高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (十一)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(11)

1.如图，在四棱台48(：。一&8心。1中，AAXABCD,H是A3的中点，四边形ABC”为正

方形，AB—AAX—/liDi.

(1)证明：平面/CH_L平面4DD14；

(2)求平面4CH与平面CDDiG所成锐二面角的余弦值.

2.如图1,已知菱形AECO的对角线AC,3E交于点F,点E为线段AB的中点,AB=2.ZBAD=60°,

(1)证明：平面PBC平面PCF；

(2)求三棱锥E-PBC的体积.

3.如图，在四棱锥P-ABC。中,P4_1_平面ABC。,底面ABCD为等腰梯形，且AB〃DC,PA=48=

2,AD=DC=BC=1.

(I)求证：平面R4c1平面尸8C；

(n)求平面PA。与平面P8C所成二面角的余弦值.

4.如图，圆。的半径为4,AB,C£＞是圆。的两条互相垂直的直径，P是0A的中点，EF//CD：^

此图形沿着EF折起，在翻折过程中，点A对应的点为

(1)证明：A.B1CD；

(2)当时，求二面角4一BC-P的正弦值.

5.三棱锥P-ABC中，PA=4,AB=2痘,BC=2,P41平面ABC,ABLBC,力为AC中点,

点E在棱PC上(端点除外).过直线。E的平面a与平面PA8垂直，平面a与三棱锥的面相交，交

线围成一个四边形.

p

(1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明);

(2)若DE1PC,求直线PC与平面a所成角的正弦值.

6.如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，四边形々BCG是菱形，NBiBC=60。，48_LBC,4BJ.B81，

。为棱BC的中点.

(1)求证：平面/BW1平面ABC-,

(2)若4B=BC,求二面角D-ABi-C的正弦值.

7.如图，四棱锥P-ABC。的底面是正方形，PD_L平面ABCD.

尸

(1)证明：平面P4B_L平面PAO：

(2)若点E在PC上，月.P4〃平面8OE,求证：£是尸C的中点.

8.如图.在Rt△AOB^,AO=0B=2M40C通过△40B以0A为轴顺时针旋转120。得到(NBOC=

120。).点。为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且CM=0M.

(1)证明：0M1平面A08；

(2)当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B-0D-C的正弦值.

9.如图，四棱锥P-4BCD中，侧面为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=1AD,

ZB.4D=Z.4BC=90°»E是尸。的中点.

(1)证明：直线CE〃平面PAB：

(2)点M在棱PC上，且直线3M与底面A8C£＞所成角为J5，求二面角M-4B-。的余弦值.

10.已知三棱柱48。一公8道1如图所示，其中平面4BC_L平面4C&,直线441与平面ABC所成角为

30°,NA41c=NACB=90。，AC=2BC,点例在线段公当上.

(1)求证：44141B；

(2)若BC=2g,三棱锥公―8cM的体积为6,求等的值.

11.如图1所示，在梯形BCDE中，DE//BC,且DE=2BC,zC=90°,分别延长两腰交于点4,

点尸为线段CO上的一点，将AADE沿OE折起到AAiDE的位置，使&F1CD,如图2所示.

(1)求证：4F1BE；

(2)若BC=6,AC=8,四棱锥&-BCDE的体积为12行，求四棱锥&一BCDE的表面积.

12.如图，在等腰直角三角形如。中，乙4=90。，AD=8,AB=3,B,C分别是PA,PO上的点,

S.AD//BC,M,N分别为8P,8的中点，现将ABCP沿8c折起，得到四棱锥P—ABCD,

连结MN.

D

(1)证明：MN〃平面PAD；

(2)在翻折的过程中，当P4=4时，求二面角B—PC-。的余弦值.

13.如图，是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面

圆周上，M是线段41c的中点.已知441=4C=4,BC=3.

(1)求圆柱的侧面积；

(2)求证：BCLAM.

14.在四棱锥P-ABCD^,AB"CD,AD=2,乙DAB=60°,△4PB为等腰直角三角形，PA=PB=

2V2.过C£＞的平面分别交线段PA,PB于M,N,E在线段OP上(M,ME不同于端点).

(I)求证：CD〃平面MNE；

(11)若£为。2的中点，且DM1平面APB,求直线PA与平面MNE所成角的正弦值.

15.如图,四棱锥P-4BCD中,AD//BC,平面PAD1平面PBC.若N8CD=pZ.PBC=^,AD=CD=

2,BC=1.

(1)证明：PBJ.P4

(2)若PA=2PC,求二面角P-BC-A的余弦值.

16.如图，直角三角形ABC中，，NA=60°,^ABC=90°,AB=2,E为线段8c上一点，且BE=”C,

沿AC边上的中线8。将44BD折起到△PBD的位置.

(1)求证：PE180；

(2)当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角C-PE-。的余弦值.

17.已知四棱锥S—48CD如图所示，其中△SAB,AS8C均为等边三角形，二面角4-BS—C为直

二面角，点M为线段BC的中点，点N是线段SD上靠近。的三等分点，8c〃平面S4D

(1)求证：AD1SM；

(2)若4。求直线AN与平面BNC所成角的正弦值.

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面48co是正方形，PB=PD=3近,PA^AD=3,点E,

F分别为线段P。，BC的中点.

(1)求证：EF〃平面4BP；

(2)求证：平面4EF1平面PC。；

(3)求三棱锥C-4E尸的体积.

19.如图所示，在四棱锥P-4BCD中，4D〃BC,BC1平面PAB,PA=PB=AB=BC=2AD=2,

点E为线段P8的中点。

(1)求证：平面D4EJ_平面P3C；

(2)求三棱锥D-4CE的体积。

20.如图，在四边形A8CD中，AB=2,PD=DC=BC=1,AB//DC,/.BCD=90°,F为AB

1

上的点且AF=3，若PDJ■平面ABC。，E为PC的中点.

(1)求证：EF〃平面PAO：

(2)求四棱锥P-4BCD的侧面积.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：因为48cH为正方形，所以

又因为_L平面ABCD,CHu平面ABCD,所以CH1AAr,

因为=AH,他u平面4。。出，所以CH_L平面4皿4,

因为CHu平面&CH,所以平面BiC/71平面4CD141.

(2)解：由题意，AB,AD,两两垂直，

以A为原点，建立空间直角坐标系4一xyz如图，设4B=1,

则4(0,0,0),C(l,l,0),"(0,1,0),Bt(p0,1),0(0,2,0),。式0,1,1).HC=(1,0,0)，福=(p-1,1),

可得平面aCH的一个法向量为再=(%j,z),

近.HB；==.-y+z=0,.I

2

可得_k,不妨y=1,则z=l,

-HC=x=0

所以宙=(0,1,1),

同理可得平面CDDiG的一个法向量为底=(x,y,z),

nJ•CD=—x+y=0

可得,取x=l,则y=l,z=1,所以荻=(1,1,1)，

•D]D=y-z=0

设平面aCH与平面CDDiG所成锐二面角为氏

In^nzl_2_\f6

则cos。=

|nTl|nJ|—>/2XV3-3

所以平面aCH与平面CDDiG所成锐二面角的余弦值为

h

解析：（1）证明CHIAC,CH1AA1,然后证明CH_L平面4。。遇1，推出平面B】CH_L平面4。。送「

（2）AB,AD,44］两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系4一xyz,求出平面当。7的一个法向

量，平面CDDiG的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面/CH与平面CDDiCi所成锐二面角

的余弦值即可.

本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间

想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题.

2.答案：证明：（I）折叠前，因为四边形4EC。为菱形，所以4CJ.DE,

所以折叠后，DE1PF,DE1CF,

又PFCCF=F,PF,CFu平面PCF,

所以DE1平面PCF,

因为四边形AECZ）为菱形，所以4E〃DC,AE=DC.

又点E为线段A8的中点，所以EB〃DC,EB=DC.

所以四边形OEBC为平行四边形.

所以W/DE.

又DE1平面PCF,所以BC，平面PCF.

因为8Cu平面P8C,所以平面PBC_L平面尸CF.

解：（H）图1中，由己知得4F=CF=f,

BC=BE=1,乙CBE=60°,

所以图2中，PF=CF=—.

2

又PC=渔,

2

所以0产2+。尸=尸。2,所以

又BC_L平面PCF,PFu平面PCF,

所以8clp凡

又BCCCF=C,BC,CFcYffiBCDE,

所以PF1平面BCDE,

所以=Vp-BCE=5XS^BCEXPF

11I13。、&1

=-x-xlxlxx——=-•

3228

所以三棱锥E-PBC的体积为"

o

解析：本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

(I)折叠后，DELPF,DE1CF,从而DE_L平面PCF,推导出四边形。E8C为平行四边形.从而

CB//DE,进而BCL平面PCF,由此能证明平面PBC，平面PCF

(口)推导出PF1CF,BC1PF,从而PFL平面BCDE,进而/=VP-BCE=|XShBCExPF.由此

能求出三棱锥E-PBC的体积.

3.答案：(I)证明：过C作CE1AB,交AB于E点,由题意可知BC=1,EB=\,

:.CE=VBC2-EB2=J1_(丁=导ac=7AE2+EC?=](|1+停j=

22=(V3)2+1,AB2=AC2+BC2,

AC1BC.

•••PA1^®ABCD,BCABCD,可知BC1P4

又P4CIAC=A,PA,ACu平面PAC

BCJL平面PAC.

■：BCu平面PBC,

・•・平面PACJ■平面PBC.

(口)解：过点A在平面ABCO内作AB的垂线H4,分别以HA,AB,PA为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系4-xyz,则P(0,0,2),4(0,0,0),8(0,2,0),£)(—耳,泗,C(-y,|,0).

设平面PAD的法向量为沅=(%i，yi，Zi)>

则血=(-%,。)，"0,2),悻累；

=)2X12%一,可取而=(1,遮,0),

(2zi=0

设平面尸8c的法向量为五=出外㈤，则乔=(0,—2,2)，BC=

2Z—0

皎1=0=—2y2+2

V31»

l前•元=0-yx2一斗=0A

可取五二(—浮1，1)»

lX(-y)+lxV3+0Xl

mn

所以cos<m,n>=

I沆11宿7.

设二面角。-4Q-C的平面角为仇由题意得平面PAO与平面P8C所成二面角为锐角,

则cos。=—,

7

解析：本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，可以使用空间向量法进行求解,

属于中档题.

(1)先证BC_L平面PAC.根据面面垂直的判定定理即可证明平面PACJ■平面PBC；

(2)使用空间向量法进行求解即可.

4.答案：解：(1)证明：因为SB1CD,CD//EF,

所以PA_LEF,

所以P4_LEF,

因为EF〃CD,

所以PA1CD,

因为PB1C。，PBOPA1=P,PB,P&u平面&PB,所以CD，平面&PB,

因为48u平面&PB,所以&B1CD;

(2)过。作直线/L平面BCD,在/上取点Q(异于点。)，设二面角4-BC-P为0,

以｛前，而，的｝为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则8(0,4,0),C(一4,0,0),且当乙41Po时,4式0,-3,遮),

所以前=(一4,-4,0)，BA1=(0,-7,V3).

设平面4BC的法向量为布=(居必z),则隹上二一八一号。，

令x=K，则y=-B，z=-7,所以记=(遮,_旧,一7),

因为平面BCD的法向量元=(0,0,1),

则…=需7_7^55

V3+3+49—55

所以sin。=Vl—cos20=飞-•

解析：本题考查线线垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，属于中档题.

(1)利用线面垂直的性质定理证明即可；

(2)建立空间坐标系，利用空间向量夹角公式求出结果.

5.答案：解：(1)作法：①过。作DF〃BC交48于小

②过E作EG//BC交PB于G；

③连接FG,则四边形DFGE为所作图形.

⑵以8为坐标原点，以死的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系8-xyz,则8(0,0,

0),(0,273,0),。(2,0,0),P(0,273,4)

由题知£>,尸分别为AC与A8的中点，故。(1,g,0),F(0,V3,0)

又由DE1PC得而=3的，设E(%,»z)

所以(x,y—2V3,z-4)=(6—3x,—3y,-3z)

3

x=6—3x,

旷=今所融(|李1)

y-2A/3=-3y,,解得

z-4=-3zt

{Z=1,

故屁=(|,今1)一(1，百,0)=&-今1)，DF=(0,V3,0)-(l,V3,0)=(-1,0,0)

设平面a的法向量元=(/,%,zi),由1E,丝=°，得'呆1_9〃+4=0,

In-DF=O,(-X1=0,

取元=(0,2,V3),又定=(2,-2V3,-4)

所以PC与平面a所成角。的正弦值为sin。=点需=等.

解析：此题考查线面垂直的判定，利用空间向量求线面角，属于中档题.

(1)分三步作图①过。作DF〃BC交AB于尸；②过E作EG〃BC交P8于G；③连接尸G,则四边

形。FGE为所作图形.

(2)以B为坐标原点，以耐的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,分别

求出直线PC的方向向量和平面a的法向量，进而求解即可.

6.答案：(1)证明：设BBi=2a」•四边形/BCG是菱形，。为棱BC的中点，

:.BC—BB1—2a,BD==a.

在ABBi。中，NBiBD=NB】BC=60。，

由=BD2+BB2_2BD-BB^os^ByBD,解得当。=百a.

BD2+BQ=BBl，：.4BDBi=90°,即当。1BC.

AB_LBC,AB_LBB】,BCu平面BOB［，BB】u平面BOB1，

且BCriBBi=B,

•••ABJ_平面B[Du平面BOB〉:.AB1BQ

•：AB1BrD,BiDJ.BC,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

且ABnBC=B,

B]DJL平面ABC.

■■Bi。u平面AB]。，.•.平面4BI。_L平面ABC.

(2)解：过点。作直线BA的平行线交直线CA于点E,则由已知和⑴可知，DBX1DE,DBr1DC,

DE].DC,分别以射线OC,DE,OB1为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐

标系D—xyz,设BBi=2a,根据已知得。(0,0,0),C(a,0,0),4(一a,2a,0),a(0,0,百a),

AC=(2a,—2a,0)>ABX=(a,-2a,V3a)>AD=(a,—2a,0).

设平面ABiC的一个法向量为记=(x,y,z),则]n-AC=2ax-2ay=0

In-ABr—ax-2ay+V3az=0.

取z=V3,得％=y=3.n=(3,3,V5)是平面//C的一■个法向量.

同理可得平面的一个法向量沆=(2,1,0).

设二面角。一4当一。的平面角大小为仇则0V。＜兀，且

,八[\mn\93V105

18soi=而而=砥忑=

...sm"甯••・二面角。fBLC的正弦值为嚼

J?

解析：本题考查面面垂直的证明，考查利用空间向量求二面角的平面角，考查了空间向量的坐标运

算，考查运算求解能力及方程思想，属于中档题.

(1)可以设SB】=2a,利用四边形&BCG是菱形和余弦定理可得aD=aa，由勾股定理得当D1BC,

可证4B1平面BOB］，可得ZBJ.B1D,从而可证位£>1平面48C,即可证明平面4当。1•平面ABC.

(2)以射线QC,DE,OBI为x轴，)，轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，求出二面角的两个

半平面所在平面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值，即可求解.

7.答案：证明：(1)•••四棱锥P-4BCC的底面是正方形，

.-.AB1AD,"PDL^ABCD,4Bu底面ABC。，

•••AB1PD,

又4DCiPD=D,ADu平面PAD,PDu平面PAD,

ABL平面PAD,

,:ABu平面PAB,

平面P4B1平面PAD.

(2)连接AC交8。于点。，连接OE,

•底面四边形ABC。是正方形，

•••。为4c中点，

•••AO=0C,

­：P力〃平面BDE,PAu平面PAC,平面PACn平面80E=0E,

:.PA//OE,•；0为AC中点,

:.PE=EC,IE为PC中点.

解析：本题考查面面垂直的证明，考查线段中点的证明，属中档题，

(1)推导出ABLAD,AB1PD,从而AB1平面PAD,由此能证明平面P4B1平面P4D;

(2)连接AC交8。于点。，连接0E,推导出20=0C,PA//OE,由此能证明E是PC的中点.

8.答案：(1)证明：AOBM中，由余弦定理可得：OM2=22+(¥)2—2X2XWXCOS3(T=£解

得0M="

3

0M2+OB2=MB2..-.0M1OB.

由题意可知：04_L0B,0A1OC,OBnOC=。，。4J_平面OBC,二0A10M.

又OBn。4=0,二OM_L平面AOB.

(2)由(1)OMJ■平面AOB,所以0。为MO在平面。48内的射影，4MD。为直线M£＞与平面408所

成的角，

当且仅当。。_LAB时，NM。。最大，此时3为43的中点，

以0为坐标原点，OM,0B,04分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

z

y

得0(0,0,0),B(0,2,0),C(6,-1,0),4(0,0,2),0(0,1,1),

oc=(V3,-I,o).9i=(0,l，1),设平面oc。的法向量为记=(久1，乃,Z1),由色,2£=d

{m-OD=0,

得。'取"1=1，得到沆=(1«V3,-V3)

易知平面ODB的一个法向量记=(1,0,0)

所以COS<记，云>=券^=-^：=¥，

|m|n|V7xl7

得sin<沅，元>=匡，即二面角B—0D—C的正弦值为足，

77

解析：本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

中，由余弦定理可得：0M.再利用勾股定理对逆定理可得：0M10B.由题意可知：。4，平

面08C,进而得出结论；

(2)由(1)OM1平面AOB,NMD0为直线MQ与平面AOB所成的角，当且仅当。D14B时，AMD0最

大，此时。为AB的中点，于是以O为坐标原点，OM,OB,OA分别为x,y,z轴的正方向建立如

图所示的空间直角坐标系,分别求出平面08和平面ODB的法向量，得到cos(记，元〉=离=?,

\m\n\7

即可得到sinV记，n>,

9.答案：解：(1)证明：取PA的中点F,连接EF,BF,

因为E是P。的中点，

所以EF：AD,AB=BC=1AD,ZBAD=zABC=90°,

，BC:AD,...BC?EF,

BCEF是平行四边形，可得CE〃BF,BFu平面PA8,CE0平面PAB,

二直线CE〃平面PAB.

(2)如图所示，

取AD中点。，连接尸O,CO,由于△PAD为正三角形，则P0_LAD,

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

所以P01•平面ABCD,COu平面ABCD,

所以P01CO.

因为AO=AB=BC=|AD,且/BAD=zABC=90°,

所以四边形ABC。是矩形，所以CO_LAD.

作以。为原点，以。C为x轴，以。。为y轴，以OP为z轴的空间直角坐标系.

不妨设AB=BC=|AD-1,则OA=0D=AB=CO=1.

又因为△POC为直角三角形，|0C|=ylOPl，所以NPCO=60。.

作MNJ.CO,垂足为N,连接BN,

因为POJ.CO,所以MN〃PO,且PO_L平面ABCQ,

所以MNJ_平面ABCD,所以NMBN即为直线5M与平面A8C。所成的角.

设CN=t,因为NPCO=60°,所以MN=bt,BN=y/BC2+CN2=Vt2+1.

因为4MBN=45。，所以MN=BN,即=解得t=当，

所以ON=1-3，MN=—，

22

所以4(0,TO),B(l,-l,0),M(l-y,0,y),£>(0,1,0),

则崩=(1,0,0)，AD=(0,2,0),N=(1一号.I,，).

设平面MAB和平面DAB的法向量分别为方=(x“i，Zi),nJ=(%2>72.22)>

MJAB-7H=0//=0

\All-TH=0'卜1_曰)与+乃+/zi=O'

可取Z]=—2,则汨=(0，倔-2),

同理可得苗=(0,0,1),

r匚I”,->--1,”i•〃2-2V^()

所以COSI〃1.fl>/=h=-=--=一——,

|ni||7i2|vlOx15

因为二面角M—AB-D是锐角，所以其余弦值为唱.

解析：本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，考查用空间向量求解直线与平面

所成的角，二面角的求法，属于较难题.

(1)首先取PA的中点F,再证明CE〃BF,,进而由线面平行的判定得出；

(2)由平面与平面垂直的性质，得出PO_L平面ABC。，再做出Z_MBN即为直线8W与平面ABC。所成

的角，建立以OC为x轴，以。。为y轴，以OP为z轴的空间直角坐标系，从而求得二面角M-AB-。

的余弦值.

10.答案：(1)证明：•.•平面ABC1平面4CA1，平面力BCn平面4czi=AC,

BC1AC,8。<2平面480；.8。1平面。41，

而&Cu平面AAiGC,：.BC1&C,得乙41cB=90°,》

设BC=x,则4C=2x,又/A4iC=90。，N&AC=30。，

.--A1C=x,AAr=V3x.ArB=V2x.AB=V5x.------------

22222

而44：+ArB=3x+2x=5x=AB,

•.AAX1AXB-,

(2)解：过M作MNIAiB交于N,

若8c=26，由(1)得，ArC=2V3，AA1=BBr=6,

•••VA1-BCM=[MN•SAACB=6,即:MNXgx2Hx2百=6,

解得MN=3,又N4&B=N&BBi=90°,二黑=翳=：=；，

oDiOL

：.A^M=则4]M=MBi，得=L

解析：(1)由已知可得BC_L平面4c4],则乙41cB=90。，设BC=x,求解三角形可得4411&B；

(2)过M作MNJ.交于N,若BC=2相,由(1)得，41c=2遮，=6,由三棱锥

4-BCM的体积为6求得MN,再由平行线截线段成比例可得为M=MBi，得黑=L

本题考查空间中两直线的位置关系，考查多面体体积的应用，考查空间想象能力与运算求解能力，

是中档题.

11.答案：(1)证明：在图1中，rNC=90。，即力CLBC,且DE〃BC,

•••DE1AD,DE1DC,

则在图2中,DEJ.DC,DE1DA1,

XvDCnDAj,=D,

：.DE1平面&OC.

vAXFu平面&DC,

・•・DE1ArF.

图2

又・・•W。，CDCDE=D,

.・.&F_L平面3CDE,

又•・・BEu平面BCDE,

・•・AtF1BE；

(2)解：由已知DE〃8C,且£)E=TBC,得D,E分别为AC,AB的中点，

22

在Rt△48c1中，AB=V64-8=10»贝|4速=E8=5,A1D=DC=4,

则梯形BCDE的面积S[=1x(64-3)x4=18,

四棱锥&一BCDE的体积为V=[x18x&F=12遮，即4/=2遮,

在RtAAiDF中，。尸=j42-(2①=2,即尸是CO的中点，

:.ArC—AXD=4,

vDE//BC,。后_1平面4.，

・••BCJ•平面41DC,则BC141C,得4/=抬+42=2底,

在等腰AAiBE中，底边上的高为卜一(g)2=2相,

•・・四棱锥公-BCDE的表面积为：

S=S]+SAA1DE+SXA\DC+SA^BC+^^AXBE

=184-ix3x4+ix4x2V3+[x6x4+[x2mx273=36+4>/3+2属.

解析：(1)由已知可得DE1DC,DE1DA1，得到DE平面&DC,则DE1&F.结合已知4/1CD,

可得4/_L平面BCDE,则4/1BE；

(2)由已知结合四棱锥&-8CDE的体积为12K，求得4/=2百，然后求解三角形可得四棱锥&-

BCDE的表面积.

本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系及其判定，考查空间想象能力与思维能力，训

练了多面体表面积的求法，是中档题.

12.答案：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，取AB的中点E,连接EM,EN,

因为M,N分别为BP,C。的中点，且AD〃BC,

所以AD〃EN,PA//ME,

因为24u平面PA。，MEC平面PA。，

所以ME〃平面PAD,

同理，EN〃平面PAO,

又因为NEnME=E,EN,MEu平面MNE,

所以平面MNE〃平面PAD,

因为MNu平面MNE,

所以MN〃平面PAD

(2)在等腰直角三角形PAD中，44=90。，AD//BC,

所以24IBC,即在四棱锥P-ABC。中，BCLAB,BC1PB,

因为4D〃BC,所以AD_LAB,AD1PB

因为48np8=B,AB,PBu平面尸AB,

所以4D1平面PAB,

因为P4u平面PAB,

所以2414。，

又因为4。=8,AB=3,PA=4,

所以PB=5,

所以P炉+业=PB2,

所以PA1AB,

以点A为坐标原点，AB，AD,9方向为x轴，了轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(3,0,0),P(0,0,4),C(3,5,0),0(0,8,0),

所以而=(3,0,-4),PC=(3,5,-4),而=(0,8,-4),

设五=(%i，yi，Zi)为平面PC。的一个法向量，

而区•而=0即”1-4zi=0

身.同=0,+5%-4z】=0，

令%=1，得4=(11，2),

设底=。2，%*2)为平面PBC的一个法向量，

唯品二小艮喷；/二工=0.

令#2=4,得近=(4,0,3),

所以郎＜心底＞=箫=冬

由图象可知，二面角PC-D的平面角是钝角，

所以二面角B-PC-。的余弦值为—渔.

3

解析：本题重点考查面面平行的性质和二面角，属于一般题.

(1)取AB的中点E,通过求证平面MNE〃平面PAD,即可求证MN〃平面PAD；

(2)先求证P414。，PALAB,再建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.

13.答案：解：(1)由题意可得AC=4,BC=3,L=AAt=4,

所以在Rt△4BC中,AB=yjAC2+BC2=V42+32=5＞

所以底面半径r=q4B=|,

所以圆柱的侧面积S=2nrL=2TTx|x4=207r.

（2）证明：由题意可得BCJ.AC,

又因为图为圆柱，可得1底面ABC,

因为BCu底面A8C,

所以8cl441，

因为BC14C,S.ACQAA1=A,

所以BC1A4C4,

又AMat^ACAx,

所以BCJL4M.

解析：（1）由题意在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB,求得底面半径即可得解圆柱的侧面积S.

（2）由题意利用线面垂直的性质可知BC1A4],利用线面垂直的判定可证BC1A4C&,进而根据线

面垂直的性质即可证明BC1AM.

本题主要考查了圆柱的侧面积公式以及线面垂直的判定和性质，考查了数形结合思想和推理论证能

力，属于中档题.

14.答案：（1）证明：：/8〃。。，ABu平面4BP,C'。笈平面力BP二CD〃平面A8P,

又•••CDu平面C0MN,平面CDMNn平面4BP=MN,CD〃MN,

又”MNu平面MNE,CD〃平面MNE：.CD〃平面MNE；

（口）解：建立如图空间直角坐标系，连接。B.

P(0,0,0),4(0,2加,0),8(2夜,0,0).

因为48=4,AD=2,/.DAB=60°,

由余弦定理可得DB=2V3，

设点。的坐标为(0,»z)(y,z>0),

(DB2=8+y24-z2=12(y=y/2

{AD2=(2A/2—y)24-z2=4(z=V2>

所以，点。的坐标为(0,壶,企)，点M的坐标为(0,企,0),点N的坐标为(四,0,0).

点E的坐标为(0,1,[).丽=(-V2.V2,0),ME=(0,-4号，

(n•NM=—y/2a+y/2b=0

设平面MVE的法向量五=(a"c),则V2,>[2八，

n-ME=---bH——c=0

22

取Q=1,得b=c=l,则五=(1/，1),刀=(0,2M0),设直线必与平面"NE所成角为仇

sine=|cos<n,可>|=需矗=可

故直线PA与平面MNE所成角的正弦值为更.

3

解析：本题考查线面平行的判定与性质定理应用，考查线面角的求法，属中档题.

(I)由线面平行的判定与性质定理得CD〃MN,再根据线面平行的判定定理即可证明C。〃平面MNE；

(口)建立如图空间直角坐标系，连接DB,求得平面MNE的法向量及可坐标，设直线PA与平面MNE

所成角为。，根据sin。=|cos<元，对>|求解即可.

15.答案：解：(1)证明：设平面P4DC平面PBC=1,

vAD]IBC,DC〃平面PAD,ADu平面PAD,1­.BC〃平面PAD,

又：BCu平面PBC,BC//1,

•••乙PBC=pPBLBC,•••PB1I,

又因为平面PAD1平面P8C,PB1平面PAD,可得PBJ.P4得证.

(2)解：连结在△BCD中，易得BD=6，：•BD上BC,

又：PB1BC,4P8D为二面角P-BC-4的平面角，

以。为原点，分别以而，曲的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，

.••4(2,0,0),B(0,V3,0).C(-l,V3,0),

•••BC1BD,BC1PD,BDCPD=D,:.BCJ"平面PBD,

所以平面PBC1平面ABCD,

可设P(0j,z).由24=2PC可得：

(0—2)2+y2+z2=4(0+l)2+4(y-V3)2+4z2,

化简可得：3y2-8V5y+3z2+12=0,

由(1)知PB1P4,二(—2,y,z)•(0,y—V3>z)=0,化简得y2—by+z2=o.

解方程①②可得y=g回z=|百，

sin乙PBD,贝IJCOSNPBD=—•

PB55

解析：本题考查线线垂直证明、面面垂直性质、

(1)设平面PADC平面PBC=/,易得8c〃平面PAO,由面面垂直的性质可得PB_L24；

(2)连结80,根据题中条件可知"BD为二面角P-BC-4的平面角，建立合适空间直角坐标系，然

后再求二面角P-BC-2的正弦值，从而求出余弦值.

16.答案：(1)证明：取8。中点。，连接OE,PO,

••,由已知得DC=PD=PB=BD=2,

BC=2V3,OB=1,BE=这且/OBE=30°,

3

••0E=—,

3

•••0E2+OB2=BE2

：.0E1BD,

又•：PB=PD,。为的中点，所以POJ.BD,

又POCOE=。，OE,P0c®POE,

所以BD1平面POE,又PEu面POE,

所以8D1PE-

(2)因为三棱锥P-BC。的体积最大，即P到平面BCD的距离最大，

二平面PBO_L平面BCD,

POiTffiBCD,所以OE,OB,OP两两垂直.

以O为坐标原点，以OE、OB、OP所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

p

J一

则8(0,1,0),P(0,0,V3).C(V3,-2,0),D(0,-l,0),E争,0)

：.BP=(0,-1,V3);BC=(V3,-3,0)，

屁=(争，0),PE=(^,0,-V3)

设平面PBC的法向量为五=(x,y,z),

则仁处蔗不妨令"倔得记=(3,VU).

(n-BC=V3x-3y=0

设平面PQE的法向量为万=Qi，yi，Zi),

fm-DE=—xx+yj=0

则｛_/，则记=(3,-遮,1)

(m-PE=^-x1-V3z1=0

所以cos(沆，元＞二舒幕

即二面角C-PE-。的余弦值为白

解析：本题考查线线垂直的证明以及利用空间向量求解二面角，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定定理证明BD，平面POE,然后根据线面垂直性质定理得证；

(2)因为当三棱锥P-BCD的体积最大时，则平面PBD1平面88,进而建立空间坐标系，分别求出

两个平面的法向量，然后利用空间向量夹角公式求出结果.

17.答案：(1)证明：因为BC〃平面SA。，BCu平面ABCZ),平面4BCDn平面SW=2D,

所以8C〃A0；

因为△SBC为等边三角形，且8M=CM,

故SM1BC,则SM1/W；

(2)解：取SB的中点0,连接AO,CO,因为△SAB,△SBC均为等边三角形,

故AO_LSB,COJLSB,

因为二面角a-BS-c为直二面角，

故平面48s1平面CBS,

因为4。<=平面"5,n¥ffiCB5=BS,

故AO1平面SBC；

故以。为坐标原点，OB,OC,04所在直线分别为x,>■,z轴建立如图所示空间直角坐标系;

不妨设4B=2,则S(-1,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0).4(0,0,b)，

所以前=(-1,封0)，而=，阮=(一,，,0)，

所以0(4今⑹，历=&今百)，

所以加涧=(评豹,

所以N(一泻嗡，

所以近=(一1,我,0)，而=(—|，—手，豹，前=(一1，*一3

设平面BNC的法向量记=(x,y,z),

n-BC=0,,.+V3y=0,

则ri-CN=0：］—|x-竽y+苧z=0,

则｛:=令'=1'则元=（8，L2）为平面BNC的一个法向量;

则直线4V与平面BNC所成角正弦值sin9=|cos<AN-n>\=鬻器=誓.

解析：本题考查空间线面平行得性质、面面垂直得性质、向量法求线面角，考查考生直观想象、逻

辑推理、数学运算的核心素养，属于中档题.

⑴利用线面平行得性质得BC〃AQ；再由△SBC为等边三角形，得SMJ.BC,可SM14D；

（2）取S3的中点。，连接A。，CO,利用面面垂直性质得力。1平面SBC；以。为坐标原点，OB,

OC,所在直线分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得直线AN与平面8NC

所成角的正弦值.

18.答案：证明：（1）如图，取P4的中点G,连接BG,EG,

•・•点E，G分别为尸£>,PA的中点，EG//AD.EG=^AD,

又是8c的中点，四边形A8CO是正方形，二8尸〃56且8尸=

EG,

故四边形EFBG为平