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文档简介
微专题06函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点:
做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作
图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符
号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知
识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结
合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常
见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点
(1)一次函数:y=若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定
直线
特点:两点确定一条直线
信息点:与坐标轴的交点
(2)二次函数:y^a(x-h)2+k,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧
的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点一一顶点,若与坐标轴相交,则
标出交点坐标可使图像更为精确
特点:对称性
信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点
(3)反比例函数:丁=工,其定义域为(-8,0)0(。,+8),是奇函数,只需做出正版轴图像
即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线
特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线
信息点:渐近线
注:
(1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线
在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,X轴是渐近线,那
么当Xf曲线无限向X轴接近,但不相交,则函数在X正半轴就不会有X轴下方的部分。
(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若%一”(或-8)时,/(x)-常数
C,则称直线y=C为函数/(x)的水平渐近线
例如:y=2X当xf+oo时,y->-Ko,故在x轴正方向不存在渐近线
当XFYO时,yf0,故在x轴负方向存在渐近线y=0
⑶竖直渐近线的判定:首先在x=Q处无定义,且当X—>6Z时,/(%)—>+8(或一oo),
那么称X=Q为/(X)的竖直渐近线
例如:y=1082不在1=0处无定义,当x-0时,/(x)^-oo,所以x=0为y=log2%的
一条渐近线。
综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:与坐标轴的交点;对称轴与
对称中心;极值点;渐近线。
例:作出函数〃x)=x—工的图像
分析:定义域为(一oo,0)U(0,+°°),且/(x)为奇函数,-/故
先考虑/正半轴情况。//
/(x)=l+4>0故函数单调递增,/*
f(X)=~―<0,故函数为上凸函数,当X—>+30时,//I
/(x)—>+8无水平渐近线,X—>0时,—>-8,所以y轴为/(x)的竖直渐近线。零
点:(1,0),由这些信息可做出正半轴的草图,在根据对称性得到/(x)完整图像:
2、函数图象变换:设函数y=/(x),其它参数均为正数
(1)平移变换:
/(x+«):/(x)的图像向左平移a个单位
/(x)的图像向右平移〃个单位
/(x)+。:〃X)的图像向上平移a个单位
/(x)—b:“X)的图像向下平移a个单位
(2)对称变换:
/(-%):与/(x)的图像关于y轴对称
-/(%):与/(x)的图像关于x轴对称
—〃-x):与/(x)的图像关于原点对称
(3)伸缩变换:
Ik>1。
/("):“X)图像纵坐标不变,横坐标变为原来的,0<%<]收缩
拉伸
k>1:拉伸
"(X):/(X)图像横坐标不变,纵坐标变为原来的攵倍,
0<k<l:收缩
(4)翻折变换:
/(x),x>0
/(W):f(W)=<即正半轴的图像不变,负半轴的原图像不要,换上与正半
/(-x),x<0
轴图像关于y轴对称的图像
/(x)J(x"O
|/(x)|:|/(x)|=<即X轴上方的图像不变,下方的图像沿X轴对称的翻上
-/(x),/(x)<0
去。
3、二阶导函数与函数的凹凸性:
(1)无论函数单调增还是单调减,其图像均有3种情况,
若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为
(2)上凸函数特点:增区间增长速度越来越慢,减区间下降速度越来越快
下凸函数特点:增区间增长速度越来越快,减区间下降速度越来越慢
(3)与导数的关系:设f(x)的导函数为/'(X)(即“X)的二阶导函数),如图所示:增长
速度受每一点切线斜率的变化情况的影响,下凸函数斜率随x的增大而增大,即/(X)为增函
数n/"(x)?O;上凸函数随x的增大而减小,即/(x)为减函数n/"(x)<0:
综上所述:函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定,进而能用二阶导函数的符号进行求解。
二、方法与技巧:
1、在处理有关判断正确图像的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,
再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:
(1)单调性:导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图像位于X轴上方的区域表示原函
数的单调增区间,位于无轴下方的区域表示原函数的单调减区间
(2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
(3)极值点
(4)对称性(奇偶性)——易于判断,进而优先观察
(5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部
分,减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定
2、利用图像变换作图的步骤:
(1)寻找到模板函数/(x)(以此函数作为基础进行图像变换)
(2)找到所求函数与“X)的联系
(3)根据联系制定变换策略,对图像进行变换。
例如:作图:y=|ln(x+l)|
第一步寻找模板函数为:/(x)=lnx
第二步寻找联系:可得y=|/(x+l)|
第三步制定策略:由|/(x+1)|特点可得:先将“X)图像向左平移一个单位,再将x轴下方
图像向上进行翻折,然后按照方案作图即可
3、如何制定图象变换的策略
(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下:
①若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换
②若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换
例如:y=/(3x+l):可判断出属于横坐标的变换:有放缩与平移两个步骤
y=/(—x)+2:可判断出横纵坐标均需变换,其中横坐标的为对称变换,纵坐标的为
平移变换
(2)多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在
安排顺序时注意以下原则:
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求
②横坐标的多次变换中,每次变换只有x发生相应变化
例如:y=/(x).y=/(2x+l)可有两种方案
方案一:先平移(向左平移1个单位),此时/(x)f/(X+1)。再放缩(横坐标变为原来的
;),此时系数2只是添给X,即/(X+1)-/(2%+1)
方案二:先放缩(横坐标变为原来的;),此时/(%)―/(2x),再平移时,若平移4个单
位,贝ij/(2x)f/(2(x+a))=/(2x+2a)(只对x加。),可解得a=g,故向左平移;
个单位
③纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行
例如:y=/(x),y=2/(x)+1有两种方案
方案一:先放缩:y=/(x)->>'=2/(x),再平移时,将解析式看做一个整体,整体加1,
即y=2/(x)-y=(2/(x))+i
方案二:先平移:y=/(x)->y=/(x)+l,则再放缩时,若纵坐标变为原来的。倍,那么
y=/(x)+l-y=a(/(x)+l),无论a取何值,也无法达到y=2〃x)+l,所以需要对
前一步进行调整:平移,个单位,再进行放缩即可(a=2)
2
4、变换作图的技巧:
(1)图像变换时可抓住对称轴,零点,渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方
向的移动。先把握住这些关键要素的位置,有助于提高图像的精确性
(2)图像变换后要将一些关键点标出:如边界点,新的零点与极值点,与y轴的交点等
三、例题精析:
例1:己知函数=+云2+c,其导数/.(X)的图象如图所示,则函数八%)的极大
值一
A.a+b+cB.8Q+4Z?+CC.3a+2bD.c\/\
思路:由图像可知:]£(o,2)时,,r(%)>(),/(%)单调递增,一片—\—2^—\
XC(2,+8)时,/(x)<0,.f(x)单调递减,所以的极大值为/⑵=8a+4b+c
答案:B
小炼有话说:观察导函数图像时首要关注的是函数的符号,即是在x轴的上方还是下方,导函
数的符号决定原函数的单调性
例2:设函数y=/(x)可导,y=/(x)的图象如图所示,则导函数y=/'(x)的图像可能为
思路:根据原函数的图像可得:“X)在(-oo,0)单调递增,在正半轴先增再减再增,故/(X)
在负半轴的符号为正,在正半轴的符号依次为“正负正”,观察四个选项只有D符合
答案:D
小炼有话说:本题可直接由导函数的符号来排除其他选项,若选项中也有符合D中“负半轴
的符号为正,在正半轴的符号依次为,正负正,”,那么可观察第二条标准:从图上看在x负半
轴中,函数增长的速度越来越快,则说明切线斜率随x的增大而增大,进而导函数在x负半轴
也单调递增,依次类推可得到正半轴的情况,D选项依然符合特征
例3:函数〃%)=6中一1的部分图象为()
思路:f(x)=erx2+e2(2x)=x(x+2)ev,可得在(一》,—2),(0,+00)单调递增,在
x2
(-2,0)单调递减,且可估计当x—>—8,I,=—7—>0即/―1,所以y=-l为函
数/(x)的渐近线,当X—>+oo,y—>+8由此可判断出图像A正确
答案:A
小炼有话说:(1)本题考查的是通过分析函数性质作图,单调性是非常重要的一个要素,通
过单调性也可排除其他三个选项
(2)关于渐近线的判断:对于X—尤=±_-0可这样理解XT•一时X2,e-x
均趋向正无穷,但e-*的速度更快,进而伴随着xfyo,e-*将远远大于进而比值趋于
0,当xfy,增长速度的排名为:直线(一次函数)(二次函数(指数函数
例4:函数/(x)的图像可能是()
rInr
思路:观察解析式可判断出f(X)=—为奇函数,排除A,C.当X>0时,/(%)>()=Inx,
\x
故选择B
答案:B
小炼有话说:/(月=生■区有两点可以优先观察:一个是奇偶性,则图像具有对称性,只
IxI
需考虑正半轴的情况即可;二是含有绝对值,可利用X的符号去掉绝对值,进而得到正半轴的
解析式。
例5(2015浙江文):函数=(-乃Kx(乃,xwO)的图像可能为()
思路:观察4个选项的图像,其中A,B图像关于y轴对称,C,D图像关于原点中心对称。所
以先判断函数奇偶性,可判断出/(-X)=+—Vos(-x)=-x-—Vosx=-/(x)
所以/(x)为奇函数,排除A,B,再观察C,D的区别之一就是/(〃)的符号,经过计算可得
/'(»)=(乃一,]cos;r=,一乃<0,所以排除C
71)冗
答案:D
例6:已知“尤)=;/+5皿总+1,广(力为〃尤)的导函数,则/《)的图像是()
思路:+sin(5+x)=:/+cosx,1(x)=;x-sinx,可判断了(x)为奇
函数,图像关于原点中心对称,排除6,0。因为70=35一$呜=3仁-1)<0,排
除C。故4正确。
答案:A
小炼有话说:f(x)=gx-sinx可优先判断出奇偶性,进而排除一些选项,对于AC选项
而言,其不同之处有两点,一点是从x=0处开始的/(X)符号,解析的思路也源于此,但需
要代入特殊角进行判断,A选项的图中发现在x轴正半轴中靠近y轴的函数值小于零,从而选
■jr
择最接近0的特殊角一,除此之外,A,C图像的不同之处还在于从x=0开始时/(X)的单
调性,所以也可对/‘(X)求导,/(x)=^-cosx,则时,f(x)<0,即f(x)
应先减再增。所以排除C
例7:下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是
()
A.①②B.③④C.①③D.①④
思路:如图所示:在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导致的符号是正确的,即
单调增区间导数大于零,单调减区间上导数小于零;在③中显示在区间(0,。)上导函数的值为
负值,而该区间上的函数图象显示不单调,二者不一致,所以③不正确;在④图象显示在区
间(a,b)上导函数的值总为正数,而相应区间上的函数图象却显示为减函数,二者相矛盾,所
以不正确.故选B.
答案:B
小炼有话说:要注意导函数图像与原函数图像的联系:导函数的符号与原函数的单调性相对
应,导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。
例8:己知H上可导函数/(x)的图象如图所示,则不等式仁一2x-3)f(x)>0的解集为
A.(f,—2)U。,”)B.(F,—2)U(1,2)
C.(―oo,—1)U(—1,。)U(2,+℃)D.(—oo,—l)U(3,+℃)
思路:由图像可得:(-00,—1),(1,+30)时,f(X)>0,%£(一1,1)时,f(X)<O,所以
了2—2x-3>0冗2—2x—3<0
所解不等式为:或《,可得:S,T)U(T,1)U(3,同
f(x)>0[/(x)<0
答案:D
例9:函数/(%)=/+加2+%+d的大致图象如图所示,则x;+x;等于()
8
9-
思路:由图像可得:网为〃%)的极值点,x=Tx=0,x=2为函数的零点
2b
f(x)=3x2+2bx+c,即X],/是方程3%2+2bx+c=0的两个根,:.%+马=--
XXc22/+X\2_4Z?-2c
l2,须+X2=(X12)-2光押2=---------—>
7(-i)=o-l+b-c+d-0h=—l
由,/
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