《控制工程基础》第四章根轨迹

美国人W.R.Evans所从事的是飞机导航和控制工作，其中涉及许多动态系统的稳定问题，这使其又回到了70多年前Maxwell和Routh曾做过的特征方程的研究工作中。但Evans用系统参数变化时特征方程的根变化轨迹来研究，开创了新的思维和研究方法，这就是在工程上获得较广泛应用的根轨迹法。因此，W.R.Evans是根轨迹法的鼻祖。他的两篇论文：GraphicalAnalysisofControlSystem,AIEETrans.PartII,67(1948),pp.547-551.ControlSystemSynthesisbyRootLocusMethod,AIEETrans.PartII,69(1950),pp.66-69基本上建立起根轨迹法的完整理论。4.1根轨迹的基本概念4.2根轨迹的幅值条件与相角条件4.4控制系统的根轨迹绘制与分析举例4.3绘制根轨迹的基本法则第四章控制系统的根轨迹法4.5参数根轨迹4.6基于MATLAB的根轨迹分析4.1根轨迹的基本概念

开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。例：开环传递函数：闭环传递函数：有2个开环极点0,-2；没有开环零点。闭环特征方程：闭环特征根：闭环特征根是K的函数，K由0-∞，形成根轨迹4.1根轨迹的基本概念K取不同值：K=0，s1=0，s2=-2；K=0.5，s1=-1，s2=-1；K=1，s1=-1+j，s2=-1-j；K=∞，s1=-1+j∞，s2=-1-j∞；根轨迹直观表达了K变化时闭环特征根所发生的变化。4.1根轨迹的基本概念系统分析：

K大于零时，系统稳定；

0<K<0.5时，系统过阻尼，无超调；K=0.5时，临界阻尼；K>0.5时，系统欠阻尼，有超调；4.1根轨迹的基本概念系统分析：因为系统有一个位于坐标原点的极点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0，静态误差系数可从根轨迹对应的K值求到。4.1根轨迹的基本概念总结：2阶系统，2个闭环极点，2条根轨迹；以开环极点为出发点；根轨迹上的点与K值一一对应，是连续的；通过选择开环增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上；如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可计算该点的K值实现设计要求。4.1根轨迹的基本概念4.2根轨迹幅值条件与相角条件1+G(s)H(s)=0或写作G(s)H(s)=

-1相角条件：幅值条件：传递函数：特征方程（根轨迹方程）：其中：因此相角条件、幅值条件又可表示为：4.2根轨迹幅值条件与相角条件相角条件：（0，+∞）；（-2,0）；（-∞，-2）；用幅值条件可以计算出各根轨迹点上的开环根轨迹增益K*。实轴以外；4.2根轨迹幅值条件与相角条件1.根轨迹的分支数、连续性和对称性这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由零变到无穷大时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。

分支数：根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。4.3绘制根轨迹的基本法则对称性：因为开环极点，零点或闭环极点都是实数或者为成对的共轭复数，它们在s平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。连续性：当根轨迹的增益

由0→∞变化时是连续的，系统闭环特征方程的根也应该是连续变化的，即s平面上的根轨迹是连续的。4.3绘制根轨迹的基本法则2.根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n,则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。当n>m时，当时，

根轨迹起点：根轨迹终点：4.3绘制根轨迹的基本法则3.实轴上的根轨迹由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于360°，不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。4.3绘制根轨迹的基本法则4.根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这(n-m）条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。设系统开环传递函数为

有(n-m)条渐近线。当s很大时，上式可近似为（n>m）4.3绘制根轨迹的基本法则

由上两式中项系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为

即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴正方向的夹角为式中k依次取0，±1，±2，…,一直到获得（n-m）个倾角为止。4.3绘制根轨迹的基本法则试绘制其渐近线。解：例

已知系统开环传递函数为3个极点；没有零点；3条渐近线，与实轴坐标为：4.3绘制根轨迹的基本法则几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。5.分离点的坐标

方法1

因分离点（或会合点）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法确定它们的位置。

设系统开环传递函数为系统闭环特征方程为分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程4.3绘制根轨迹的基本法则由上两式可得

即根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。

例2某系统开环传递函数为解之，得

相应的增益为4.3绘制根轨迹的基本法则

方法2

设系统开环传递函数为

由系统闭环特征方程，得求极值4.3绘制根轨迹的基本法则即可确定分离点（或会合点）的参数。

仍以例2为例

解之，得相应的增益为4.3绘制根轨迹的基本法则4.3绘制根轨迹的基本法则

方法3分离点（或会合点）的坐标可由方程

解出，其中pj为开环极点，zi为开环零点。例3已知系统开环传递函数为

试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。解：得4.3绘制根轨迹的基本法则解此方程得

d1=-2.12，d2=0.12d1在根轨迹上，是所求的分离点。d2不在根轨迹上，则舍弃。根轨迹如图所示。4.3绘制根轨迹的基本法则

根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士(2n+1)×180°，即实轴上分离点的分离角恒为士90°。

同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90。4.3绘制根轨迹的基本法则6.根轨迹的起始角与终止角起始角为:其中:起始角为根轨迹起点处的切线与水平线正方向间的夹角。4.3绘制根轨迹的基本法则6.根轨迹的起始角与终止角终止角为：其中:终止角为根轨迹终点处的切线与水平线正方向间的夹角。4.3绘制根轨迹的基本法则根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根，系统处于临界稳定状态。7.根轨迹与虚轴的交点4.3绘制根轨迹的基本法则方法1将s=代入特征方程中得

或令则可解出值及对应的临界开环增益及K来。例已知系统开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。解:系统闭环特征方程为

令s=，代入上式得即联立得4.3绘制根轨迹的基本法则方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为解得即为所求。4.3绘制根轨迹的基本法则以上七条规则是绘制根轨迹图必须遵循的基本规则。应用这些规则，可以方便快捷地绘制出根轨迹的大致形状。借助于MATLAB软件，可以得到精确图形。

必须指出，根轨迹最重要的部分不在实轴上，也不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，只能按相角条件画出。此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚需注意以下几点：(1)根轨迹的起点用符号“

”表示；终点用“

”表示；(2)根轨迹由起点到终点是随系统的K*

值的增加而运动的，要用箭头表示根轨迹运动的方向；(3)为便于系统的分析与综合，通常对于一些特殊点的K*，图中应予以标出。4.3绘制根轨迹的基本法则试绘制该系统的根轨迹图。例1已知系统开环传递函数为4.4控制系统的根轨迹绘制与分析举例解：根据法则1：分支数为max(3,1)=3；法则2：起点为0，-2，-3；终点为-1，无穷远；法则3：实轴上的根轨迹[-1，0]和[-3，-2]；法则4：渐近线n-m=2条；法则5：分离点在[-3，-2]内；因为或将上式对s求导，并令其为零，得解得s1=-2.47（分离点），s2，3=

（舍去）。根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图如图所示。

试绘制该系统的根轨迹图。例2已知系统开环传递函数为解：根据法则1：分支数为max(3,0)=3；法则2：起点为0，-1，-2；终点为无穷远；法则3：实轴上的根轨迹（-

，-2]和[-1，0]；法则4：渐近线n-m=3条；法则5：分离点:解得d1=-0.42（分离点），d2=-1.58（舍去）。法则6：无起始角和终止角；法则7：根轨迹与虚轴的交点令则实部为虚部为得，

根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图试绘制该系统的根轨迹图。例3已知系统开环传递函数为解：根据法则1：分支数为max(1,2)=2；法则2：起点为-1±j；终点为-2和无穷远；法则3：实轴上的根迹（-

，-2]；法则4：渐近线n-m=1条；法则5：分离点:解得d1=-3.414（分离点），d2=-0.586（舍去）。

根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图法则6：起始角4.4.2根轨迹分析举例

绘制系统根轨迹是为系统分析、设计服务。在时域分析法中，一般是通过系统的单位阶跃响应来分析系统的性能；而根轨迹法分析系统，则是由系统的零、极点分布，分析闭环极点随系统参数变化而改变其在复平面上的分布位置，来估算系统的性能指标。

对控制系统的基本要求是稳、准、快。要满足这些要求，闭环的零极点应如何分布呢？(1)为保证系统稳定，则闭环极点都必须在s的左半平面上。4.4.2根轨迹分析举例(2)若闭环极点远离虚轴，则阶跃响应的每个对应的分量都衰减得快，系统的快速性就好。试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。例1某系统闭环传递函数为解：(4)距虚轴最近的闭环极点为主导极点；工程上当极点A距离虚轴大于5倍极点B距离虚轴的距离时，分析系统时可忽略极点A。此时，高阶系统近似看做为一、二阶系统，可直接利用时域分析章节中时域响应公式计算性能指标。4.4.2根轨迹分析举例一阶系统，故系统无超调；调整时间试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。例2某系统闭环传递函数为解：4.4.2根轨迹分析举例

工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它们本身到原点距离的十分之一时，即可认为是偶极子。

系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。故：4.4.2根轨迹分析举例(5)利用偶极子相消原理，可有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使动态过程尽快消失，系统的动态特性获得改善。试画出例3已知系统结构图如图解：由时的闭闭环根轨迹，并分析其对系统动态过程的影响。零极点分离点4.4.2根轨迹分析举例当在范围内时，其阶跃响应没有振荡趋势。当在时，其阶跃响应为振荡衰减。当在时，其阶跃响应为单调上升趋势。对应的：同理：根轨迹全部位于s平面左半平面，因此，当K由0→∞变化时，系统都是稳定的。4.4.2根轨迹分析举例4.4.2根轨迹分析举例

注意：过原点与根轨迹相切的直线和负实轴的夹角为45

，两个切点为s1,2=-2±j2，其对应的开环根轨迹增益为此时，系统的阻尼比为=cos45

=0.707因此时系统的阶跃响应具有较好的平稳性和快速性，在满足允许误差的前提下，系统具有较宽的频带（频带宽则系统重现信号能力强，响应快），故工程上称此时的阻尼比为最佳阻尼比。4.4.2根轨迹分析举例（3）若共轭复数极点处于s平面中与负实轴成±45

的直线附近，则系统的响应比较平稳。因为由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于±45

线上时，其对应的阻尼比=cos45

=0.707为最佳阻尼比。这时系统的平稳性与快速性均比较理想。超过45

线，则阻尼比减小，振荡加剧。4.4.2根轨迹分析举例例4已知一负反馈控制系统的开环传递函数为试用根轨迹法分析该系统的稳定性，如果使系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。解：（1）系统的根轨迹如图