高中数学必修5单元测试题章末测试题复习、补习资料（内含多套试题资料）

第一章解三角形

章末检测

一、选择题

1.在aABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若A+C=2B,有4=1,方=小,

则SAABC等于（）

A.72B.小C坐D.2

答案C

解析由A+C=2B,解得B=].由余弦定理得（小）2=1+/—2ccos全解得c=2或c=—1（舍

去）.于是，SAABC=%csinB=^X1X2sin胃=坐.

3

2.在△ABC中，sinA=w，”=10，则边长c的取值范围是（)

A.(孕，+8)B.(10,+°°)C.(0,10)D.(0,岑]

答案D

„-..ca40._40..^40

解41(析.sinLsinA—3'•"3smC...0<cW3.

3.在△ABC中，若a=，b,A—2B,则cos8等于（）

A当B坐C坐D*

答案B

解析由正弦定理得力触，•"=当〃可化为需=坐

.sin2By[5.,.cos8=坐

又A=28,**sinB=2，

4.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120。，c=pa,则（）

A.a>bB.a<b

C.a=bD.。与匕的大小关系不能确定

答案A

解析由余弦定理得（P—a^+b2-2abcosC,

又C=120。，2a2—a2+b2+ab,.,.a1—b2+ab>b2,'.a>b,故选A.

5.已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=A：（Z+l）：2k,则我的取值范围是（）

A.(2,+°°)B.(—8,0)C.(―I，0)D.(3，+°°)

答案D

解析由正弦定理得：a=mk,b=m(k+\),c=2(加>0),

a+b>c[m(2k+l)>2mki

Vl,即彳.,k>^.

_a+c>b\3mk>m(k-\-\)2

6./XABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为:，则其外接圆的半径为()

A华B.平C.D.96

Z4o平

答案c

解析设另一条边为X,则f=22+32—2X2X3X；,

.".X2—9,.，.x=3.设cos9=；,则sin6=邛^.

339^2/?=蛀

：.2R=

sin2也一4,R—8•

3

7.在△ABC中,sinA=sinC,则△48€:是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

答案B

解析..•sinA=sinC且A、C是三角形内角，

.•.4=（7或A+C=;t（舍去）.

...△ABC是等腰三角形.

8.在锐角△ABC中，BC=1,ZB=2ZA,则AC的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.（0,2]D.（啦，小）

答案D

0<兀-3NAV.

*乙V，

{0<2ZA<j

由正弦定理篇=黯得4c=2C°S4

；/4端,款：.AC^（,y[2,<3）.

9.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A.a=8,b=16,A=30°,有两解

B.匕=18,c=20,B=60°,有一解

C.a=5,c=2,4=90。，无解

D.a=30,6=25,A=150。，有一解

答案D

解析A中，因总=磊，

出216Xsin30°.有

所以sin3=---------------=1.，B=90。，即只有一解；

O

….c20sin60°5^3,

B中，sinC-------------g,且c>Db,

.,.OB,故有两解；

C中，VA=90o,a—5,c—2,.".b—"\/a2—c2--y]25~4=y[21,即有解；

故A、B、C都不正确.用排除法应选D.

10.在△A8C中，AB=7、AC=6,M是BC的中点，AM=4,则BC等于（）

A.®B，VT06C.A/69D.V154

答案B

解析设BC—a,则BM—MC=^.

在△ABM中，AB2=BM2+AM2~2BMAMCOSZAMB,

即72=；42+42—2X?X4-cos/AMB①

在△4CM中，AC2=AM2+CM2-2AM-CM-cosZAMC

即62=42+）+2义4义与3/4肱8②

①+②得：72+62=42+42+|a2,.*.0=^106.

二、填空题

11.已知△A8C中，3a2-2浦+3层—3。2=0,则cosC的大小是.

答案3

?

解析由3〃2—2次?+3/一3C2=0,得c2=a2+b2—^ab.

层+户一/

根据余弦定理，得cosC=黑

cr+lr—cr-lr+^ab】1

=lab―所以cosC='

12.在△ABC中，若h+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.

答案y

解析由已知3sinA=5sinB,利用正弦定理可得3a=5b.

a2+/一17

由3〃=5仇h+c=2a,利用余弦定理得cosC=----三石=一弓.。£(0,兀)，C=Q兀.

35

13.在△A8C中，已知COSA=5，cos8=a，b=3,贝!]c=.

14

口呆5

4

3-

解析在△A8C中，•・•cosA="O,5

512

Vcos8=百>0,sin8=百.

sinC=sin[n—M+B)]=sin(A+B)

5_312=56

=sinAcosB+cosAsinB=g义l3-h5><-13=65,

3X56

b_c_bsmC_65_14

由正弦定理知

sinsinC'=sinB=12=T

B

14.太湖中有一小岛C,沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公

路的南偏西15。的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75。的方向上，

则小岛到公路的距离是km.

答案乎

解析如图，ZCAB=\50,NCBA=180°—75°=105°,

N4CB=180°—105°-15°=600,

AB=\(km)./A

由正弦定理得/

BC_______AB/B

sinZCAB=sinZACB9cj/

1

，3C=•久八。sin]5。=v-£(km).

sm602\3

设。到直线A5的距离为乩

riV6—yf2yf6-\-y(2y[3

则d=5Csin75。=、'J4V=2(km).

三、解答题

15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为小b,c,且〃=2,cos8=|.

⑴若6=4,求sinA的值;

(2)若△ABC的面积SMBC=4,求4c的值.

3

解⑴Teos8=亍>0,且0<8〈兀，

sinBCOS2B=^.

2X4

ir、»e/日。b..as\nB52

由正弦走理侍而丁=而后sinA=—^―=—=5，

114

(2)VS^Bc—^cs\n8=4,二]*2X0X5=4,・\c=5.

由余弦定理得〃=a2+c2-2accos8=22+52—2X2X5义|=17,.”=亚.

16.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45。且距离为12海里

的8处正以每小时10海里的速度向方位角105。的方向逃窜，我艇立即

以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间.

解设我艇追上走私船所需时间为r小时，则

BC=i0t,AC=14t,在△A3C中，

由/48C=180°+45°-105°=120°,

根据余弦定理知

(1402=(1002+122-2-12-10/cos120°,

3

；"=2(/=一太舍去).

答我艇追上走私船所需要的时间为2小时.

17.在△ABC中，a=3,b=2y[6,/B=2NA.

⑴求cosA的值；

⑵求c的值.

解(1)因为〃=3,b=2\[6,/B=2NA,所以在△ABC中，由正弦定理得力；A=sii^A，

“ixt2sinAcosA2乖,,,巫

所以FTT-=3•故COSA=3.

%_______R

(2)由(1)知cosA所以sinA=11—cos2A=•

又因为Zfi=2ZA,所以cosB=2cos2A—1.所以sinB=y)1—cos2B=^^.

在△ABC中,sinC=sin(A+B)

•,心।，.八5小asinC.

=sinAcos3+cosAsin.班以c=$巾、=5.

18.已知△ABC的角A、B、。所对的边分别是a、b、c,设向量加=(m*),n=(sinB,sinA),

p=(b—2,a—2).

(1)若山〃小求证：Z\A8C为等腰三角形；

TT

(2)若m_Lp,边长c=2,角。=],求△ABC的面积.

(1)证明,:，n〃n,•'asinA=bsin8,

即a-2R=b2R'

其中R是△ABC外接圆半径，・・・a=A.

•••△A3C为等腰三角形.

(2)解由题意知机・p=0,

即〃3—2)+。(4-2)=0.

・・a+b=cib.

由余弦定理可知，4=/+〃一次?=(〃+Z?)2—3〃仇

即(a/?)2—3次?-4=0.

，〃〃=4(舍去〃〃=-1),

.•・SAA8C=3C洒sinC=^X4Xsir^=y[i.

第一章解三角形过关检测

(时间:90分钟满分:1()()分)

知识点分布表

判断三与三角形

利用正、余弦定三角形中

角面积综合应实际应用问

知识点理的

形的形有关的问用题

解三角形有关计算

状题

相应题

号1,7,11,155,162,3,176,8,124.9,1410,13,18

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分)

1.在△ABC中，若sinA>sin8,则A与8的大小关系为()

A.A>B

B.A<B

C.A*

D.A,8的大小关系不能确定

答案:A

解析：：'sinA>sin8,・：2RsinA>2RsinB,

即a>b.・：A>B.

2.已知圆的半径为4,a/,c为该圆的内接三角形的三边，若Hc=16&,则三角形的面积为（）

A.2V2B.8V2C.V2D.y

答案:C

解析：：'-^7--AT--AT=2/?=8,.^sinC=5，

sinAs\nBsinC8

••5ABc=1^sinC=^/?C=T^X16V2=V2.

AZioio

3.在ZkABC中,A=60°,AC=16,面积S=220百，则8c长为（）

A.20V6B.75C.5ID.49

答案:D

解析:由S=yC/B-sin^=1x16xABsin60°=4百AB=220遍，解得AB=55.再用余弦定理求得

BC=49.

4.在AABC中，角A.B,C的对边分别是。力,c,若号+3=2c,则A的大小是（）

sinesm/i

A』B]C.JD]

2346

答案:c

解析：：昌+刍=2。,.：由正弦定理得2sinC=^+-^2座=2,当且仅当?=2时等号成立，.：

s\nBsmAbayJbaba

5.在ZiABC中力=asinC,c-acos8,则AA8C一定是()

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.等边三角形

C.直角三角形但不是等腰三角形

D.等腰直角三角形

答案:D

解析:由C=ACOSB得,c=ax

。Zac一”,

•a2=b24-c,2,**△ABC为直角三角形，

c

•.b=asinC=〃x-=c,

a

「△ABC是等腰直角三角形.

6.钝角三角形的三边为％+l,a+2淇最大角不超过120°,则。的取值范围是()

A.0<a<3B./a<3

C.2<“W3D.1W“<|

答案:B

解析：「三角形为钝角三角形，

4+Q+1>Q+2,

222

-q+(a+l)-(fl+2)>1

2a(a+l)~~2

0|w〃v3.

7.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若"+上立=〃2,且微=倔则角C的值为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

答案:C

解析:由P+d-bc=/,

得b2+c2-a2^bc,

..b2+c2-a21

-COSA=^b^=2-

86。。，对3,端3

..V3..V3V31

•.sinnsin?!=—x—=

ZB=30°,ZC=180°-A-B=90°.

8.如图，在A48C中Q是边AC上的点，且AB=A£＞,2AB=gBQ,BC=2BD,则sinC的值为（）

.V3

ATB•不

喈

答案:D

解析:设3Z）=a,则BC=2aAB=AD=^-a.

在^AB。中，由余弦定理，得

人AB2+AD2-BD2

C0SA=2ABAD

2/L、2

I+像

辱M二1

2号a；’

又：2为AABC的内角，.:sinA=苧.

在"BC中,由正弦定理得，名=盥.

43--

AB.-ya2V2V6

•・smC=—sinAx=W------=—.

BCza36

9.设a,b,c是AABC的三条边长，对任意实数WU）=/?2f+s2+c2.〃2）x+c2有（）

A＜x）=0B於）＞0

C於）WOD危）＜0

答案:B

解析:由余弦定理可得yCr）=〃/+2/＞ccosA-x+c1,

：Z=（2加cos4）2-4//=4从02.（8$24-1）＜0,且廿＞0,.次x）＞0.

10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°，此时气球的高是

60m,则河流的宽度8c等于()

A.30(V3+l)mB.120(V3-l)m

C.l80(V2-l)mD.240(V3-l)m

答案:B

解析:如图,ND4B=15°,

:'tan15°=tan(45°-30°)=含黑泻焉-=2-W.

在RSAOB中，又AC=60,

.1.DB=AD-(an15°=60x(2-75)=120-60疯

在RSAZX:中,NQAC=60°,AO=60,

.：DC=AD-tan600=6()75.

；.BC=DC-DB=60V3-(l20-60V3)=120(V3-l)(m).

.：河流的宽度BC等于120(怖-l)m,故选B.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分)

11.设AA8C的外接圆半径为4,且sinBsinC+sin2B+sin2C=sin2A,5Ji]a=.

答案：4百

解析:依题意，得bc+b2+c2-a2,

.b2+c2-a2be1

•：34暴=120。.又：品=2R,

.：〃=2HsinA=2x4xsin120°=4>/3.

12.在锐角NBC中,8C=1,B=2A,叱7---------4c的取值范围为--------.

答案:2(V2.V3)

解析:由正弦定理得多=BC

sin4

Ar1

:'8=2A,8c=1,：后

sinA'

.:三二2.

cos/l

丁AABC是锐角三角形，

.：0°<2A<90°且A+B=3A>90°,

・：30°<A<45°.

又AC=2cosA,

.：ACG(V2,V3).

13.如图，在山底测得山顶仰角/。B=45。，沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至S点,又测得

山顶仰角NQSB=75°,则山高BC为m.

答案:1000

解析:如图,NSAB=45°-30°=15°,

又/SBC=15°,.：/ABS=30°.

又AS=1000m,由正弦定理知一*=°柴，

sinl5sm30

ZBS=2000sin150.

.：BD=BSsin75°=2OOOsin15°cos15°=1OOOsin30°=500(m),

且DC=ST=\OOOsin30°=500(m),

从而BC=DC+DB=i000(m).

14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，向量m=(V3,-l),n=(cosA,sinA).若m_Ln,旦

acosB+Z?cosA=csinC,则角B=.

解析:由mJ_n,得V5cosA-sinA=0,即A带.

由余弦定理及acos3+AosA=csinC,有/+万-=csinC,

2ac］:2b:c-”

即2c"ZdsinC,.*sinC=l,

解得CW，・：5=W—?=*

ZZoo

三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分，共44分)

15.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a力,c,且加inA=V3acosB.

(1)求角B的大小；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

解:⑴由Z>sinA=V3acosB及正弦定理得sinB=V3cosB,

所以tanB=g,所以

(2)由sinC=2sinA及=就^得c=2a.

由b=3及余弦定理h2=a2+c1-2accosB,

得9=4+<?-加,.

所以a=y/3,c=2y/3.

16.在AABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+6)sinC.

⑴求A的大小；

(2)若sinB+sinC=l,试判断的形状.

解:⑴由已知，根据正弦定理得2a2=(28+c)〃+(2c+与c,则a^+cP+hc.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得cos4=-今

又Ad(0"/80°),.：4=120°.

(2)由(1)中42=匕2+/+〃°,结合正弦定理，

可得sin2/l=sin2B+sin2C+sinBsinC=*

又sinB+sinC=l,.：sinB=sinC=1.

："00<B<60°,0°<C<60°,.：B=C

「△ABC是等腰钝角三角形.

17.已知“力,c分别为△48C三内角A,B,C的对边,B=^c=8,cosC=-；.

⑴求6的值；

(2)求AABC的面积.

:矗=9%,.・忘=存即6=7.

~T

⑵：'sinA=sin(?t-8-C)=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC

=TV3X1/-71)\+,21X-4V3=3V3

•'-S^ABC=^bcsinA=；x8x7x舒=6百.

18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C,

另一种是先从A沿索道乘缆车到8,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下

山，甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min

后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路4c长为1260m,经

测量,cosAcosC=|.

(1)求索道A3的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解:⑴在"BC中，因为cosA=卷,cosC=1,

S4

所以sinA=—,sinC=-.

从而sinB=sin[7t-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC

=±X3+12X4=63

13513565,

由正弦定理得益=W

得AB=-r^xsinC=1x^=1040(m).

sinfi空5'

65

所以索道A5的长为1040m.

(2)假设乙出发1分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+50。m,乙距离A处130f

m,

所以由余弦定理得

rf2=(100+50r)2+(130f)2-2xl30rx(100+50f)x1|

=200(37?-70/+50),

因为OWfW罂，即0WfW8,

故当f=||(min)时，甲、乙两游客距离最短.

⑶由正弦定理盖=益，

e”(，AC..12605ucc.x

仔BC=痂xsm4=歹x"500(m>

65

乙从8出发时，甲已走了50x(2+8+D=550(m),还需走710m才能到达C.

设乙步行的速度为vm/min,

由题意得-3W当一詈W3,

解得詈WvW等，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在

(祟^，答)(单位:Mmin)内.

第一章章末复习课

【课时目标】

1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题.

知识结构•

c_

=

b

a=

sinC

sinB

sinA

边，

和任一

两角

已知

定理

正弦

角形

解三

的应用

边

中一

和其

两边

已知

角形

，解三

的对角

2

2

「2

osA

2bcc

^-c-

解a=b

2

三22

sB

acco

+c-2

b=a

角

2

2

2

C

abcos

+b-2

理c=a

三角

边，求

已知三

定理

余弦

用

的应

角，

及其夹

两边