小学几何问题

几何问题

蝴蝶模型

请看这个GD边形

①削r*SiXS3=S2XS4

04CUJ3

②Si+S2_SdBDA_AOSI+S4_S&ACD_

S^S,=S^BDC='CO

S2+S3S^ACBBO

再看一个⑪边形:

②Si：Si=a2:b2

③S:S2：S3：S4=好：abh2ab

④梯形面积S的对应份数是（。+力）2

如果在题中没有蝴蝶一加辅助线构造

例1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形

的面积已知，求：⑴三角形aK的面积；：GC=?

B

例2、如图，长方形ABCD中,BE：EC=2：3,DF\FC=\：2,三角

形〃%的面积为2平方厘米，求长方形4?切的面积。

例3、如图，W=2,£=4,求梯形的面积

例4、在下图的正方形/版中，月是a1边的中点，4月与劭相交于尸

点，三角形应F的面积为1平方厘米，那么正方形/四面积是多少

平方厘米。

例5、如下图，梯形力灰力的"平行于切，对角线力C〃。交于。，

已知△/%与的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么

梯形力凡力的面积是多少平方厘米。

例6、已知45徵是平行四边形，BC\CE=3：2,三角形〃〃夕的面积

为6平方厘米。则阴影部分的面积是多少平方厘米？

例7、如图，在长方形中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB,求阴

一半模型：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图£:5?=a:。

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图以皿=工板；

反之，如果=，则可知直线A8平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特

殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边

形底相等，面积比等于它们的高之比.

1.四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面

积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。

试一试:

1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形

AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的

面积（如图）。

BC

2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部

分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。

3.如右图，ABCD是长方形，图中的数字是各部分的面积数，则图中

阴影部分的面积为

三角形：燕尾模型

在三角形ABC中，AD,BE,b相交于同一点。，那么$„:氏e=8。:短C.

【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形A8C的

面积是1,E是4c的中点，点。在BC上，且8D:£>C=1:2,4）与

BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.

A

E

B

【巩固】如图，已知8Q=OCEC=2AE,三角形ABC的面积是30,求

阴影部分面积.

【巩固】如图，三角形A8C的面积是200cmhE在AC上,

点。在8c上，且AE:EC=3:5,8O:OC=2:3,AD与BE交于点F.则

四边形DFEC的面积等于.

【巩固】如图，已知BQ=3DC,EC=2AE,BE与C£＞相交于点。，则△ABC

被分成的4部分面积各占△MC面积的几分之几？

A

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,AD与BE

相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少？

【巩固】如图，E在4C上，。在8C上，且

AE-.EC=2:3,BD-.DC=\,2,AD与BE交于息F.四边形£>"C的面积等于

22cm一则三角形ABC的面积.

三角形48c中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那

么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？

CDB

【巩固】如图，长方形A8CD的面积是2平方厘米，EC=2DE,尸是OG

的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？

如图所示，在四边形A8c。中，AB=3BE,AD=3AF,四边形AEOF的面

积是12,那么平行四边形/3ODC的面积为.

ABC。是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF

与CE交于G,则四边形AGCD的面积是平方厘米.

如图所示，在△A8C中，BE-.EC=3A,。是AE的中点，那么

AF.FC=.

A

【巩固】在MBC中，BD:DC=3:2,AE:EC=3:\,求OB:OE=?

【巩固】在AABC中，BD:DC=2AE:EC=\:3,

如右图，三角形ABC中,BD:DC=4.9,

如右图，△48C中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点,

AD与8G交于M,A尸与8G交于N,已知△4BM的面积比四边形/CGN的

面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，AA8C中，点Q是边AC的中

点，点E、尸是边8c的三等分点，若AA8C的面积为1,那么

四边形CDMF的面积是.

练习

1.已知图18T中，三角形ABC的面积为8平方

厘米，AE=ED,BD=|BC,求阴影部分的面积。

AE=ED,BC=3BD,S.c=30平方厘米。求阴影部分

的面积。

2.如图所示,DE4AE,BD=2DC,S△廿5平方厘米。求三角形ABC的

面积。

A

3、如图所示，如三角形ABC中，三角形BDE、DCE、ACD的面积分别

是90,30,28平方厘米。那么三角形ADE的面积是多少？

4.如图所示，在三角形ABC中，三角形ADE、DEF、EFG、FGH、CGH、

BCH的面积分别是5,7,11,15,20,12平方厘米。求三角形BGH

的面积。

鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之

比.

如图在△48C中，分别是上的点如图⑴(或。在BA的延长线

上，E在AC上)，

则5AABC:4八0£=(ABxAC):(ADxAE)

1、已知AB=3AE,AC=2AD,

△ABC=36,求S4AED。

2,已知AB=2AD,AC=2AE,SAABC=24,求SAAEDO

圆

（一）、图形变换

1、平移

（1）、点的移动（等积变形）

【例1】计算（图1）中的阴影部分面积。（单位：厘米）

1图1][图2]

【例2】如（图3）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形

的边长为7厘米,

（图3]（图4]

（2）、面的移动（平移法）

【例3】求（图5）中阴影部分的面积（单位：厘米）

4

[图

[图5]6]

【例4】求（图7）阴影部分的面积（单位：厘米）

3、旋转

【例5】求（图9）阴影部分的面积（单位：厘米）

[图9][图10]

【例6】如图（11）,三角形ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点,

AB=20厘米,

1图11]（图12]

试一试

1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：;

厘米）。

2、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【例7】求（图13）阴影部分的面积（单位：厘米）

【例8】求（图15）阴影部分的面积（单位：厘米）

（图15][图16]

3、对称

【例9】（图17）中扇形的半径6厘米，圆心角为45°,AC垂直于0B,

垂足为C,求阴影部分的面积是多少平方厘米?

（2）、等分（缩小法）[§]17]

【例10】求（图19）阴影部分的面积（单位：厘米）

——4A

[图19][图20]

试一试

1.在图中，正方形的面积是10厘米，求图中阴影部分的面积。

例11、在正方形ABCD中，AC=6厘米。求阴影部C

分的面积。

（二）、等量替换

1、条件替换

【例11】如（图21）所示，两个半径为2厘米的等圆，已知阴影的

BA

[图22]

2、问题替换

【例12】如（图22）所示，一个直径为4厘米的半圆，以A点为圆

心，把整个半圆按顺时针方向旋转45°,此时点B移到Bl求阴影部

分的面积。

（三）、从整体看问题

【例13】如（图23）所示，直角三角形ABC的三条边长分别为6厘

米、8厘米、10厘米，三个顶点A、B、C分别是三个等圆圆心，求阴

影部分的面积和是多少平方厘米?

【例14］如（图24）所示,一个长方形长40厘米，宽30厘米，A

为长方形内的任意一点，求阴影部分的面积。

（四）、灵活运用公式

【例15】在（图28）中，BC=20厘米，求直角梯形ABCD的面积

【例16】如（图29）,正方形的面积是30平方厘米，求圆的面积。

[图29][图30]

【例17】如（图30）阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。

[图29]

练习

1.•求阴影部分的面积。（单位:厘米）

2.、求阴影部分的面积。（单位:厘米）

例18：如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。

练习：

1、如图五个相同的圆的圆心连线构成一个边

长为10厘米的正五边形。求五边形内阴影部分的面积。（门=3.14）

2.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)

(25)

3o在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部

分的面积。

4.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

(15)

3.如图所示，0是小圆的圆心，C0垂直于AB,三角形

ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。

与圆周角有关的图形问题

如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积

是7平方厘米，ZABC=30°,求阴影部分的面积（得数保留两位

小数）。

试一试:

1、如图所示，三角形ABC的面积是31.2平

方厘米，圆的直径AC=6厘米，BD：DC=3：lo

求阴影部分的面积。

2、图所示如，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小

数）。

杂题：；20、如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影

部分乙面积大28平方厘

21、如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求

阴影部分的面积。

(32)

22、求阴影部分的面积。（单位:厘米）

(33)

23、求阴影部分的面积。（单位:厘米）

(34)

正方形和长方形

1、如图所示，在一个大正方形中，有两个带阴影的小正方形。较小

的一个带阴影的小正方形的面积与较大的一个带阴影的小正方形的

面积的比是。

五、周长的变化

1、将一个平行四边形拉成一个长方形，它的周长和面积发生了什么

变化？

2、把两个完全相同的长方形拼在一起，原来长方形的长是8厘米,

宽是4厘米。想一想有几种拼法，

(1)如果把它们拼成一个长方形，拼成的长方形周长是多少?

(2)如果把它们拼成一个正方形，周长是多少？

3、下图的周长是()厘米.

4、右图“凸”字的周长是()厘米.

5P

5、下图是一座楼房的平面图，图中用不同字母表示长度不同的各条边.

已知b=50米,c=30米,g=10米，这座楼房平面的周长是()米.

6、下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是

400平方厘米，那么它的周长是（）厘米.

7、下图“E”字周长是（）厘米.

六、体积与表面积的问题

1把两个相同的正方体拼在一起成一个长方体,这个长方体的表面积

是两个正方体表面积之和的分之.

2一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱.用三根铁丝捆起来（如

右图），打结处要用1分米铁丝.这根铁丝总长至少为分米.

4

3、一个长方体的底面、侧面和前面的面积分别是12平方厘米、8平

方厘米和6平方厘米.那么它的体积是.

4、将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱

组成一个物体.这个物体的表面积是.（万=3.14）

5、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成

两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大.这时表面积之和是

平方厘米.

6、一个圆柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5厘米,玻璃内侧的底面积

是72平方厘米,在这个杯中放进棱长6厘米的正方体的铁块后，水面

没有淹没铁块,这时水面高厘米.

7、一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这

个正方体棱长的总和是.

9、一个边长为4分米的正方形，以它的一条边为轴，把正方形旋转一

周后，得到一个，这个形体的体积是

10、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方

体,这个立方体的表面积是______平方厘米.

11、一个棱长为10cm的正方体，如果在它的各面的中间的正

中位置打一个深4cm,长、宽均为2cm的长方华W

则打孔以后的正方体的表面积=cm2,□

12、将一个长8厘米宽6厘米长方形4个角各剪去一个边长1厘米的

正方形，然后折成一个无盖长方体。求长方体表面积和体积？

13、在一个棱长8厘米的正方体玻璃缸中，盛有一定深度的水。将棱

长4厘米正方体铁块放入缸中

(1)若缸中水深6厘米，则水面上升多少厘米？

(2)若缸中水深2厘米，则水面上升多少厘米？

(3)