高中数学必修3函数应用

第四章

1/

;函数应用

§1函数与方程

1.1利用函数性质判定方程解的存在

【学习目标】1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系2会借助零点存在性定

理判断函数的零点所在的大致区间3能借助函数单调性及图像判断零点个数.

问题导学预习新知夯实基础

知识点一函数的零点概念

思考函数的“零点”是一个点吗？

答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使段）=0的实数X.实际上是函数y=Kx）的图像

与x轴交点的横坐标.

梳理概念：函数y=*x）的零点是函数y="）的图像与横轴的交点的横坐标.

方程、函数、图像之间的关系：

方程式x）=0有实数根㈡函数y=fix）的图像与x轴有交点分函数y=，x）有零点.

知识点二零点存在性定理

思考函数零点有时是不易求或求不出来的.如兀r）=lgx+x.但函数值易求，如我们可以求

出/古）=怆10+10=-1+10=~^月1）=21+1=L

那么能判断危）=lgx+x在区间1）内有零点吗？

答案能.因为_/（x）=lgx+x在区间1）内是连续的，函数值从一卷变化到I,势必在

（京，1）内某点处的函数值为0.

梳理若函数y=/（x）在闭区间［外”上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相

反，即版)帅)<0,则在区间(a,b)内，函数y=y(x)至少有一个零点，即相应的方程凡0=0

在区间(a,6)内至少有一个实数解.这个结论可称为函数零点的存在性定理.

思考辨析判断正误

1.犬x)=f的零点是0.(V)

2.若—a)•胆)>0,则火龙)在［a,切内无零点.(X)

3.若Ax)在［a,句上为单调函数，且九0由与<0,则危)在3,6)内有且只有一个零点.(V)

4.若.*x)在(。，勿内有且只有一个零点，则人幻:火力<0.(X)

题型探究-----------------启迪思维探究重点

类型一求函数的零点

例1函数兀t)=(lgx)2-lgx的零点为.

考点函数零点的概念

题点求函数的零点

答案x=1或x=10

解析由(lgx)2—lgx=0,得lgx(lgx—1)=0,

••lgX—--0或1gx-—1,••x-—1或x--10.

反思与感悟函数y=/(x)的零点就是方程式x)=0的实数根，也就是函数y=«x)的图像与x

轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定

是一个数字，而不是一个坐标.

跟踪训练1函数火工)=(/-l)(x+2)2(f-2x-3)的零点个数是.

考点函数零点的概念

题点求函数的零点

答案4

解析Xx)=(x+l)(x-l)(x+2)2(x-3)(%+1)

=(X+1)2(X-1)(X+2)2(X-3).

可知零点为±1,-2,3,共4个.

类型二判断函数的零点所在的区间

例2根据表格中的数据，可以断定方程e'—(x+2)=0(eQ2.72)的一个根所在的区间是()

X-10123

ex0.3712.727.4020.12

x+212345

A.(-1,O)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

考点函数零点存在性定理

题点判断函数零点所在的区间

答案C

解析令於)=厘一(苫+2),则/一1)=0.37—1<0,/0)=1-2<0,#1)=2.72—3<0,42)=740

-4=3.40>0.由于近1)由2)<0,...方程e'-(x+2)=0的一个根在(1,2)内.

反思与感悟在函数图像连续的前提下，犬“)十份<0,能判断在区间(。，份内有零点，但不一

定只有一个；而穴。他)>0,却不能判断在区间3,3内无零点.

跟踪训练2若函数y(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(〃，〃+l)("GN)内，贝U”=.

考点函数零点存在性定理

题点判断函数零点所在的区间

答案2

解析•.•函数式x)=3x—7+lnx在定义域上是增函数，

函数«x)=3x—7+lnx在区间(〃,"+1)上只有一个零点.

••70)=3—7+ln1=—4<0,：2)=6—7+十2<0,式3)=9—7+ln3>0,

函数式x)=3x—7+lnx的零点位于区间(2,3)内，

・,•几=2.

类型三函数零点个数问题

命题角度1判断函数零点个数

例3求函数兀v)=2，+lg(x+l)-2的零点个数.

考点函数的零点与方程根的关系

题点判断函数零点的个数

解方法一；人0)=1+0—2=—1<0,川)=2+lg2—2>0,."x)在(0,1)上必定存在零点.又

显然火x)=2'+lg(x+1)—2在(-1,十8)上为增函数.

故函数人的有且只有一个零点.

方法二在同一坐标系下作出〃(x)=2—2、和g(x)=lg(x+l)的草图.

由图像知g(x)=lg(x+l)的图像和力a)=2—2、的图像有且只有一个交点，

即y(x)=2'+lg(x+1)-2有且只有一个零点.

反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存

在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的

个数.

跟踪训练3求函数段)=lnx+2x—6零点的个数.

考点函数的零点与方程根的关系

题点判断函数零点的个数

解方法一由于/2)=1112—2<0,/3)=1113>0,即_/(2)7(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)

内有零点.又因为函数_/U)在定义域(0,+8)内是增函数，所以它仅有一个零点.

方法二通过作出函数y=lnx,y=-2x+6的图像，观察两图像的交点个数得出结论.也就

是将函数<x)=lnx+2x—6的零点个数转化为函数y=lnx与y——2x+6的图像交点的个数.

由图像可知两函数有一个交点，即函数兀0有一个零点.

命题角度2根据零点情况求参数范围

例4兀v)=2±(x-a)-1在(0,+8)内有零点，则。的取值范围是()

A.(—8,H-oo)B.(—2,+°0)

C.(0,+8)D.(-1,+8)

考点函数零点存在性定理

题点与函数零点有关的参数取值范围问题

答案D

解析由题意可得“=X—Q)vU>0).

令g(x)=x-该函数在(0,+8)上为增函数，可知g(x)的值域为(-1,+°°),故a>一1

时，/U)在(0,+8)内有零点.

反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的

方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含

参数的函数尽可能简单.

跟踪训练4若函数於)=『+2松+2〃?+1在区间(-1,0)和(1⑵内各有一个零点，则实数

的取值范围是()

A.(一8,1一的“1+啦，+8)

B.(-8,I-啦)U(l+啦，+°o)

c

[~i4]

考点一元二次方程根的分布

题点两根分别在两不同区间

答案D

解析函数,/(x)=d+2〃Lv+2m+l的零点分别在区间(一1,0)和(1,2)内，

即函数ytAOuf+Z/nx+Z/n+l的图像与x轴的交点一个在(一1,0)内，一个在(1,2)内,

^-1)=2>0,

[0)=2加+1<0,

根据图像列出不等式组《

犬1)=4机+2<0,

32)=6机+5>0,

f1

w<—2，

解得《***―1<7W<—

%>一大

实数机的取值范围是

达标检测-----------------检测评价达标过关

1.函数y=x的零点是()

A.(0,0)B.x=0C.x=lD.不存在

考点函数零点的概念

题点求函数的零点

答案B

2.函数./U)=/—2x的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

考点函数零点的概念

题点求函数的零点

答案C

3.若函数兀v)的图像在R上连续不断，且满足犬0)<0,川)>0,12)>0,则下列说法正确的是

()

A./(X)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点

B./U)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点

C.«r)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点

D../(X)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点

考点函数零点存在性定理

题点判断函数在区间上是否有零点

答案c

4.下列各图像表示的函数中没有零点的是（)

考点函数零点的概念

题点判断函数有无零点

答案D

5.函数兀v）=V-的零点有（）

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

考点函数的零点与方程根的关系

题点判断函数零点的个数

答案B

规律与方法

1.方程/（x）=g（x）的根是函数火x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数g（x）的图像

与x轴交点的横坐标.

2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：（1）函数是连续的：（2）定理不可逆；（3）至少存在

一个零点.

3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：

（1）用定理；（2）解方程；（3）用图像.

4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有

时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

课时对点练注重双基强化落实

一、选择题

考点函数零点的概念

题点判断函数有无零点

答案A

解析B,C,D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函

数没有零点.

2.已知函数代r)在区间口，句上单调，且图像是连续不断的，若人①皿6)<0,则方程1x)=0

在区间句上()

A.至少有一实数根B.至多有一实数根

C.没有实数根D.必有唯一的实数根

考点函数零点存在性定理

题点判断函数在区间上是否有零点

答案D

解析由题意知函数次x)为连续函数.二7(“求切<0,函数兀0在区间心，b］上至少有一个零

点、.又•••函数段)在区间团，团上是单调函数，.•.函数次x)在区间［a,团上至多有一个零点.故

函数«r)在区间［a,句上有且只有一个零点，即方程式x)=0在区间［a,切内必有唯一的实数根.故

选D.

3.已知函数yu)=3—iog2x,在下列区间中，包含y(x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+«>)

考点函数零点存在性定理

题点判断函数零点所在的区间

答案C

解析由题意知，函数/U)在(0,+8)上为减函数.汽1)=6—0=6>0,五2)=3—1=2>0,14)

=卜叫24=,-2=一；<0.由零点存在性定理可知函数於)在区间(2,4)上必存在零点.

4.对于函数於)=1+"a+〃，若/(a)>0,则函数凡0在区间(a,3)内()

A.一定有零点B.一定没有零点

C.可能有两个零点D.至少有一个零点

考点函数零点存在性定理

题点判断函数在区间上是否有零点

答案C

解析若函数/(x)的图像及给定的区间(a,b),如图(1)或图(2)所示，可知A,D错，若如图(3)

所示,可知B错.

5.+8),则()

A.於|)<0,式X2)<0B.y(xi)<0,人及)>0

C.於|)>0,Xx2)<0D.危1)>0,危2)>0

考点函数零点存在性定理

题点与函数零点有关的参数取值范围问题

答案B

解析方法一由犬x)=0得2*+±=0,

在同一直角坐标系中，作出函数>1=2。竺=士•的图像(图略)，

观察图像可知，当xie(i,xo)时，9勺2；

当X2G(Xo,+8)时，y1>了2,..JUi)<0,X^2)>0.

方法二•.,函数y=2*,在(1,+8)上均为增函数，，函数在(1,+8)上为增函

数，

.•.由xiG(I,沏),兀脸=0,得式由)勺由))=0,

由及丘(须),+°°),Xxo)=O,得«X2)次xo)=O.

6.若函数7(x)在定义域｛MxeR且xWO｝上是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，*2)=0,则

函数兀v)的零点有()

A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断

考点函数零点的综合应用

题点函数零点的个数问题

答案B

解析人x)在(0,+8)上是减函数，<2)=0,

所以7U)在①，+8)上有且仅有一个零点2.

又兀V)是偶函数，所以人龙)在(-8,0)上有且仅有一个零点一2.

因此函数兀0有两个零点一2与2.

二、填空题

7.若函数火x)=〃u—1在。1)内有零点，则实数机的取值范围是

考点函数零点存在性定理

题点与函数零点有关的参数取值范围问题

答案(1,十8)

解析10)=—1,要使函数-1在(0,1)内有零点，需41)=加一i>o,即心>1.

8.若函数/U)=3/—5x+a的一个零点在区间(一2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内，则实数

a的取值范围是

考点一元二次方程根的分布

题点两根分别在两不同区间

答案(-12,0)

解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图.

仅-2)>0,

由图可知《“°卜3

川)<0,

［火3)>0,

<12+10+a>0,

。<0,

即《解得一

3—5+«<0,

、27-15+。>0,

12-*-4,xWO,

9.函数式x)=的零点是________.

[lgx,x>0

考点函数零点的概念

题点求函数的零点

答案一2,1

解析当xWO时，令2r—4=0,得》=-2,满足要求；当x>0时，令lgx=O,得x=l,

满足要求.所以函数_/(x)的零点是一2,1.

10.已知函数人此=优一2|+1,g(x)=kx,若方程兀v)=g(x)有两个不相等的实根，则实数左的

取值范围是.

考点函数零点存在性定理

题点与函数零点有关的参数取值范围问题

答案&1)

解析画出函数yu)的图像，如图所示.若方程y(x)=g(x)有两个不相等的实根，则函数./(X),

g(x)的图像有两个交点，由图可知&>3，且A<1.

三、解答题

11.试判断方程炉=2,在区间［L2］内是否有实数解.

考点函数零点存在性定理

题点判断函数在区间上是否有零点

解设函数兀v