高中数学阶段验收评价一集合与常用逻辑用语新人教A版必修第一册

阶段验收评价（一）集合与常用逻辑用语

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合{x|—{x[—5或x>5},则）

A.{x|—5或x>—3}B.{x|—5<x<5}

C.{^r|—3<x<5}D.{x|x<—3或x>5}

解析：选A在数轴上表示集合忆N,如图所示，则#Ue{x|x<—5或x>—3}.

-5-305%

故选A.

2.命题“Vx£R,才+工20”的否定是（）

2121

A.V对R,x—<0B.3x£R,x—^+~<0

11

C.3x£R,x?—x+]N0D.Vx£R,x9—<0

解析：选B全称量词命题的否定是将全称量词换为存在量词，“大于或等于”变为“小

于”.故答案为xCR,

3.已知集合/={x|V—1=0},则下列式子表示正确的有（）

①{1}G4；②一1U/；③0Q/；@{1,—1}cA

A.4个B.3个

C.2个D.1个

解析：选C因为/={x|f—1=0}={—1,1},所以14集合与集合之间不能用属

于符号，所以①不正确；―1二4元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确；0=4

符合子集的定义，所以③正确；{—1,1}=/符合子集的定义，所以④正确，因此，正确的式

子有2个，故选C.

4.已知集合后{xezIlWxW就，若集合〃有4个子集，则正整数加=（）

A.1B.2C.3D.4

解析：选B根据题意，集合〃有4个子集，则〃中有2个元素，又由-{xdZ|lWx

W〃},其元素为大于等于1且小于等于小的全部整数，知/=2.故选B.

5.下列存在量词命题是假命题的是（）

A.存在xGQ,使2x—入3=。

B.存在xGR,使f=0

C.有的有理数没有倒数

D.存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角

解析：选D因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项D不正确.故

选D.

6.已知的三边长分别为a,b,c,则“△力以不是直角三角形”是“aZ+^Wc?”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析：选A“△4度不是直角三角形”，贝。所以充分条件成立.若d十

目丰孔则角。不为直角，有可能力或6是直角，所以必要条件不成立，“△力欧不是直角三

角形”是“吉+甘丰的充分不必要条件.故选A.

7.已知集合4={x|af+2x+a=0,aGR},若集合/有且仅有两个子集，则a的值是（）

A.1B.-1

C.0,1D.-1,0,1

解析：选D因为集合/有且仅有2个子集，所以/仅有一个元素，即方程ax?+2x+a

=0（aGR）仅有一个根.

①当a=0时，方程化为2x=0,此时/={0},符合题意.

②当a#0时，由4=2°—4•a•a=0,BPa=l,所以a=±l.止匕时/={一1}或/={1},

符合题意.

综上，a=0或a=±1.故选D.

8.设弘户是两个非空集合，定义〃与产的差集尸片{x|xG〃且"则加（尸乃

等于（）

A.PB.M

C.MCPD.J/UP

解析：选C由题意，作出Venn图，如图所示：可得尸（J/—9=〃1~12，故选C.

M-PM-(M-P)

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9.已知片{xdR|矛22g},N={a^N*|a2—9=0},其中正确的是（）

A.aGMB.短〃

C.aQMD.NCM=N

解析：选ABD由题意，A^{aeN*|a2-9=0}={3},即a=3.A中，根据元素与集合的

关系，可知是正确的；B中，根据集合与集合的关系，可知是正确的；C是元素与集合的关

系，应为所以不正确；由B是正确的，可知AT1［七”所以D也是正确的，故选A、B、

D.

10.下列不等式：①x<3；②0<x<2；③一3cx<0；④-3cx<3,其中，可以是/

<9的一个充分条件的序号为（）

A.①B.②

C.③D.@

解析：选BCD由于/<9即一3<x<3,①显然不能使一3<x<3一定成立，②③④满

足题意.故选B、C、D.

11.下列命题为真命题的是（）

A.3x<0,使得|x|>x

B.Vx20,都有|x|=x

C.已知集合/={x|x=2㈤，B={y|y=3^},则对于VAGN*,都有力ri£=0

D.mxdR,使得方程/+2了+5=0成立

解析：选AB对于Vx<0,都有3>0>x,故A为真命题；对于都有|x|=x,

故B为真命题；

由/={x|x=2#},B={y\y=3A},-GN*,

可知6G46G6,故C为假命题；

因为方程/+2矛+5=0的根的判别式/=—16<0,

所以方程无实根，故D为假命题.故选A、B.

12.下列说法中正确的是（）

k"ACB=B”是“6=。”的必要不充分条件

B.“x=3”的必要不充分条件是"一2x—3=0”

C.“〃是实数”的充分不必要条件是“小是有理数”

D.”|引=1”是“x=l”的充分条件

解析：选ABC由得住4所以“6=0”可推出“/C6=8"，反之不成立，A

选项正确；

解方程*—2x—3=0,得x=—1或x=3,

所以“x=3”的必要不充分条件是“Y—2x—3=0"，B选项正确；

“0是有理数”可以推出“〃是实数”，反之不一定成立，C选项正确；

解方程3=1,得*=±1,则，x|=l”是“x=l”的必要条件，D选项错误.故选A、

B、C.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.“a〈l”是“一元二次方程/—2x+a=0有实数解”的条件.（填“充分不

必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

解析：若一元二次方程V—2x+a=0有实数解，则/20,即4—4aM,即aWl,又“a〈l”

能推出“aWl”，但“aWl”不能推出“a〈l"，即“a〈l”是“一元二次方程2x+a=0有

实数解”的充分不必要条件.

答案：充分不必要

14.已知全集U={不大于20的素数}，若M,N为〃的两个子集,且满足(［村={3,5},

(［威C-{7,19},(［施n(［戒={2,17},则〃=,N=.

解析：法一：U={2,3,5,7,11,13,17,19),如图，所以M=

{3,5,11,13},N={7,11,13,19).

法二：因为〃C(［戒={3,5},所以5G〃且3(45阵”

又因为(［施C4{7,19},所以19©"且7建M19$〃

又因为(I或n(［戒={2,17),所以入("U加={2,17},

所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19).

答案：{3,5,11,13}{7,11,13,19)

15.设全集/{x||x|<4,且xdZ},S={—2,1,3},若代，Q必三S,则这样的集

合产共有个.

解析：1—3,-2,—1,0,1,2,3},-3—=宓...存在一个「渣,即有一个相应的

〃如当［/={—2,1,3}时，P={-3,-1,0,2}；当［/={—2,1}时，P={-3,-1,0,2,3}

等).由于S的子集共有8个，.•.户也有8个.

答案：8

16.给出下列四个命题：

①平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

②任何实数都有算术平方根；

③每个平面四边形的内角和都是360。；

④至少有一个整数n,使得方+〃为奇数.

其中假命题的序号为.

解析：①由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两

条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题.

②当a<0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题.

③任意平面四边形的内角和都是360°,是真命题.

④因为〃?+〃=〃(〃+1),当〃为奇数时，〃+1为偶数；当〃为偶数时，〃+1为奇数，

故〃5+1)一定是偶数，所以不存在一个整数〃，使得〃?+〃为奇数.故该命题为假命题.

答案：①②④

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)已知集合4{x|2x—4=0},集合后{x|x2—3x+m=0}.

(1)当/=2时，求〃n""U&

⑵当时，求实数小的值.

解：⑴由题意得Q{2},当/=2时，N={jr|/—3JT+2=0}={1,2},则〃C4⑵，M

UAM1,2}.

⑵因为〃n-〃，所以匹儿

因为人{2},所以2G1

所以2是关于x的方程f—3x+/=0的解，

即4-6+7=0,解得/=2.

18.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.

(1)有理数都是实数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(3)VJTG{JT|jr>0},x+一>2

x

解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是

全称量词命题，且为真命题.

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题.

(3)命题中含有全称量词“V”，是全称量词命题，当x=l时，x+^=2,故为假命题.

X

19.(12分)设集合Z={x|(才一3)(x—a)=0,a£R},B={x\(T—4)(T—1)=0}.

(1)若a=l时，求ZGSAUB；

(2)设。=/U6,若集合。的子集有8个，求实数a的取值集合.

解:(1)因为集合Z={x|(x—3)(x—a)=0,a£R},

B={x|(x—4)(xT)=0},

所以当a=l时，A={1,3},6={1,4},

所以ZG8={1},2U£={1,3,4}.

(2)因为集合。的子集有8个，所以集合。中有3个元素，而1,3,4£C,故实

数a的取值集合为{1,3,4}.

20.(12分)设a,b,c为△［理的三边，求证：方程*2+2朗+/?2=0与才2+25一方=。

有公共根的充要条件是N/=90。.

证明：必要性：设方程V+Zax+Z/nO与V+2cx—方=0有公共根xo,

则总+2a¥o+Z?2=0,AO+2CAO—Z?2=0.

/2

两式相减，得益=——，

c-a

将此式代入岔+2axo+62=O,

Z?2-\~c-a,故NZ=90°.

充分性：•.•//=90°,J.lj—a—c.@

将①代入方程£+2ax-\-B=0,

可得/-\~2ax~\-a—c—Q,即(x+a—c)(x+a+c)=0.

将①代入方程x?+2ex—/J—0,

可得£~\-2cx+c—a=Q,

即(x+c—a)(x+c+a)=0.

故两方程有公共根x=~(a+c).

・••方程x+2ax+l}=Q与x+2cx-l}=Q有公共根的充要条件是NZ=90°.

21.(12分)已知集合A—{x\x+2^—3<0},B={x\\x+a\<l].

(1)若〃=3,求力U氏

(2)设,：q：xGB,若夕是。成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

解：(1)由*+2x—3<0,解得一

即A—{x\—3<^r<l).

当a=3