安徽省2017-2018年高二年级下册期末质量跟踪监视数学试题含解析

安徽省重点名校2017-2018学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知｛4｝为等差数列，4+%+%=18,4+。4+“6=24,则=（）

A.42B.40C.38D.36

【答案】B

【解析】

分析：由已知结合等差数列的性质可求4%,然后由。20=%+17』即可求解.

详解：4+%+%=18,

ci]+%+4=q+%+"5+3d=18+3d=24,

d=2,a3=6,

a20—a3+lid=6+34=40,

故选：B.

点睛：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量ai,a。，d,n,Sn,知其中三个就能求另

外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而ai和d是等差数列的两个基本量，用

它们表示已知和未知是常用方法.

2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）

A.12种B.7种C.24种D.49种

【答案】D

【解析】

第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择.根据分步乘法计数原理可得他进出门的方

案有7x7=49（种）.

3.将了个座位连成一排，安排三个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）

A-240B.480C-720D-960

【答案】B

【解析】

12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空

位共有2x4+4X3=20，所以不同坐法有20A：=480,选B-

4.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）

第。行,T>-.

第1行:3土;

第2行才：；2］，•二.

第3行才：3二3二1

笫4行」,；，：6,41

第5行T.S101051

A.55B.89C.120D.144

【答案】A

【解析】

【分析】

根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，

得到答案.

【详解】

由题意，可知q=L%=L%=1+1=2,“4=1+2=3,%=2+3=5,q=3+5=8,

%=5+8=13,as=8+13=21,a9=13+21=34,al0=21+34=55,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着

重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.直三棱柱ABC—中，AC=BC=AA,,ZACB=90°,E、。分别为A3、班'的中点，则

异面直线CE与CZ）所成角的余弦值为（）

.V10RA/10_V2nV15

4565

【答案】B

【解析】

【分析】

以C为原点，C4为X轴，CB为y轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE

与CZ）所成角的余弦值.

【详解】

以。为原点，C4为x轴，ce为y轴，cc'为z轴，建立空间直角坐标系,

B

则C（0,0,0）、A（2,0,0）、B（0,2,0）,£（1,1,0）、Cf（0,0,2）,D（0,2,l）.

CE=（1,1,0）、C'O=（0,2,-1）,

设异面直线CE与CZ）所成角为0,

CEC'D2_回

则cos0=

CE^C'D~72-75-5，

二异面直线CE与CD所成角的余弦值为亚.

5

故选：B

【点睛】

本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

6.在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线丫=5111%的伸缩变换公式是（）

元=3%'

D.\1

A.\B.<C.〈1

。=2犷，=2yy'=-yQ5y

【答案】C

【解析】

【分析】

根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.

【详解】

x'=3x

旧的）=sin3x,新的y'=sinx',故＜,故选c.

2y2

2

【点睛】

本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.

7.若°,6均为单位向量，且26）,则。与匕的夹角大小为（）

兀兀〃■2%

A.-B.—C.—D.一

6433

【答案】C

【解析】

分析：由向量垂直得向量的数量积为0,从而求得。小，再由数量积的定义可求得夹角.

详解：丁a_L（a—2b）’・工-2tz-b=09=—,

rra-b1"

..a…讲e，.

故选c.

点睛：平面向量数量积的定义：a-b=\^b\cos<a,b>,由此有cos<a/〉=j向，根据定义有性质：

a_L/?=〃•0=（）・

2

8.已知集合知={]|4]<。+1,。€2},P={x|log3x,,2）,若图中的阴影部分为空集，则。构成的

集合为（）

______/

A.{-2,-1,1,2}B.{-3,-2,-1,0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简集合P,注意xwO,由题意可知，M^P,确定。即可

【详解】

2

P=|log3X<2^={x一3Kx<0或0<xW3},图中的阴影部分为空集,

:.M=P

a>-3fa>0

\或（，即-3<av0或0<〃<2

a+l<0[a+l<3

又aeZ,ae3,—2,—1,1,21,故选D

【点睛】

考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系

9.已知tan(7r-x)=/,则cos2x=()

1111

A.----B.—C.----D.—

4488

【答案】D

【解析】

分析：先根据诱导公式得tanx,再利用二倍角公式以及弦化切得结果.

详解：因为tan(〃—x)=/，所以tanx=—当，

-2

,„〜.2cosx-sinx1-tan"xa1

L因此cos2x=cos-x-sin"x=--；------；—=-----；—=——=-=—,

cos'x+sin'x1+tanx卜工8

9

选D.

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升塞与降易”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常

值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。力，加(加＞0)

为整数，若。和人被机除得的余数相同，则称。和〃对模相同余，记为。三》(modm).若

220

=C°+则的值可以是

a0C'0-2+Cf0-2++C-2,a=6(mod8),6

A.2015B.2016C.2017D.2018

【答案】C

【解析】

分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想52°的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最

终结果.

详解：由题意可得：a=(2+l)2°=32°=(8—5户，结合二项式定理可得：

a=点：x820x(-5)°+Gox819X(一5)+&x81x(-51+点x8°x(一5〈,

计算5"eN*)的数值如下表所示：

底数指数塞值

515

5225

53125

54625

553125

5615625

5778125

58390625

591953125

5109765625

据此可猜想52°最后三位数字为625,贝！I：52°除以8的余数为1,

所给选项中，只有2017除以8的余数为1,

则〃的值可以是2017.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

11.已知函数〃x)=e'-2ax+3的图像为曲线C,若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的

取值范围是

(3)(3](2)(2]

A.-,+ooB.-oo,-C.-co,-D.-oo,-

U)I2」I3jI3」

【答案】A

【解析】

【分析】

求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e*-2m=-3有解，即可得到结论.

【详解】

由题意，函数/(x)的导数/'(%)="-2帆，

若曲线C存在与直线y=：尤垂直的切线，则切线的斜率为k=ex-2m,

满足—2晒=—1,即/—2m=—3有解，

3

因为2根=，+3有解，又因为e"+3>3,即机>大，

2

3

所以实数加的取值范围是(于+8),故选A.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线C存在与直线y=gx

垂直的切线，转化为2机=-3有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

12.已知复数三，z是共朝复数，若2z.二=1-i，其中i为虚数单位，则忖=()

A.-B.—C.J2D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】

1111

原等式两边同乘以可求得Z=--------i,从而可得2="利用复数模的公式可得结果.

2222

【详解】

因为2i-z-1—i>

所以(―z>2>N=(—

即25=(_z)(l_z)=_j,

-11.f11.

z=--------1,可得z=----1—I,

2222

所以，|z|=+故选B.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、

共轨复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法,

运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

二、填空题：本题共4小题

13.已知函数/(x)=k>g3X+x—5的零点小e(a,a+l),则整数。的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.

【详解】

由题意知：/（九）在（0,+a）上单调递增

・••/（%）若存在零点，则存在唯一一个零点

X/（3）=l+3-5=-l<0,/（4）=log34+4-5=log34-l>0

由零点存在定理可知：则

x0e（3,4）,a=3

本题正确结果：3

【点睛】

本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.

14.如图，正四棱柱ABC。—44G2的底面边长为4,记ACiCBiR=F,BCiB.C=E,若

AE±BF,则此棱柱的体积为.

【答案】32V2

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h,求出的坐标，由数量积为。求得h,则棱柱的体积

可求.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系,

设。。1=力，又AB=5C=4,

则4(4,0,0),£^2,4,115(4,4,0),F(2,2,h),

AE=I-2,4,|j,BF=(-2,-2,h),

h~/-

AE±BF,.-.4-8+y=0,BPh=2y/2-

此棱柱的体积为4x4x2A/2=32V2.

故答案为32夜.

【点睛】

本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题.

15.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常

工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布VQ00050-且各个元件能否正常相

互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【答案】-

8

【解析】

设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,

该部件的使用寿命超过1000的事件为(A耳+［B+AB)C.

该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=x=.

(三

lxlC+lCxiC+iCxiC/)lcg

16.若函数/(%)=2^-加+1(。€用在(0,内)内有且只有一个零点，则/(九)在［-1』上的最大值与

最小值的和为.

【答案】-3.

【解析】

分析：先结合三次函数图象确定在(0,+8)上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函

数最值，即得结果.

详解：由/'(x)=6f—2改=0得x=0,x=(因为函数/(力在(0,+8)上有且仅有一个零点且

/(。)=1，所以三〉0"臣=0，因此2(1)3-呜产+1=0,a=3.从而函数/(%)在［-1,0］上单调递增,

在［0,1］上单调递减，所以/(九)皿=/(0),/(%)„,„=min{/(-1),/(1)}=/(-1),/(X)max+/(X)而n=

/(O)V(-l)=l-4=-3.

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象的最高点、最

低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单

调性、周期性等.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知函数/(x)=］奴2—(a+l)x,g(x)=lnx,aeR.

(1)讨论函数y=/(”+g(x)的单调性；

1P

(2)证明：Vx>0,g(x)>———恒成立.

ex

【答案】⑴当时，y=/(%)+g(x)在(0,1)上单调递增,在。,舟)上单调递减;当0<。<1时,

y=/(x)+g(x)在(0,1)和上单调递增，在d上单调递减；当。=1时，y=/(x)+g(x)在

(0,+8)上单调递增；当a>1时，y=/(x)+g(%)在103)和(1,+8)上单调递增，在1,1］上单调递减

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)可求得求二(ax_l)(x—l),分别在。40、0<a<K。=1、a>1四种情况下讨论导函数的符号,

X

从而得到原函数的单调性；⑵将不等式转化为：xlnx>^-e,令MX)=xlnx(x>0),

〃⑺=j-e(x>0),利用导数求得始)1Tm和"⑴2，可证得碎人>〃(外”从而证得结论.

【详解】

y=/(x)+g(x)=|■底

(1)一(a+l)x+lnx,xe(0,-Hx))

1cix^—++1

•••/=依一(〃+1)+—=

xXX

①当440时，ax-1<0

.,.X£(o,i)时，y>0；x£(i,+oo)时，y<0

「•y=/(%)+g(%)在(。,1)上单调递增，在(1，+8)上单调递减

②当0<Q<l时，—>1

a

和时，y>0；时，/<0

,y=/(x)+g(x)在(。,1)和t，+s］上单调递增，在［L上单调递减

③当4=1时，—=1

a

•・•了》0在(0,+”)上恒成立

y=/(%)+g(%)在(0,+oo)上单调递增

④当。>1时，0<工<1

a

和(1,+co)时，y'>0；时，y'<0

,y=/(x)+g(X)在［o,和(i，+8)上单调递增，在上单调递减

综上所述：当aVO时，y=/(x)+g(x)在(0,1)上单调递增，在。,+8)上单调递减；当0<。<1时，

y=/(x)+g(x)在(0,1)和t，+s］上单调递增，在H上单调递减；当”=1时，y=/(x)+g(x)在

(0,+8)上单调递增；当。>1时，y=/(x)+g(x)在(0，力和(1，+8)上单调递增，在、上单调递减

(2)对Vx>0,g(x)>——恒成立即为：V%>0,Inx>——

''"xex

X

等价于：xlnx>----e

ex

令/z(x)=xlnx(x>。)，则"(%)=lnx+l

.•.工㊂［。,，］时，//(x)<0；x£］」,+oo］时，”(x)>0

(1A(\\

・•.3)在0,一上单调递减，在匕,+sJ上单调递增

令M%）=2-0（%>。），则

ee

.,.%£（0,1）时，，（x）>0；］£（1,+00）时，//'（%）<0

・・.4(x)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减

2

综上可得：入⑴面〉〃(x)1rax，即xlnx〉^—e在(0,+8)上恒成立

1P

二对Vx>0,g(x)>——一恒成立

ex

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的

恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系

得到结论.

18.(A)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数

x=2+2j5cosa

方程为「(e为参数)，P是曲线G上的动点，M为线段0P的中点，设点加的轨迹为

曲线

⑴求。2的坐标方程;

⑵若射线8=W与曲线G异于极点的交点为A，与曲线。2异于极点的交点为3,求|A@.

(B)设函数〃x)=|x+l1Tx—4(aeH).

(1)当a=l时，求不等式的解集;

4

⑵对任意根CR+,九€尺不等式/(力<加+—恒成立，求实数。的取值范围.

m

X=1+A/5cosa「

【答案】(A)(1)(a为参数)，(2)6+2

y=2+。5sin。

(B)(1)x<-；⑵-5Wa<3.

2

【解析】

试题分析:

x-l+y/5cosa

⑴结合题意可得C2的极坐标方程是(a为参数),

y-2+y/5sma

(2)联立极坐标方程与参数方程，结合极径的定义可得\AB\=^3+2

B

⑴由题意零点分段可得不等式/(X)<1的解集是》<1；

(2)由恒成立的条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式可得实数”的取值范围是-5<a<3.

试题解析：

（A）解：⑴设加（羽y）,则由条件知P（2x,2y）,由于P点在曲线G上，

2x=2+2y[5cosax=1+y[5cosa

所以「，即

2y=4+5s讥ay=2+小sina

x=1+J5cosa

从而C2的参数方程为（a为参数）,

y=2+yj5sina

化为普通方程（尤_l）2+（y—2）2=5即x2+y2_2x_4y=0,

将x=pcos，，y=psin。所以曲线G后得到

极坐标方程为夕2-2pcos。一4Psin9=0.

⑵曲线G的极坐标方程为Q?-4pcos。一8Psin8=0,

当夕=工时，代入曲线G的极坐标方程，得夕2—4pcos'—8。也工=0,

666

即02_2®_4p=0,解得°=0或夕=2若+4,

所以射线。=[与G的交点A的极径为q=2^+4,

曲线。2的极坐标方程为/?2-2/?cos^-4psin^=0.

同理可得射线8=工与a的交点B的极径为P\=K+2.

所以|AB|=|夕2-司=4+2.

--2（x<-l）,

（B）解：⑴当a=l时，/（x）=|x+l|-|x-l|=«2x（-1<x<l）,

2（x>l）.

由/（x）Wl解得x<g

⑵因为|尤+1]一,一。|<|（尤+1）—（尤一4）|=,+1|且"2+白22/m*巧=4.

mVm

所以只需|。+1区4,解得—5WaW3.

19.如图，直角梯形ABC。中，AB//CD,/BCD=90°，BC=CD=42>AD=BD,EC,底面

ABCD,ED，底面ABC。且有EC=ED=2.

（1）求证：AD±BF；

（2）若线段EC的中点为〃，求直线AM与平面ABE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）噜.

【解析】

试题分析：（1）根据线段长度的关系得到ADLBD,AD±DF,BD、。下是平面5DF内的相交直

线，.•.AD,平面进而得到线线垂直；（2）常用的方法是建系，建立空间坐标系，求得直线的方

向向量和面的法向量，根据向量的夹角公式得到线面角.

解析：

（1）BC1DC,BC=CD=也

:.BD=y/BC2+CD2=2'且ABCD是等腰直角三角形，ZCDB=ZCBD=45°

平面ABCD中，AB//DC,:.ZDBA=ZCBD=45°

AD=BD,可得==

,-.ZADB=90°»即ADLBD

ED,底面ABC。，A£>匚底面48。。，..40，£）尸

BD、OR是平面3DF内的相交直线，.•.AD,平面5DF

5尸u平面BDF,:.AD±BF

（2）解法一：几何法

如图，过点M作肱VL3E,垂足为N,连接Ml,AC,

ABLBC,ABLEC,BCnEC-E,:.AB上平面BEC,

初Vu平面BEC,.•.ABLACV

结合MNLBE且BEcAB=B,可得MN,平面A3EF

AN是A"在平面ABEF内的射影，

可得/M4N就是直线A"与平面A5所所成的角.

RWLBC中，AC=^BC2+AB1=710>

•••RtAACM中，AM=y]AC2+CM2=V1T

——MNENMNEM一出

NEMN〜A£BC,-9------9可得MN——

BCECBCEB3

因此，在RtMAN中,sin/MAN=生丝=返

AM33

即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是叵.

33

E

解法二：向量法

如图，以。点为坐标原点，直线。。为轴y,。下为z轴建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(V2,-A/2,0),B(V2,V2,0),M(0,0,1),网0,0,2),

所以：AM=(-V2,2A/2,1)AB=(0,2形,0)AF=(-A72,2)

_n-AB==0

设平面ABEF的一个法向量为〃=(苍y,z),由《厂l

n-AF--+J2y+22=0

可取〃=(四,0,1)

COs(n,AM\=^L_—2+1_尽

'/\n\-\AM\—x而33

设直线AM与平面ABEF所成角为氏则，=工

底

20.如图，在多面体A5CDEF中,E4,平面A3CZX四边形ADE尸为正方形,四边形A3C。为梯形，且

AD//BC,ZBAD=90°,AB=AD=1,BC=3.

(1)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；

⑵线段3。上是否存在点使得直线CE平面AFM?若存在，求黑的值：若不存在,请说明理由.

【答案】⑴2^2.(2)

53

【解析】

【分析】

建立适当的空间直角坐标系.

(1)求出平面CDE的法向量，利用空间向量夹角公式可以求出直线3歹与平面CDE所成角的正弦值；

(2)求出平面W的法向量,结合线面平行的性质，空间向量共线的性质,如果求出黑的值,也就证明出

存在线段上是否存在点“，使得直线平面外河，反之就不存在.

【详解】

以A为空间直角坐标系的原点，向量AB,AD,AF所在的直线为匹Kz轴.如下所示：

A(o,0,0),3(100),C(l,3,o),n(0,l,0),E(0,l,l),F(0,0,l).

⑴平面CDE的法向量为m=(石,乂,4),DC=(1,2,0),DE=(0,0,1),BF=(-1,0,1)•

m±DCm-DC=0%+2%=0

n<m=(2,-1,0).

m-LDEm-DE=0Z]=0

直线3尸与平面CDE所成角为仇所以有sin。=~i=-r一卮=三；

砌叫J5xj25

(2)假设线段上是存在点M，使得直线CE平面AFM.设黑=”ae[0,1]),因此5M=涵。,所以

DL)

〃的坐标为：(1—440).CE=(—1,—2,1).

设平面AfTW的法向量为〃=(%,%，Z2)，AF=(0,0,1)，A/=(1-4尢0)，

n±AFn-AF=0z=0

n2n-(-/1,1—A,0),

nLAMn-AM=Q/(1—X)+2%—0

因为直线CE平面A™,所以有CE，〃=>4—2(1—4)=0=>4=2,即%=2.

3BD3

【点睛】

本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力.

21.某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外

250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级

的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得

到以下列联表：

身高达标身高不达标总计

积极参加体育锻炼40

不积极参加体育锻炼15

总计100

（1）完成上表；

（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（K2的观测值精确到0.001）.

参考公式：*「（"I*；~，

参考数据:

P(K2>k)0.250.150.100.050.0250.0100.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】⑴

身高达标身高不达标总计

积极参加体育锻炼403575

不积极参加体育锻炼101525

总计5050100

（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.

【解析】

【分析】

（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，

根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；

（2）由公式计算出K?，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.

【详解】

（I）填写列联表如下:

身高达标身高不达标总计

积极参加体育锻炼403575

不积极参加体育锻炼101525

总计5050100

(II)K2的观测值为K2=lOOxKOxlS-35x10)=1.333<3.841.

75x25x50x50

所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.

【点睛】

本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出长2,注意保留三位小数，注意

观测值与概率之间的大小关系与趋势.

22.已知抛物线=2力(°>0)的焦点为R,准线为/,点AwC,A在/上的射影为3,且AABF

是边长为4的正三角形.

(1)求。；

(2)过点R作两条相互垂直的直线/144与。交于P,。两点，4与c交于M，N两点，设AP。。的面

积为耳,AMON的面积为S?(。为坐标原点)，求S:+S??的最小值.

【答案】(1)2；(2)16.

【解析】

【分析】

(1)设准线与轴的交点为点利用解直角三角形可得“尸=2=2.

(2)直线乙：y=丘+1化w0),联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于k的关系式表示S；，

2

同理可用关于k的关系式表示S；,最后用基本不等式可求S：+S2的最小值.

【详解】

(1)解：设准线与轴的交点为点H,连结ARAB,3尸，

因为AABF是正三角形，且B4=AF=5F=4,

在A8HP中，ZBHF=90°,ZFBH=3Q°,BF=4,

所以HF=p=2.

⑵设尸(七,%),。(X2,%)，直线4：y="+1(左W。)，由⑴知C：%2=4y,

x2=4y

联立方程：「，消y得尤2—46一4=0.

y=Ax+1

因为A=16左2+16>0，所以内+々=4左,七x2=7•，

所以归@=\Jl+k2-J（X]+/y-4%]尤2=4（1+左之/

又原点。到直线4的距离为d=1IE

所以S；=4（1+左2）,同理S22=41+

所以S；+S22=4（l+r）+4[l+.]

=8+4k2+>16,当且仅当上=±1时取等号.

故S:+S??的最小值为16.

【点睛】

圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵

坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.

安徽省重点名校2018-2019学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在二项式(1-2%)”的展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则展开式的中间项的系数为()

A.-960B.960C.1120D.1680

【答案】c

【解析】

【分析】

先根据条件求出九=8,再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案.

【详解】

由已知可得：2"=256，所以九=8,

则展开式的中间项为4=《(—2x)4=1120/,

即展开式的中间项的系数为1120.

故选：C.

【点睛】

本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、

运算求解能力.

,1

2.已知复数z=("-7")+(加一1"是纯虚数，meR,则7；-=()

(1+z)

ii,

A.--B.-C.iD.-1

22

【答案】B

【解析】

【分析】

1

根据纯虚数定义，可求得机的值；代入后可得复数z再根据复数的除法运算即可求得^了的值.

(1+Z)?

【详解】

复数z=(m2->n)+(m-l)z是纯虚数,

m2-m=0

则,解得772=0,

m-l^O

所以z=T

1_J_

则2=l

(1+z)2(1-z)~^2i~2

故选:B.

【点睛】

本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.

3.某同学从家到学校要经过两个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概

2?

率为一，两个路口都遇到红灯的概率为一，则他在第二个路口遇到红灯的概率为()

35

1239

A.—B.-C.-D.—

105510

【答案】C

【解析】

【分析】

记在两个路口遇到红灯分别为事件A,B,由于两个事件相互独立，所以尸(A)尸(5)=P(AB),代入数据

可得解.

【详解】

记事件A为：“在第一个路口遇到红灯“，事件B为：“在第二个路口遇到红灯”,

由于两个事件相互独立，所以P(A)P(5)=P(AB),

2

所以曲得子|

3

【点睛】

本题考查相互独立事件同时发生的概率问题，考查运用概率的基本运算.

4.已知上=

x+i,其中％、y是实数，i是虚数单位，则复数的共飘复数对应的点位于()

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

由言=x+j得y=x+i+。—％)'，根据复数相等求出为’丁的值，从而可得复数的共物复数，得

到答案.

【详解】

由占=x+?有y=(i—z)(“+z)=x+i+(i—%)"其中》、y是实数•

x+l=yX=1

所以《一“解得,所以x+y'=l+2'

、=2

则复数X+yi的共轨复数为1-2"贝!11-2z在复平面内对应的点为(L-2).

所以复数”的共轨复数对应的点位于第四象限.

故选：D

【点睛】

本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.

5.已知函数/(；0="工—靖+x—sinx(其中e为自然对数的底数)，则不等式/(光？—%)</(%+3)的

解集为()

A.(-1,3)B.(-3,1)

C.(-00,-3)51,+8)D.(