2…，an}一共有几个子集？

(6)利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数：{1,2}M{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。有限集合{a}的子集有:φ,{a};共两个

有限集合{a,b}的子集有:φ,{a},{b},{a,b};共4＝22个；有限集合{a,b,c}的子集有:φ;{a},{b},{c}；{a,b},{a,c},{b,c}；{a,b,c}；8＝23个；有限集{a,b,c,d}的子集有φ:{a},{b},{c},{d};{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}；｛a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};{a,b,c,d}；共16＝24个。这里，{a,b,c,d}的子集可以分成两部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；另一部分包括d，是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。

循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的规律，可以猜想有限集合{a1,a2…，an}的子集共有2n个，其中非空子集有2n－1个；真子集也有2n－1个，非空真子集有2n－1－1＝2n－2个。利用上述猜想，问题(6)中集合M的个数应当有28＝256个。例7．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。分析：两位数共有10,11，……,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，……,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。例7．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如