高中数学讲义微06 函数的图像

微专题06函数的图像

一、基础知识

1、做草图需要注意的信息点：

做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作

图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符

号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定(详见“知

识点讲解与分析”的第3点)，这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结

合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常

见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点

(1)一次函数：y=若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定

直线

特点：两点确定一条直线

信息点：与坐标轴的交点

(2)二次函数：y^a(x-h)2+k,其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧

的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点一一顶点，若与坐标轴相交，则

标出交点坐标可使图像更为精确

特点：对称性

信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点

(3)反比例函数：丁=工，其定义域为(-8,0)0(。,+8)，是奇函数，只需做出正版轴图像

即可(负半轴依靠对称做出)，坐标轴为函数的渐近线

特点：奇函数(图像关于原点中心对称)，渐近线

信息点：渐近线

注：

(1)所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线

在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，X轴是渐近线，那

么当Xf曲线无限向X轴接近，但不相交，则函数在X正半轴就不会有X轴下方的部分。

(2)水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若％一”(或-8)时，/(x)-常数

C,则称直线y=C为函数/(x)的水平渐近线

例如：y=2X当xf+oo时，y->-Ko,故在x轴正方向不存在渐近线

当XFYO时，yf0,故在x轴负方向存在渐近线y=0

⑶竖直渐近线的判定：首先在x=Q处无定义，且当X—>6Z时，/(%)—>+8(或一oo),

那么称X=Q为/(X)的竖直渐近线

例如：y=1082不在1=0处无定义，当x-0时，/(x)^-oo,所以x=0为y=log2%的

一条渐近线。

综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与

对称中心；极值点；渐近线。

例：作出函数〃x)=x—工的图像

分析：定义域为(一oo,0)U(0,+°°)，且/(x)为奇函数，-/故

先考虑/正半轴情况。//

/(x)=l+4>0故函数单调递增，/*

f(X)=~―<0,故函数为上凸函数，当X—>+30时，//I

/(x)—>+8无水平渐近线，X—>0时，—>-8,所以y轴为/(x)的竖直渐近线。零

点：(1,0),由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到/(x)完整图像：

2、函数图象变换：设函数y=/(x),其它参数均为正数

(1)平移变换：

/(x+«)：/(x)的图像向左平移a个单位

/(x)的图像向右平移〃个单位

/(x)+。：〃X)的图像向上平移a个单位

/(x)—b：“X)的图像向下平移a个单位

(2)对称变换：

/(-%)：与/(x)的图像关于y轴对称

-/(%)：与/(x)的图像关于x轴对称

—〃-x)：与/(x)的图像关于原点对称

(3)伸缩变换：

Ik>1。

/(")：“X)图像纵坐标不变，横坐标变为原来的,0<%<]收缩

拉伸

k>1：拉伸

"(X)：/(X)图像横坐标不变，纵坐标变为原来的攵倍，

0<k<l：收缩

(4)翻折变换:

/(x),x>0

/(W)：f(W)=<即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半

/(-x),x<0

轴图像关于y轴对称的图像

/(x)J(x"O

|/(x)|：|/(x)|=<即X轴上方的图像不变，下方的图像沿X轴对称的翻上

-/(x),/(x)<0

去。

3、二阶导函数与函数的凹凸性:

(1)无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况,

若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数

若一个函数的增减图像为

(2)上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快

下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢

(3)与导数的关系：设f(x)的导函数为/'(X)(即“X)的二阶导函数)，如图所示：增长

速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随x的增大而增大，即/(X)为增函

数n/"(x)?O；上凸函数随x的增大而减小，即/(x)为减函数n/"(x)<0：

综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。

二、方法与技巧：

1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，

再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：

(1)单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于X轴上方的区域表示原函

数的单调增区间，位于无轴下方的区域表示原函数的单调减区间

(2)函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分

(3)极值点

(4)对称性(奇偶性)——易于判断，进而优先观察

(5)函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部

分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定

2、利用图像变换作图的步骤：

(1)寻找到模板函数/(x)(以此函数作为基础进行图像变换)

(2)找到所求函数与“X)的联系

(3)根据联系制定变换策略，对图像进行变换。

例如：作图：y=|ln(x+l)|

第一步寻找模板函数为：/(x)=lnx

第二步寻找联系：可得y=|/(x+l)|

第三步制定策略：由|/(x+1)|特点可得：先将“X)图像向左平移一个单位，再将x轴下方

图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可

3、如何制定图象变换的策略

(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：y=/(3x+l):可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

y=/(—x)+2：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为

平移变换

(2)多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在

安排顺序时注意以下原则：

①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化

例如：y=/（x）.y=/（2x+l）可有两种方案

方案一：先平移（向左平移1个单位），此时/（x）f/（X+1）。再放缩（横坐标变为原来的

；）,此时系数2只是添给X,即/（X+1）-/（2%+1）

方案二：先放缩（横坐标变为原来的；），此时/（%）―/（2x）,再平移时，若平移4个单

位，贝ij/（2x）f/（2（x+a））=/（2x+2a）（只对x加。），可解得a=g,故向左平移;

个单位

③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行

例如：y=/（x）,y=2/（x）+1有两种方案

方案一：先放缩：y=/（x）->>'=2/（x）,再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1,

即y=2/（x）-y=（2/（x））+i

方案二：先平移：y=/（x）->y=/（x）+l,则再放缩时，若纵坐标变为原来的。倍，那么

y=/（x）+l-y=a（/（x）+l）,无论a取何值，也无法达到y=2〃x）+l,所以需要对

前一步进行调整：平移,个单位，再进行放缩即可（a=2）

2

4、变换作图的技巧：

（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方

向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性

（2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与y轴的交点等

三、例题精析：

例1：己知函数=+云2+c,其导数/.（X）的图象如图所示，则函数八%）的极大

值一

A.a+b+cB.8Q+4Z?+CC.3a+2bD.c\/\

思路：由图像可知：］£（o,2）时，,r（%）>（），/（%）单调递增，一片—\—2^—\

XC（2,+8）时，/（x）<0,.f（x）单调递减，所以的极大值为/⑵=8a+4b+c

答案：B

小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在x轴的上方还是下方，导函

数的符号决定原函数的单调性

例2：设函数y=/(x)可导，y=/(x)的图象如图所示，则导函数y=/'(x)的图像可能为

思路：根据原函数的图像可得：“X)在(-oo,0)单调递增，在正半轴先增再减再增，故/(X)

在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D符合

答案：D

小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D中“负半轴

的符号为正，在正半轴的符号依次为，正负正，”，那么可观察第二条标准：从图上看在x负半

轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随x的增大而增大，进而导函数在x负半轴

也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征

例3：函数〃%)=6中一1的部分图象为()

思路：f(x)=erx2+e2(2x)=x(x+2)ev,可得在(一》,—2),(0,+00)单调递增，在

x2

(-2,0)单调递减，且可估计当x—>—8,I，=—7—>0即/―1,所以y=-l为函

数/(x)的渐近线，当X—>+oo,y—>+8由此可判断出图像A正确

答案：A

小炼有话说：(1)本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通

过单调性也可排除其他三个选项

(2)关于渐近线的判断：对于X—尤=±_-0可这样理解XT•一时X2,e-x

均趋向正无穷，但e-*的速度更快，进而伴随着xfyo,e-*将远远大于进而比值趋于

0,当xfy,增长速度的排名为：直线(一次函数)(二次函数(指数函数

例4：函数/(x)的图像可能是()

rInr

思路:观察解析式可判断出f(X)=—为奇函数，排除A,C.当X>0时，/(%)>()=Inx,

\x

故选择B

答案：B

小炼有话说：/(月=生■区有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只

IxI

需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用X的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的

解析式。

例5(2015浙江文)：函数=(-乃Kx(乃,xwO)的图像可能为()

思路：观察4个选项的图像，其中A,B图像关于y轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所

以先判断函数奇偶性，可判断出/(-X)=+—Vos(-x)=-x-—Vosx=-/(x)

所以/(x)为奇函数，排除A,B,再观察C,D的区别之一就是/(〃)的符号，经过计算可得

/'(»)=(乃一，］cos;r=，一乃<0,所以排除C

71)冗

答案：D

例6：已知“尤)=；/+5皿总+1,广(力为〃尤)的导函数，则/《)的图像是()

思路：+sin(5+x)=:/+cosx,1(x)=；x-sinx,可判断了(x)为奇

函数，图像关于原点中心对称，排除6,0。因为70=35一$呜=3仁-1)<0,排

除C。故4正确。

答案：A

小炼有话说：f(x)=gx-sinx可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于AC选项

而言，其不同之处有两点，一点是从x=0处开始的/(X)符号，解析的思路也源于此，但需

要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在x轴正半轴中靠近y轴的函数值小于零，从而选

■jr

择最接近0的特殊角一，除此之外，A,C图像的不同之处还在于从x=0开始时/(X)的单

调性，所以也可对/‘(X)求导，/(x)=^-cosx,则时，f(x)<0,即f(x)

应先减再增。所以排除C

例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

()

A.①②B.③④C.①③D.①④

思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导致的符号是正确的，即

单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间(0,。)上导函数的值为

负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区

间(a,b)上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所

以不正确.故选B.

答案：B

小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对

应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

例8：己知H上可导函数/(x)的图象如图所示，则不等式仁一2x-3)f(x)>0的解集为

A.(f,—2)U。,”)B.(F,—2)U(1,2)

C.(―oo,—1)U(—1,。)U(2,+℃)D.(—oo,—l)U(3,+℃)

思路：由图像可得：（-00,—1）,（1,+30）时，f（X）>0,%£（一1,1）时，f（X）<O,所以

了2—2x-3>0冗2—2x—3<0

所解不等式为：或《,可得:S，T）U（T，1）U（3,同

f(x)>0[/(x)<0

答案：D

例9：函数/（%）=/+加2+%+d的大致图象如图所示，则x；+x；等于（）

8

9-

思路：由图像可得：网为〃％)的极值点，x=Tx=0,x=2为函数的零点

2b

f(x)=3x2+2bx+c,即X],/是方程3%2+2bx+c=0的两个根，：.％+马=--

XXc22/+X\2_4Z?-2c

l2,须+X2=(X12)-2光押2=---------—>

7(-i)=o-l+b-c+d-0h=—l

由，/