高中数学选修4知识点总结

平行线等分线段定理

平行线等分线段正翎:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上

截得的线段也相等。

推理】经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理可经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理卜三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

HI：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质

相似三角形的河雨:

获:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比

值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，

三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形

相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例,两三角形相似。

预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角

形与三角形相似。

判定定理力:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理也对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比

例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角

形相似。

判定定理司对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

酒如果•条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这

条直线平行于三角形的第三边。

定理：|（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

阿理匚］如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的-痢:

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理|：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

圆周定理

圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心号定理（圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1|：同弧或等弧所对的圆周角相等：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论可半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理

定理1|:圆的内接四边形的对角互补。

定理2|：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

丽:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理

切线区性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1|：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论》经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质

弦定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段

相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理卜从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积

相等。

切割线定理卜从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

的比例中项:

切线长定理|：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分

两条切线的夹角。

高中数学选修4・5知识点

1、不等式的基本性质

①（对称性）a>h<^>h>a

②（传递性）a>b.b>ca>c

③（可加性）a>b=a+c>b+c

（同向可加性）a>b、c>d=a+b+d

（异向可减性）a>bfc<d=a-c>b-d

④（可积性）a>b,c>。nac>be

a>b,c<。nac<be

⑤（同向正数可乘性）a>b>0,c>d>0nac>bd

（异向正数可除性）“>b>o,o<c<d="2

cd

⑥（平方法则）a>b>0=>an>bn（neN,RH>1）

⑦（开方法则）a>b>0=>^[a>^（neN,S.n>\）

⑧（倒数法则）a>h>0=>—<—;a<b<0=>—>—

abab

2、几个重要不等式

®a2+b2>2ab（a,beH）,（当且仅当a=/?时取"="号）.变形公式：a2w"+”.

②（基本不等式）彳2J拓（a,bwR+）,（当且仅当a=b时取到等号）.

变形公式：a+b>1-Jabab<

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）,要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

③乂三个正数的算术一几何平均不等式）竺§±£>五后（a、bceR+）（当且仅当

a=/?=c时取到等号）.

@a2+h2+c2>ab+be+ca（^a,bwR）

（当且仅当a=b=c时取到等号）.

⑤/+/+C323abe（a>O,b>O,c〉O）

（当且仅当a=6=c时取到等号）.

⑥若幽>0,-+->2（当仅当a=b时取等号）

ab

bZ7

若期<0,-+-<-2（当仅当"b时取等号）

ab

…bb+m〔Q+〃az....,八八、

⑦一<-----<1<-------<一,（其中Q>Z?>0,AW>0n>0）

aa+mh-\-nh

规律：小于1同加则变大，大T1同加则变小.

⑧当心0或|.r|>a<^x2>a2<^x<-ax>a\

|x|<ax1<a2-a<x<a,

⑨绝对值三角不等式—例<\a+b\<\a\+\b\.

3、几个著名不等式

①平均不等式：2<y[^b<—

,（a,be/T,当且仅当a=%时取"="

a-'+b~'2

号）.

（即调和平均《几何平均《算术平均4平方平均）.

变形公式：

22

（a+b^a+b2,2（a+hf

ab<----<-------;a+0>--------.

[2）22

②幕平均不等式：

QJ+出~+•••+《-N—（q+a,+...+a〃）2.

n-

③二.维形式的一:角不等式：

2

旧+yj++y；>Ja—々）2+（%——）（玉，>'i,x2,y2^R）.

④二维形式的柯西不等式：

（a2+fe2）（c24-rf2）>（ac+bd*（a,b,c,dGR）.当且仅当ad=bc时,等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

（q~+a，+^2）（^|~+仇~+0~）-+a3b3）2,

⑥一般形式的柯西不等式：

（a「++...+a：）（bj+b；+...+b；）N（。占+a力2+…+生瓦）~.

⑦向量形式的柯西不等式：

设:，为是两个向量,则K了卜同网,当且仅当~p是零向量，或存在实数女,使£=

时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设q<a2<...<an,bl<b2<...<bn为两组实数.qq,...,。”是仇也，…也的任一排列，

则a也i+a2b,i+...+anbt<qq+a2c2+...+ancn<她+a2b2+...+anbn.（反序和<乱序

和《顺序和），当且仅当％=々或仇=打=.“="时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例：凸函数、四函数）

若定义在某区间上的函数/（x）,对于定义域中任意两点占了2（外片吃）,有

f卢+>/（西）+/（占）或「卢+。/区）+/（七）则称f（x）为凸（或凹）函数.

2222

4、不等式证明的儿种常用方法

常用方法有：比较法（作差,作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

131

①舍去或加上一些项，如（a+5）2+]>（a+5）2；

②将分子或分母放大（缩小），

,11112212

如—<-------->-----------=---------n—<-----------

k*2—k2k(A+l)'2y[k&+&4k+

>—,—(keN*,k>Y)等.

y/k+4k+\

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2+hx+c>0(或<0)

(aN0,△=/—4ac>0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根募'

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,

写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

学〉0o/(x)-g(x)〉0

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不钟式目淳"

⑴Jf(x)>a(a>0)o,")

,——/(x)>0

(2)J/(x)<a(a>0)={

fW<a

/U)>0

/W>0

⑶J/(x)〉g(x)=,g(x)N0

g(x)<0

/U)>0

(4)J/(X)<g(x)o<g(x)〉0

J(x)<[g(x)]

/W>0

⑸J/(X)>，g(x)O.g(x)N0

J(x)〉g(x)

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当a〉1时，af(x)>ag(x)=/(x)>g(x)

⑵当0<a<1时，al{x}>as[x)<=>f(x)<g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

7«>o

⑴当a>1时，k)g/(x)>logg(x)o<g(x)>0

f(x)>g(x)

/W>0

⑵当0<a<1时，k>g/(x)>logg(x)o<g(x)>0

/(x)<g(x)

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：一

a(a>0)

⑴定义法：14=，

-a(a<0)

⑵平方法：|/(x)|w|g(x)|Q/2(x)<g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：

®|x|<6Z<=>-a<x<a(a>0);

②卜怛。=xNa或x〈-a(a20);

③|/(x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)>0

©|/(A)|>g(x)Of(x)>g(x)或"X)<-g(x)(g(x)>0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含仃两个(或两个以上)鼠t值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不笨式的解法

解形如。/+4；+。>0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标

准有：

⑴讨论。与0的大小；

⑵讨论△与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式。/+儿；+，>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当。=0时=>b=0,c>0;

_a>0

②当a/0时=>4

A<0.

⑵不等式办2+儿；+。<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a=0时=>6=0,c<0;

_[a<0

②当awO时L=>《

A<0.

⑶/（x）<a恒成立<=>/（x）max<a;

fM<a恒成立o/（K口水《。；

⑷fW>a恒成立<=>/（x）min>a-,

f（x）>a恒成立ofWmin>a.

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C后所得的实数的

符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x。,%）（如原点），

由AX（）+Bya+C的正负即可判断出Ax+为+C>0（或<0）表示直线哪一侧的平面区

域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据Ax+By+C>0（或<0）,观察8的符号与不等式开口的符号，若同号，

4犬+为+。>0（或<0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.

即：同号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数z=Ax+By（A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数z=Ax+8y(x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,

则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组

对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线/o：Ax+8y=O,平移直线

10(据可行域，将直线平行移动)确定最优解；第三步，求出最优解(X,)，)：第四步，将

最优解(x,y)代入目标函数z=Ax+By即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：y=-4x+Z,三为直线的纵截距.

BBB

①若B>0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，£取得最大

值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B<0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小

值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.

⑷常见的FI标函数的类型：

①“截距”型：z=Ax+By,

②“斜率”型：或z=T：

xx-a

③“距离”型：Z=/+/或z=y]x2+y2;

z=(x-a)2+(y-b)2^.z=+(y-b)?.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问

题简单化.

2013年高考数学压轴题训练一

注:试题均为历年高考试题和模拟试题，精选其中有代表

性的题目。非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及

冲刺使用。

1.（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1,2）,它们在x轴上有共同焦点，

椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（I）求这三条曲线的方程；

（II）已知动直线/过点P（3,0）,交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线/'

被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出/'的方程；若不存在，说明理由.

解（I）设抛物线方程为y2=2Px（p>0）,将M（1,2）代入方程得p=2

抛物线方程为：y2=4x.....................................（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为尸（-1,0）「工（1，0），c=l..............（2分）

222

对于椭圆，2a=\MFt\+\MF2\=^/(1+1)+2+5/(1-1)+4=2+272

a=1+V2

。2=(1+码2=3+20

（4分）

/="-/=2+2&

椭圆方程为:3+2啰+2+2加

对于双曲线，2优=帧用一附矶=2&-2

a'=41-\

a"=3-2后

h'2=c'2-a'2=242-2（6分）

双曲线方程为:

3-2播2-V2-2

（11）设42的中点为（7,/'的方程为：x=a,以4P为直径的圆交/'于。,E两点，DE

中点为，

士+3X

令C（7分）

2'E

■■■℃=；"=：-3）2+。

|叫=苫^-a=!|（x,-2«）+3|

•••\DH\2=\DC[-\CHf=9阳一歹+城卜；[（%-2.）+3于

=（a-2）Xj-a2+3a

当眸为珥加「=-4+6=2...............（12分）

怛珥箴|。〃|=2亚

此时的方程为：x=2

2.（14分）已知正项数列｛%｝中，q=6,点4（4,用二）在抛物线y2=x+l上；数

列｛2｝中，点纥（〃也）在过点（0,1）,以方向向量为（1,2）的直线上.

（I）求数列｛5｝,也｝的通项公式;

（的奇数）

(II)若/(〃)=<"问是否存在keN,使〃k+27）=4〃k）成立，若

（的偶数）

存在，求出k值；若不存在，说明理由;

rt+lIt

（HI）对任意正整数”,不等式7——、/、/——T-/40成立，求正数。的

取值范围.

解：（I）将点41n代入V=X+1中得

〃"+1=〃〃+14+1一°〃=d=\

an=^+(n-1)-1=n+5...............................................................(4分)

直线/:y=2x+1,/.hn=2n4-1

n+5,（的奇数）

(H)/(〃)=,（的偶数）…（5分）

2n+1,

当的偶数时，为布数，•・・+27）=4〃%）

・•・k+27+5=4（2k+l）,k=4

当的奇数时，为偶数，................（8分）

3s

2代畲汨）+1=4.+5）,k=Q*（）

综上，存在唯一的脩含条件。

an

<0

dn-2+a1t

记/*(〃)=

IbJ

2〃+4

/(n+l)rn

/(«)J2"+5Ib,i+])12n+52〃+3J2n+5-J2/+3

d4n2+16及+161

二/>1

d4n2+16〃+15

J用递脸“〃),“〃)

〃叽,=〃1)=+T=*

yjJJ1。

os小

15

(14分)

3.(本小题满分12分)将圆O:x?+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标

不变)，

得到曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设。为坐标原点，过点F(V3,0)的直线I与C交于A、B两点，N为线段AB的

中点，

延长线段ON交C于点E.

求证：瓦=2而的充要条件是IAB占3.

X=X

解：(1)设点P(x',y'),点M的坐标为(x,y),由题意可知4,'...........(2

[y=2y,

分)

x2

又x"+y'2=4,x2+4y2=4=一+y2=1.

X2A

所以，点M的轨迹C的方程为彳+y2=l.（4分）

（2）设点A（X1,yj,B（X2,丫2）,点N的坐标为（X。，y（））,

㈠当直线I与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O,

不合题意,舍去；...........（5分）

㈡设直线I：x=my+V3,

由卜：my：有消去X,

[x+4y=4

得（m?+4）y2+2V3my-1=0...................①

V3m

y°（6分）

m?+4'

V3m2V3m2+4734百

•♦x0=my0+^3=----------F---------------=---------

m2+4m2+4m2+4

4J3_Vfm_

...点N的坐标为（W—,（8分）

m+4m2+4

①若丽=2而，坐标为，则点E的为（卫£,一不迎），由点E在曲线C上，

m+4m+4

得一12m,=1,即—4m?-32=0,/.m2=8（m2=-4舍去）.

（m2+4）2（m2+4）2

+.工口小,日..712m2+4m2+1647m2+1,

由方程①得ly,-y1=-----------------------=—$-------=1,

2m~+4m“+4

又IX]-X21=1my[-my21=1m（yj-y2）I,

2

/.IABI=Vm4-11Y|—y21=3.....................（10分）

②若IABl=3,由①得出=+1）=3,；.m2=8

m+4

nk行

・••点N的坐标为（口，±—）,射线ON方程为：y=±—x（x>0）,

362

273

T（x〉。）X=------

3厂.♦•点E的坐标为

由《解得,土

*22〜屉

x+4y=4V=±——

3

/.OE=20N.

综上，OE=20N的充要条件是IABI=3.（12分）

4.(本小题满分14分)已知函数f(x)=---------(x€R).

4X+2

(1)试证函数f(x)的图象关于点(；，；)对称；

(2)若数列｛aj的通项公式为a。=f(2)(meN+，n=l,2「、m),求数列｛aj

m

的前m项和Sn,;

设

⑶设数列｛3｝满足：btbn+1=b：+bn

3

11I

T“--------+---------+…+---------

bj+1b）+lb[1+l

若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n,Sn<T”恒成立，试求m的最大值.

解：(1)设点P°(x°,y0)是函数f(x)的图象上任意一点，其关于点(g,'的对称点为

P（x,y）.

X+x_1

0x=1—Xo,

2-2

由，得41

y+y0.1y=/_y°・

2-4

所以，点P的坐标为P(l-X,1-y).

o0（2分）

由点Po(x0,y°)在函数f(x)的图象上，得y()=F-------

4°+2

X

X。)据4°4X°

+2~4+2-4x°-2（4x"+2）’

111...点P(l—x°,；-y0)在函数f(x)的图象上.

-

2y（）24"+22（4X°+2）'

...函数f(x)的图象关于点(:，；)对称.............(4分)

1kk1

(2)由(1)可知，f(x)+f(l-x)=-,所以f(一)+f(l——)=一(l<k<m-l),

2mm2

口门k、“m-k、11，八八、

即其一)+f()=3,a+a_........(6分)

mm2kmk2

由Sm=ai+a2+a3+，，，+am-l+am>............①

=a+a+a

得Snm-lm-2m-3+…+&i+@皿，............②

,3“,Im-1小1ml

由①+②，得2sm=(m-1)X-+2am+2x^=3一2，

2ZoZo

/.Sm=^(3m-1)............(8分)

⑶产《+>='(>+1),...........③

.•.对任意的neN+，bn>0............④

1_L即„_L

由③、④，得一

bn+1bn(bn+Db„bn+lbn+lb„bn+l

1

(10

n+1

分）

v

bn+l-bn=b;>0,bn+l>bn数列｛>｝是单调递增数列.

关于n递增.当nN2,且ncN*时，Tn>T2.

..1114,44八52

•Lb]=—,bL=—Z(—F11X)=­,b=—(—F1)=—,

1322339339981

175

TNT,=3--=—(12分)

112b,52

75175OQQA

,Sm<仪，即」-(3m-l)〈上，；.m<m=6W，；.m的最大值为6.(14

m5212523939

分)

5.（12分）E、/是椭圆/+2y2=4的左、右焦点，/是椭圆的右准线，点Pe/,过点

E的直线交椭圆于A、8两点.

（1）当AELAF时，求AAEF的面积;

（2）当网=3时,求MH+忸尸|的大小;

（3）求NEPF的最大值.

m+〃=4=Lmi=2

解（1）42.20=S^EF

m+n=82

\AE\+\AF\=4.............

(2)因n48+AF+BF=8,

\BE\+\BF\^41..........

则|A尸|+忸户］=5.

(1)设尸(28/)(，>0)tanZEPF=tan(NEPM-ZFPM)

372夜、八3五乂五、2"26./也

=(-------)-(1+———)=-s—=——T^—

ttt~r+6t+6t3

当》=#时，tanZEPF=—^ZEPF=30°

3

12V2

6.（14分）已知数列｛a“｝中，a,=-,当〃22时，其前〃项和S“满足%=—」

32s“一1

(2)求S”的表达式及limM•的值；

n〃T8C2

(3)求数列｛〃“｝的通项公式；

(4)设i=—j=1——/1，求证：当"EN且〃22时，an<hn.

7(2^177(2^F

2S,211

解(1)an=Sn-Sn—lc。—i^Snn—1.-5n=2Sn5n-l,-C----C--=2(7v:>2)7

□”On""一1

所以I」-1是等差数列.则s“]

IsJ2/i+1

a2

lrim—nv=lVim---2--=-2.

。0

S；"T82Sn~121imSw-l

1_-2

(2)当〃22时，a=S-S.=----

n"n"n2n+l2n—\4n2—1

综上，a

n2

(〃N2)

.l-4/i2

1

(3)令a=/,b=—f=r,当〃22时，^0<b<a<(1)

2n-l2/2+1耳

法1：等价于求证」一>---1----1——.

2〃一12“+lJ(2/I+1)3

当〃22时，0<—,<—钎、令/(X)=x2—9,。<xW—产,

V2n-1也''V3

33

/'(x)=2x-3x2=2x(1--x)>2x(1--x

则在（0,；］递增.

1

又0<

J2/+1

即

所内击”1

223

法(2)a—bn=----------(■,—————/1=)-b—a—(h，—a)