2022-2023学年湖北省武昌区C组联盟九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．从1到9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（）A． B． C． D．2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：其中正确的有（）①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是A． B． C． D．4．在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（）A．k≤ B．k< C．k≥ D．k>5．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③若点、为函数图象上的两点，则；④关于的方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．点A(-2，1)关于原点对称的点A'的坐标是（）A．(2，1) B．(-2，-1) C．(-1，2) D．(2，-1)7．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是()A．x(26－2x)＝80 B．x(24－2x)＝80C．(x－1)(26－2x)＝80 D．x(25－2x)＝808．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为_____．12．如图，正方形的边长为，在边上分别取点，，在边上分别取点，使．．．．．依次规律继续下去，则正方形的面积为__________．13．已知为锐角，且，那么等于_____________．14．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是_______．15．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B=_____°．16．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是__________17．若是方程的根，则的值为__________．18．写出一个对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式______．三、解答题(共66分)19．（10分）在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是，与的位置关系是；（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).(3)如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若,,求四边形的面积.20．（6分）如图，抛物线过点和，点为线段上一个动点(点与点不重合)，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是的中点，则求点的坐标；（3）若以点为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标．21．（6分）已知在平面直角坐标系中,一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(1,m)和点B(－2,－1).（1）求k,b的值；（2）连结OA,OB,求△AOB的面积.22．（8分）已知：如图,在⊙O中,弦交于点,.求证：.23．（8分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；24．（8分）如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P,此时PA·PB=PC·PD（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P,上面的结论是否成立？请说明理由．（2）如图（3）,将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C,直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC=,PA=1时,阴影部分的面积．25．（10分）解方程：（x+3）（x﹣6）＝﹣1．26．（10分）问题呈现：如图1，在边长为1小的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点B、E，可得BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．问题解决：（1）直接写出图1中tanCPB的值为______；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AB与CD相交于点P，求cosCPB的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个，∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：.故选B.2、C【分析】根据二次函数的图象与性质，结合图象分别得出a，c，以及b2﹣4ac的符号进而求出答案．【详解】①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：﹣＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤由图象可得，当x＞﹣时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故正确的有3个．故选：C．【点睛】此题考查二次函数的一般式y＝ax2+bx+c的性质，熟记各字母对函数图象的决定意义是解题的关键.3、A【解析】∵二次函数的开口向下，∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大．∵二次函数的对称轴是，∴．故选A．4、D【解析】根据题意可以得到1-3k＜0，从而可以求得k的取值范围，本题得以解决．【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，∴1-3k＜0，解得，k＞，故选D．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．5、C【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴及与y轴交点情况可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据点离对称轴的远近可判断；④根据抛物线与直线交点个数可判断．【详解】由图象可知：开口向下，故，

抛物线与y轴交点在x轴上方，故＞0，

∵对称轴，即同号，

∴，

∴，故①正确；∵对称轴为，

∴，

∴，故②不正确；∵抛物线是轴对称图形，对称轴为，点关于对称轴为的对称点为当时，

此时y随的增大而减少，

∵30，

∴，故③错误；∵抛物线的顶点在第二象限，开口向下，与轴有两个交点，

∴抛物线与直线有两个交点，

∴关于的方程有两个不相等的实数根，所以④正确；综上：①④正确，共2个；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．6、D【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，即可求解．【详解】解：点A（-2，1）关于原点对称的点A'的坐标是（2，-1）．

故选：D．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7、A【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意可列出方程．【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意得：x（26-2x）=1．故选A．【点睛】本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程．8、D【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.【详解】因则点位于第四象限故选：D.【点睛】本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键.9、D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；故选：D．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10、D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断．【详解】A、是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出，根据平行线分线段成比例定理，求出，最后由三角形的面积的和差法求得．【详解】连接DC，设平行线间的距离为h，AD=2a，如图所示：∵，，∴S△DEF=S△DEA，又∵S△DEF=1，∴S△DEA=1，同理可得：，又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，∴，又∵平行线是一组等距的，AD=2a，∴，∴BD=3a，设C到AB的距离为k，∴ak，，∴，又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，∴．故答案为：．【点睛】本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．12、【分析】利用勾股定理可得A1B12=a2，即正方形A1B1C1D1的面积，同理可求出正方形A2B2C2D2的面积，得出规律即可得答案．【详解】∵正方形ABCD的边长为a，，∴A1B12=A1B2+BB12==a2，A1B1=a，∴正方形A1B1C1D1的面积为a2，∵，∴A2B22==()2a2，∴正方形A2B2C2D2的面积为()2a2，……∴正方形的面积为()na2，故答案为：()na2【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键．13、【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案．【详解】故答案为：．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14、x＜－1或x＞1【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），

∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞1，

故答案为：x＜－1或x＞1．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．15、35°【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，根据三角形内角与外角的关系可得∠B的大小．【详解】∵同弧所对的圆周角相等求得∠D=∠A=42°，且∠APD＝77°是三角形PBD外角，∴∠B=∠APD−∠D=35°，故答案为：35°．【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键明确三角形内角与外角的关系．16、【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．【详解】解：连接、，作于，等边三角形的边长是2，，等边三角形的面积是，正六边形的面积是：；故答案为：．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．17、1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m2−3m+1＝0，∴2m2−3m＝-1∴原式＝-3（2m2−3m）＋2019＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．18、答案不唯一（如）【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c为0，即可得到答案.【详解】解：∵对称轴是直线的抛物线可为：又∵抛物线经过原点，即C=0，∴对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式可以为：，故本题答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．三、解答题(共66分)19、（1）BP=CE；CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）.【解析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出，即可证得CE⊥AD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得，的长，再根据，进行计算即可得.【详解】（1）①BP=CE，理由如下：连接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；②CE⊥AD，∵菱形对角线平分对角，∴，∵△ABP≌△ACE，∴，∵，∴，∴，∴，∴CF⊥AD，即CE⊥AD；（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：连接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°＋∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE＋∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD，∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；(3)连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，∵∠ABC=60°，，∴∠ABO=30°，∴，BO=DO=3，∴BD=6，由(2)知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵，，∴，由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，∴，∵△APE是等边三角形，∴，，∵，∴，===，∴四边形ADPE的面积是.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.20、（1）；（2）；（3）P(,)或P(,)【分析】(1)把A点坐标和B点坐标代入，解方程组即可；

(2)用m可表示出P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点，可得到关于m的方程，可求得m的值，即可求得点的坐标；(3)用m可表示出NP,PM,AM,分当∠BNP=90°时和当∠NBP=90°时两种情况讨论即可.【详解】解：(1)抛物线经过点解得∴(2)由题意易得，直线的解析式为由，设，则，点是的中点，即∴，解得(舍)∴(3)．由，设，∴，，AM=3−m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴N点的纵坐标为2，

∴=2，

解得m=0(舍去)或m=，

∴P(,)；

当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=−2=，

∵∠NBP=90°，

∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BNC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

∴，

∴m2=，

解得m=0(舍去)或m=，

∴P(,),

综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点P的坐标为P(,)或P(,)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和应用，二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，线段的中点，勾股定理，相似三角形的判定及性质，运用了分类讨论思想．21、（1）k=2；b=1；（2）【解析】（1）把B(－2,－1)分别代入和即可求出k,b的值；（2）直线AB与x轴交于点C，求出点C的坐标，可得OC的长，再求出点A的坐标，然后根据求解即可.【详解】解：（1）把B(－2,－1)代入,解得,把B(－2,－1)代入,解得.（2）如图,直线AB与x轴交于点C,把y=0代入，得x=-1，则C点坐标为(－1,0),∴OC=1.把A(1,m)代入得,∴A点坐标为A(1,2)..【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图形上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，以及三角形的面积公式，运用数形结合的思想是解答本题的关键.22、证明见解析.【分析】由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，从而利用AAS可证明△ADE≌△CBE，继而可得出结论．【详解】证明:∵同弧所对的圆周角相等,在和中,【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出∠ADE=∠CBE．23、(1)1;(2)【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为个，根据题意得：解得：=1经检验：=1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况∴两次摸出都是红球的概率为：.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．24、（1）成立，理由见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接AD、BC，得到∠D=∠B，可证△PAD∽△PCB，即可求解；（2）根据（1）中的结论即可求解；（3）连接OC，根据,PC=,PA=1求出PB=3,AO=CO=1，PO=2利用,得到AOC为等边三角形，再分别求出，即可求解.【详解】解：（1）成立理由如