高考高中数学第78炼 定值问题

第78炼圆锥曲线中的定值问题

一、基础知识：

所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化,

但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。

1、常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否

得到一个常数。

2、定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进

而给后面一般情况的处理提供一个方向。

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，筒化运

算

二、典型例题：

4

例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y=右焦点

F（5,0）,双曲线的实轴为44，尸为双曲线上一点（不同于A，4）,直线4P分别

于直线/:x=|交于M,N两点

（1）求双曲线的方程

（2）试判断KVTFN是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由

解：（1）由尸（5,0）可得c=5,且焦点在x轴上

y22人

所以设双曲线方程为：=一匚v=1,则渐近线方程为y=±-x

aa

b4（。=3

/.—=—由矿+Z?~=c=25解得：《

a3[b=4

22

・••双曲线方程为--乙=1

916

（2）由（1）可得：A（一3,0）,4（3,0），设P（Xo，%）

y=%i（x+3）

设4P:y=4（x+3）,联立方程<9解得：MR

x=—5,

I5

y=勺（x-3）

2,-频

同理：设&P:y=&（x-3）,联立方程<9可得:N

x=—55'

5

1624.

：.FM=,FN

：.FMFN=^--i4Ak'k2

2525

下面考虑计算匕网的值

%）‘。

k\=，人2—三:.k、k2~

x0+3x0-3片—9

P（』，No）在双曲线上

•kk=%J6

12x；—99

...FM.尸N=等一黑

所以为定值

x2y2h（5、

例2：已知椭圆—H——1（〃>Z?>0）的离心率为《―，且过点5/2,—

右b~7

（1）求椭圆方程

（2）设不过原点。的直线/:丁=履+制攵。0）,与该椭圆交于尸，。两点，直线OP,。。的

斜率依次为仁,右，且满足4左=4+内，试问：当女变化时，帆2是否为定值？若是，求出

此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由

解：（1）由6=£=迫•可得：a:b:c-2A:>j3

a2

2（

y2

.••椭圆方程为：x+=1代入V2,—可得:

4b2瓦I2J

旦=1解得：b=\.a=2

2

，椭圆方程为一r+丁=1

4

（2）设尸（不凹）0（々,必），联立方程可得:

y=kx+m、,、2

-2+42—4消去y可得：X+4（依+m）-=4,整理可得:

（4k2+1）犬+Shwc4-4m2-4=0

〜口=.一心.y,kx,+m.m.ykx.+m,m

依题意可知：人二"二」——二%+一,何=以9=，——=k+—

王玉玉x2x2x2

即2々=〃?.土也①

x}x2

由方程（4公+1）+8初优+4>-4=0可得:

8km4m2-4

X,+X=-----A——,X.X=——-----

1-24k2+112-4k2+1

代人①可得：

8km

2k=m—"+1,整理可得：2k=——=>/T72-1=-m~

4m-44m'-4

4k2+1

.•・可知加2为定值,与左的取值无关

X22

例3：已知椭圆—+匕=1（4>〃>0）经过点2e=—,动点M（2"）（f>0）

/b2

（I）求椭圆标准方程

（2）设尸为椭圆的右焦点，过尸作OM的垂线与以0M为直径的圆交于点N,求证：ON

的长为定值，并求出这个定值

解：(1)由6=，2可得：a:b:c=\/2:1:1

2

22（J2,A

•••椭圆方程可转化为：宗+%=1,将尸—代入椭圆方程可得:

k227

11

Ml|=1,解得：及=1

2

.••椭圆方程为£+V=1

（2）由（1）可得：F（1,O）OM:y=-.

思路一：通过圆的性质可得ONLMN,而（设垂足为K）,由双垂直可想到

射影定理，从而|0N「=|OKHOM|,即可判定|ON|为定值

；,FN-.y=--（工一1）,设OM与尸N相交于K

y=—x

242t

则K:《解得：K

r+4'f2+4

y=——(x—1)

2t

="+1

*+4

OM为圆的直径：.ON±MNNKJLOA

由射影定理可得:

|ON「=|OK|.|OM=2

:.\ON\=y/2

思路二：本题也可从坐标入手，设N（Xo，%），则只需证明|0N「=片+尤为定值即可,

通过条件寻找玉PYO关系，一方面：FN±OM=>FN-OM=0,可得2%）+40=2；另

、2

一方面由N点在圆上，可求出圆的方程y----F1,从而

74

（与-）一

1+j—+1,展开后即可得到片+/为定值

解：设N（x0,%）,则FN=（Xo—l,%）,OM=（2j）

:.FN-OM=2（x0-1）+y0t=Q

2x（＞+yot=2

yJt2+4

OM的中点坐标为

2

.,•以QW为直径的圆方程为：(x—l)2+[y—g)=j+l

代入N(Xo，%)，可得：(％—1)2+(盟_()=?+1

22c,rr,

X。+%-2%+1-(y()+1=I+1

2

=>片+y()=2x0+ty()=

.♦.x；+y；=2即|0N『=2

.•.|ON|=夜

J.2v22

例4：已知椭圆C：F+》=l(a>0>0)的离心率为半焦距为c(c>0),且a-c=l,

经过椭圆的左焦点E,斜率为匕(4H0)的直线与椭圆交于A8两点，。为坐标原点

(1)求椭圆C的方程

(2)设H(lO),延长AR,3R分别与椭圆交于C,。两点，直线CD的斜率为42,求证：—

攵2

为定值

c2

解：(1)e=—=—,设°=2k,a=3k

a3

由a—c=l可得：3k—2k=1=k=\

a=3,c=2

b1=a2-c2=5

22

.•cWi

95

（2）由（1）可得/（一2,0）,设A（x，x）,B（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）

可得：AR:y=」一（x-1）=>x=]y+1

须一1

%—1.

x=———y+1

y5—X,-yX.-1.c

联立方程《n―^+——y-4=0

22

厂上ai

I95

4犬二4y：

•.,丹不4yl

5—%]—5

x,-15的-9（5%）-94M）

必元]—5]$—5%-5J

同理，直线R?与椭圆交点。的坐标为三,刍"

、入2-5—5

4yl4y2

%一%=x「5"5_4H（々-5）-4%（斗-5）

x3-x45x,-95X2-9（5^-9）（x,-5）-（5x2-9）（x,-5）

——

Xj5x25

4y（又一5）一4%（七一5）_）52一%即+5（%—y）

16（X2-X,）4（々一匹）

，…/2）可得:

设A8:y=4（x+2）

〔%=艰龙2+2）

匕（%+2）々一尢（*2+2）玉+5（%—M）2匕（工2—西）+5（%一3）

&=

4（^2-西）4（%-玉）

1,5y-y,1,5,7,

-k,H-----2-----=-k,H—k.=­k、

*12111

24x2-x,244

k,_7

小炼有话说：本题中注意y/2一为玉的变形：可通过直线方程用光|,工2表示切，y2，代入

后即可得到关于玉+冗2，玉电的表达式

例5：已知椭圆C:点•+%=l（a＞。＞0）的右焦点为尸（1,0）,且点PV3,y-j在椭圆C

上，。为坐标原点

（1）求椭圆。的标准方程

x2y24

（2）过椭圆G：r+」^=l上异于其顶点的任一点Q，作圆。：/+丁=—的切线,

£23

3

切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为加,〃，求证：

---7—r为定值

3m~n~

解：（1）依网1,0）可知c=l椭圆方程为*•+六厂1代入P6,立］解得：

/=4,方=a°-c2=3

椭圆方程为土•+2-=1

43

r23V2

（2）思路：由（1）可得：6：1+十=1，可设。（%，%），由题意可知MN为过。作

444

圆切线所产生的切点弦，所以MN:xQx+yoy=—,从而可得加二,n,所以

33x03yo

三】+二=”（其+3y：）,由椭圆方程可得无：+3y；=4,从而=U=］为

3m~〃48'/3mn124

定值

222a2

解：由（1）可得：G:—।—■~——1n—।—1—-1

4a544

J—

3

设。（%,%）可知MN是过。作圆切线所产生的切点弦

设M（X，yJ,N（%,%），由",N是切点可得：OMLMQQNLNQ

•1•A/2：y-y0=—(x-x0),代入例(XQJ：y,-y0=-

即XRo+y%=x；+y；,同理可知对于NQ,有x2xn+%%=%；+£

因为M,N在圆O：/+y2=一上

-3

2244

x/o+y%=4

M,N为直线xx+yy=§上的点

2244oo

尤2+%=~元2%+>2%=3

因为两点唯一确定一条直线

4xy

...MN:xnx+yny=-，即、---r*+、---=1

\门^xo)义13%1

44

由截距式可知根=,n=

3/3yo

+3=；•得片+白片=2(片+3")

3mn3161648

。在椭圆C1上

••--Vo+3>'o=4

—r=--(%o+3y；)=。即一、+，•为定值

3m2n248V°°，43m2n2

小炼有话说：

(1)本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后其+3/=4的特点整体消去所

得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。

(2)本题求直线MN方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同

构”的特点，从而确定直线方程

注：切点弦方程：过圆外一点。作圆：/+产=，的切线，切点为4,B,则切点弦AB的

2

方程为：xox+yoy=r

例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C:=+q=l,设R（小,均）为椭圆上任意

一点。过原点作圆/?:（%一%）2+（丁一%『=8的两条切线，分别交椭圆于P,。

（1）若直线QP,OQ相互垂直，求R的方程

（2）若直线QP,OQ斜率存在，并记为占,《，求证：匕•&是一个定值

（3）试问|OP『+|OQ「是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由

解：（1）由7?:（%—%）2+（丁一%）2=8可得厂=20

OP±OQ.•.烟=仿=4,即x；+y；=16

22

工+9=1=20Lo=-272Lo=20=-272

联立方程:2412=>V=一211=一21（

=272=20

、片+常=161为

R的方程为：

（x+2夜『+（y+20『=8或（光+2夜『+（），-2夜丫=8或

1_2厨+b+2南=8或1_2阴+卜_2血）2=8

（2）思路：可设直线OP:y=4x,OQ:y=&v,均与圆相切，可得d=华』1（其中

z=l,2）化简可得：（片-8）仔一2/坊匕+巾一8=0,可发现尢&均满足此方程，从而

v2—8

勺&为（片一8伙2—2%乂）&+北一8=0的两根。则"？=与二，再利用椭圆方程消元

%-8

即可得到定值

解：设OP:y=ktx,OQ:y=k2x

OP与E相切

.d--。—W_2、历

一aR-op~~/,-

口（也一%）2=80+6）

化简可得：（*_8*：_2/为吊+北_8=0

对于OQ:y=内X，同理可得：（%—8）攵；一2%%匕+y：—8=0

.,.匕,％2为（x；—8）5-2%为上+）：—8=0的两根

火-8_1

24-2^-82

（3）思路：设P（x2J,0（*2,%），|OP『+|OQ『=%2+"+后+£,由第（2）问所

得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将P,Q坐标分别用仁,%进行表示，再判断

|OP『+|OQ『是否为定值

解：当P,Q不在坐标轴上时，设P（x”y）,Q（w，M）

y=ktx

22

P:\xv=>/+2k沃=24

—+^-=1

12412

224,24M

/.x：=---,y=--—

24+1'26+1

二2424公

同理可得:

-2代+12代+1

3+2+3+工24（1+幻

二片+才+¥+£=

2匕2+12K2+12^+12^+12k；+1

»（1+片）」+「需136+72%：

=24-（1Y=可丁=%

2------+1

_I2左J_

若P,Q在坐标轴上（不妨设P在x轴）上，则P（2跖0）,。（0,26）

:.\OPf+\OQf=36

综上所述，|0叶+|OQ『为定值36

例7：已知椭圆C:—+亲■=l（a＞力＞0）,称圆心在原点，半径为+/?2的圆为椭圆C

的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为F（&,0）,其短轴上的一个端点到F的距离为百

（1）求椭圆C的方程及其“准圆”方程

（2）点尸是椭圆。的''准圆”上的动点，过点尸作椭圆的切线4交“准圆”于点M,N

①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线4,4的方程并证明4，4

②求证：线段MN的长为定值

解：（1）依题意可得：c=血，a=6

2______

h2—a2—c2—1-y-+y2=1r=xla2+b2—2

O:j?+y=4

（2）①由（1）可得P（0,2）,设切线方程为：y^kx+2

2

X2_,

联立方程：JT+V=消去y可得：3（依+2『=3

y-kx+2

整理可得：（3F+1）/+12奴+9=0

A=144炉-36（3公+1）=0=36公-36=0

解得：k=±}

所以PM:y=x+2,PN:y=-x+2

.・.PM±PN

②设2小,%）pM-广或=-*）•

则消去y可得：/+3卬X—%）+%丁=3

x+3y=3

整理可得：（3忏+1卜2_（64/一6勺为卜+34片_6匕为%+3y；-3=0

/.A=36（匕%-匕％）~-4（3Z：+1）（36入：-6匕%尤（）+-3）=0

整理后可得：（3-片）#+2%贝居+1-y：=0

同理，对于设切线PN的斜率为电，则有:

（3—xj）与++1—%=°

P在“准圆”上

X：+y；-4y；—1—3一xj:.k、k,———1

所以PM_LPN"N为"准圆”的直径

为定值，|MN|=4

在椭圆C:£+m=1（。＞方＞0）上，椭圆C的左焦点为（一1,0）

已知点P1,

（1）求椭圆C的方程

（2）直线/过点T（m,0）（加＞0）交椭圆。于M,N两点,

AB是椭圆。经过原点。的弦，且脑V〃A8,问是否存在正4-

数，"，使得照■为定值？若存在，请求出，"的值；若不存

\MN\

在，请说明理由。

解：（1）由左焦点（一1,0）可得c=l,由廿=/一。2nb2=。2一1

（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量加，直线〃N,A8的另一核心要素为

斜率左（假设k存在），通过吗7可联想到弦长公式，所以分别将直线MN,A8的方程与

|MN|

\ABf|AB|2

椭圆方程联立，进而^一1为关于加,人的表达式，若^~~\为常数，则意味着与攵的取值无

\MN\|MN|

关，进而确定，"的值

设直线/:丁=履+加，”（*],凹）,？/（%2，%），联立方程:

92

S2Li

4+3-=n(3+4公•2-8/如+4%2/-12=0

y=kx+m

Sk2m4k2m2-12

X]+占=——----,x.x=

124&2+3厂94公+3

J1+F•J16[(12-3〉*+9

：.\MN\=y/]+k2\x-x\

y24/+3

22

厂上>,■

----r---=1,12

设4（刍,%）,3（%4，，4），则（43=>r=-------7

3+4炉

kx

j48(4/+3)

14阴=Jl+|%-xj=Jl+k2,

3-4k2+3-

48(1^

止+3

\AB\'I——r1l+k2

~^=4841+公.=12・

MNJ161(12-3/”2‘*+9](12—3〃，伙2+9

所以若当L是个常数，

|w|

.•.（12-3病）公+9也为A（1+F）的形式，即12—3m2=9n〃?=l

此时段r=4，当直线斜率不存在时，可得理L=4符合题意

|MN|\MN\

：.m=\

小炼有话说：本题在判断小的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一

项含左的表达式:

11\AB\-

12一,若^~~I的

2222―、

小(12-3m)k+12-3m+3m-312—3—+3〃，一3\MN\

l+k21+公

值与女无关，则3加2—3=0n/n=I

例9：如图，已知椭圆C：《•+，=l(a>b>0)的离心率为弓,以椭圆C的左顶点T

为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M,N

(1)求椭圆C的方程；

(2)求7M-7N的最小值，并求此时圆T的方程

(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MRNP分别与x轴交于点R,S,

。为坐标原点，求证：|。氏卜|。¥为定值.

解（1）圆T的圆心T（一2,0）

,0c6

..a=2e=-=—

a2

/.c=-^-a=V3/.b2=a2—c2=\

2

.••椭圆方程为：—+y2=]

4"

(2)由圆与椭圆关于x轴对称可得：用,N关于x轴对称

设〃(%,%),则NQo,-%),且有今+y；=l

由T(一2,0)可得:7M=(x0+2,y0),7N=(x0+2,-y0)

・•.M77V=(Xo+2)2—y；=(x°+2)2+,—1

5.5f8丫1

=—x,2+4%,+3a=—x,H——

4114l'5j5

因为M在椭圆上(非长轴顶点)/.-2<x0<2

时，(TM-TN\将x0=—§代入可得％=3

5'"in555

/Q1a

即M-一，，代入到圆方程可得：r2=—

I55j25

(3)思路：依图可知所[0如|。川可翻译为坐标运算即XR%，且RS分别为直线MRNP

与x轴的交点，可设出尸(石，凹)，从而结合加(%,%))和N(%o,—计算出MRNP的方

手+尤=1

程，从而可用玉）,％,玉，凹进行表示,再根据椭圆方程4进行消元即可。

”=1

解：设P（x”M）,由“（%,%）可得:

七.=上二&MP的方程为：y—y='U（x—xJ

令y=0,可解得：4=闯"—X。'。

必一打

同理可解得NP与'轴的交点S的横坐标「号国

玉'：一玉今；

所以|。如侬|=|喇巾=瓦/1=3二五邑x°y+Xi)'o

必一先必+y。y；-Jo

因为P（x”y）,M（Xo，）b）均在椭圆上

+/=；卜；=4-4%

+K二门片="4y：,代入到①可得:

后犬―=（4（4-4灯用=区彳-4"

|o/?|-|os|=疗-其犬-必||）；-北=4

所以|OR|JOS|=4,即为定值

r22

例10：如图所示，在平面直角坐标系X0V中，设椭圆E：7+本v=1（。＞人＞0）,其中

b=^a,过椭圆E内一点尸（1,1）的两条直线分别与椭圆

交于A,C和氏。，且满足AP=2PC,6P=/LPr＞,其中；I

为常数且几＞0,当点c恰为椭圆右顶点时，对应的％=2

7

（1）求椭圆E的方程

（2）当；I变化时，3B是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由

解：(1)由匕=迫4可得：a;b:c=2:6人.•.£:[+/=1(。＞方＞0)

2a*123a2''

若C为右顶点，则C（a,O）:.PC={a-\,-\）,设A（x,y）

.♦.AP=(l-x,l-y)2PC=(2(a-l),-2)

1—x-A((i—1)

由A尸=4PC可得：41)

1-y=-2

X=5＜12-5a12、

')代入九=1可得A七+二，代入椭圆方程可得:

y=l+/l7177J

(12_5a)4xl22

b=百

49«2+49x3a2=1解得。=2

JCV

...椭圆方程为：一+乙=1

43

（2）解：设4（的，州）,5（工2，%），。（工3，%），。（X4，%）

由AP=/IPC,可得：iA,因为AC在椭圆二+匕=1上

1一州143

I%3=—4—+1

22

%

+211—M

43%=丁+1

所

有

以

22，代入4人并整理可得：

&

2+)广？+】

43

3玉2+4＞；=12①

’3〔43；(43卜2②

整理②可得：

3[。—％)+X]+4[(1-M)+丸]—1222

222

[3(1-x,)+4(1-y,)+62(l-x1)+8A(l-y,)=5/l

34+4y；-2(3x,+4y,)+7+14A-24(3%+4y)=5Z2

19-5纪+144

3%+4%

2+2/1

19—5/1?+142

同理可得：对于反。，则有3%+4%=---------------------

2+24

3%+4y=3与+4y2=>3（西-占）=V（M-必）

..乂"="二&=-』，即为定值

x{-x24

一、光速解题一一学会9种快速解题技法

技法1特例法

在解答填空题时，可以取一个（或一些）特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方

程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行

检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种

方法.

典例1（特殊数值）求值:cos2a+cos2（a+120°）+cos2（a+240°）=.

3

答案2

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值，于是不妨令a=0°,则

113

IM5^=COS20+COS21200+COS2240°=1+4+4=2.

典例2（特殊点）点P为椭圆石+卫1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶

点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC

于点N,交BC于点M,交AB于1)、E两点，记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2>

贝Si:S2=.

答案1

(4,2)$$

解析不妨取点P'"，则s产157X(5-4)=5,PD=2,PE=5,所以

166

Sz=2X2X工="，所以Si：Sz=L

典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个X.,都存在唯一的X2《D,使

f(x,)-f&)=1成立,则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：

①“影子函数”f(x)的值域可以是R;

②“影子函数”f(x)可以是奇函数；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y=f(x)•g(x)是“影子函

数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在「使得f(x)=O,此时不存在整,使

得f(x)•f(X2)=l,所以①错误;

1

对于②：函数f(x)=x(x#o),对任意的XI6(-8,0)U(0,+8),取X2="，则

f(X1)•f(X2)=l,因为函数f(x)=x(x#0)为奇函数，所以"影子函数"f(x)可以是奇函数，②

正确；

对于③：函数f(x)=x(x>0),g(x)=、(x>0)都是“影子函数”，但F(x)=

f(x)"&)=1&>0)不是“影子函数”(因为对任意的x{(0,+8),存在无数多个

制任(0,+8),使得F(x)•F(X2)=D,所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为4ABC的重心，AD为BC边上的中线，令

近a,"C=b，过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点，且AP^ma,"Q=nb,则

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(2)如图,在三棱柱的侧棱A,A和B.B上各有一动点P,Q,且AF=BQ,过P,Q,C三点的截面

把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为.

答案(1)3(2)2：1

解析(1)由题意知结果必然是一个定值，故可利用特殊直线确定所求值.如图，令

21

-

做-

3m

AP挥故3

=,-

PQ//BC,则J

⑵将P,Q置于特殊位置:P-AbQfB,此时仍满足条件AF=BQ(=O),则有

%44凡七「ABC=3

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2:1的上、下两部分.

典例5(特殊图形)在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等

cos4+cosC

差数列，则1+cos4cosc=

4

答案5

1cos4+cosC4

解析不妨令AABC为等边三角形,则cosA=cosC=2,则讦=4cosc=5

技法2换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显

露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化，关键是构

造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再

研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、

复合函数解析式的求解等.

典例1（三角换元）已知x,yCR,满足x?+2xy+4y2=6,则z=x?+4y2的取值范围

是.

答案[4,12]

解析己知x2+2xy+4y'=6,

即（x+y>+（q）j（"）2,

故设x+y=

cosa-

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(sina),

=8-4sin

所以8-4-4,即z的取值范围是[4,12].

典例2（整体代换）函数y=sinx-cosx+sinxcosx,xe[0,n]的最小值是.

答案T

解析设t=sinx-cosx=H)

则sinxcosx=

因为x£[0,n]，所以x-

所以t£[-1,

222

所以y=t+=-（t-l）+i,当t=-l时，yBin=-l.

典例3（局部换元）设对一切实数x,不等式

4(a+l)2a(a+1)2

2aa+1

Xlog2+2xlog2+log24a2〉0恒成立，求a的取值范围.

2a

解析设log2a+1=t,则

4(a+D8(a+l)a+12a_(a+1)2

a2a2aa+14°2=21og

10g2=log2=3+log2=3-log2=3-t,Iog22

a+1

2a=-2t,则原不等式化为(3-t)xZ+2tx-2t〉0,它对一切实数x恒成立，所以

|3-t>0,(t<3,2a

L=4t2+8t(3-t)<0,解得或t>6,所以t4即

log2a+1o,所以

0<a+、l,解得0<a〈I.

技法3数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形:一是代

数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，以数为目的，比如应用

函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助数的精确性阐明形的某些

属性,即以数为手段，以形为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a•b=0,则(a-c)•(b-c)的最小值

为.

答案1-0

解析由于(a-c)•(b-c)=-(a+b)•c+1,因此求(a~c)•(b-c)的最小值等价于求

(a+b)•c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a•b=0,故

a，b,如图所示，a+b|=迎,|c|=l,当9=0时，(a+b)-c取得最大值近，故所求的最

小值为1-&

典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数，设

f(x)=min{2\x+2,10~x)(x^O),贝ijf(x)的最大值为.

(2)设函数g(x)=x?-2(xWR),

(g(x)+x+4,xvg(x),

f(x)M-x,x>g(x),则f(x)的值域是

答案…昌。1.

解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2：y=x+2,y=10-x的图象(如图)，观察图象可

2X(0<x<2),

•x+2(2<x<4),

10-x(x>4),

知f(x)=

/.f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

X2~2+x4-4,x<X2~2,

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(2)依题意知f(x)=JC-2-X,x>X-2,

卜2+X+2,X<-1或x>2,

即f(x)=lx2-2-x,-1<x<2,作出图象如下(加粗部分)，由图象可知f(x)

的值域是Mu….

典例3已知函数f