高中数学：1-4-2 充要条件（分层作业）

1.4.2充要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•江西•高一期末）“"让-1”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据“2-1”和“加2-2”的逻辑推理关系,即可判断答案.

【详解】由加之-1可以推出“2,但反之不成立，故"mN-l”是“加之-2”的充分不必要条件，故选:A

2.（2022•全国•高一）设尸：x<3,q：-l<x<3,则p是q成立的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.

【详解】由x<3不能推出例如x=-2,

但必'有x<3,

所以。：x<3是4：-lvx<3的必要不充分条件.

故选：B.

3.（2021•安徽•泾县中学高一阶段练习）"a>b>0”是&-扬”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由庙工>八-亚得匹工+&>也,两边平方化简即可得结果.

【详解】由

yja-b>\fa->Jb<^>\ja-b+\[b>y/ci(4a-b+>fb^>(右)

椭0腿0

〔2师用>0=">6>°’

a-b+2yl^a-b)+b>a

由此可知是血”的充要条件.

故选：C.

4.（2022•天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x>y,q：x?>）/，则?是g成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不必要也不充分条件

【答案】D

【分析】分别判断「=4与40P是否成立，进而判断答案.

【详解】先验证P=q,若x=0,y=-l,显然满足x>y,但不满足V>y2,所以不成立：

再验证4=P，若x=-l,y=0,显然满足x2>y2,但不满足工>儿所以不成立.

故选：D.

二、多选题

5.（2021•湖南・金海学校高一期中）对于任意实数a、b、c,下列命题是真命题的是（）

A.“a=6”是“〃、=儿”的充要条件B.“a+5是无理数”是为是无理数”的充要条件

C.7””是"/>匕2，，的充分不必要条件D."a<5”是“a<3”的必要不充分条件

【答案】BD

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断

【详解】解："a=6''="ac=6c”为真命题，但当c=0时，"ac=bc"="a=»'为假命题，故“a=A”是

“四=历”的充分不必要条件，故A为假命题；

“a+5是无理数”=>%是无理数''为真命题，“。是无理数”n"a+5是无理数”也为真命题，故"a+5是无理

数''是％是无理数”的充耍条件，故B为真命题；

>/”为假命题，>/”="〃>。，'也为假命题，故是“/>〃”的既不充分也不必要

条件，故C为假命题；

因为由a<3能得出。<5,而由。<5得a<3不一定成立，故“a<5”是“a<3”的必要条件，故D为真命题.

故选：BD.

6.（2021.福建省福州第八中学高一期中）下列结论中正确的是（）

A.“寸>4”是“x<-2”的充分不必要条件

B.在一ABC中，“AB2+AC2=BC2是"/.ABC为直角三角形“的充要条件”

C.若a,beR,贝广/十从4（），，是2,。不全为0”的充要条件

D.“x为无理数”是“炉为无理数”的必要不充分条件

【答案】CD

【分析】根据充分性和必要性的定义对各个选项逐一分析即可得出答案.

【详解】解：对于A,若丁>4,贝卜>2或x<-2,所以“丁>4”是“x<-2”的必要不充分条件，故A错误；

对于B,在一中，若AB2+AC2=BC，则一ABC为直角三角形，反之，若一ABC为直角三角形，直角

为ZB,NC时，AB'AC?="2不成立，所以“AB、AC?=3（户是二ABC为直角三角形"的充分不必要条件，

故B错误；

对于C,若/+62W0,则a,匕不全为0,若。，。不全为0,则Y+〃xO，所以+从x0”是“q,人不全

为0”的充要条件，故C正确；

对于D,当x为无理数，若*=应，则x?=2为有理数，若尤2为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”

是“V为无理数”的必要不充分条件，故D正确.

故选：CD.

7.（2021・江苏・金湖中学高一期中）对任意实数a,b,c,给出下列命题中正确的是（）

A.“a=是"ac=be”的既不充分也不必要条件

B.“a=b”是％2=从，，的充分不必要条件

。“。>"是"2“>2”'的充要条件

D.“a>b”是“右>场”的必要不充分条件

【答案】BCD

【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】A,由“a=b”可得"ac=bc"，反之，由“ac=A”不一定得到“a=b”，

故“a=b”是“％=%”的既充分也不必要条件，故A错误；

B,由“a=夕’可得"（？=/，，,反之，72="，，可得"0=幼，，,

所以“a=b”是“a?=从”的充分不必要条件,故B正确；

C,由“a>b”由指数函数的单调性可得“2〃>2"'，反之也成立，

故“a>b”是“2">2"”的充要条件，故C正确;

D,若“a>b"，当其中一个为负数时，则“右>狗”不成立，

反之，若“右>血”，可得“a>b”，

所以“a>b”是“&>〃”的必要不充分条件，故D正确.

故选：BCD

8.(2021.山东临沂.高一期中)下列选项中，。是9的充要条件的是()

A.P：xy>0,q-x>0,y>0

B.P：A<JB=A,q：BcA

c.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等

D.P：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分

【答案】BC

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：对于A：由孙>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故尸不是q的充要条件，故A错误；

对于B：由Au8=A,则B=A,若8=A则AU8=A,故P是。的充要条件，故B正确；

对于C：三角形是等腰三角形。三角形存在两角相等，故尸是9的充要条件，故C正确；

对于D：四边形的对角线互相垂直且平分=四边形为菱形，故P不是4的充耍条件，故D错误；

故选：BC

三、填空题

9.(2021・全国•高一课时练习)A>4,从：5是一次函数y=(A—4)x+Z)-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于

正半轴的条件.

【答案】充要

【分析】令户0,尸0,可得函数图象与y轴、x轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可得出答案.

【详解】时,fc-4>0,X5时,b-5<0,

二直线y=(—4)x+〃-5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；

y=(Z—4)x+(6—5)与y轴交于(0,6—5)与x轴交于，

由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知

仿-5<0u

&<5

故《>4,Z?<5是一"次函数y=(A—4)x+4>-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件,

故答案为：充要.

10.(2021.江苏•高一单元测试)在下列命题中，试判断。是4的什么条件.

(1)p：A=8,q:AB=A,则。是q条件；

(2)p：a=b,q:同=可，贝!］。是q条件；

（3）P：四边形的对角线相等，平四边形是平行四边形.则p是q条件.

【答案】充要充分不必要既不充分也不必要

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：（1）因为“AuBnAc3=A”是真命题，==也是真命题，

所以P是4的充要条件；

（2）因为“a=6n|。|=|同”是真命题,"向=网=>a=6”是假命题，如a=-l,6=1,满足=闷，但是a1b-

所以P是9的充分不必要条件：

（3）因为“四边形的对角线相等n四边形是平行四边形”是假命题，

“四边形是平行四边形n四边形的对角线相等”也是假命题，

所以。是4的既不充分也不必要条件.

故答案为：充要；充分不必要；既不充分也不必要

11.（2021•江苏•高一课时练习）根据下列所给的各组p,q填空：

①p：a<0,q：Ia|>0；

②小两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等；

③p：a=h,q：a2=b2^

④p：二次函数y=Y+Z的图象过坐标原点，q-.k=0；

⑤而两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行；

⑥P：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等.

其中，p是q必要条件的有;0是q充分条件的有;p是q充要条件的有.

（填写序号）

【答案】②④⑤⑥①②③④⑤②④⑤

【分析】根据充分条件、必要条件和充要条件的定义，对命题进行逻辑推理，进而得到答案.

【详解】对①，易知由?能得q,但是，若。>0,则由q不能得p,故p是q充分不必要条件；

时②，根据三角形全等定理可知，?是充要条件；

对③，由p能得g,但是，若a=-b,则由g不能得p,故p是q充分不必要条件；

对④，易知?是q充要条件；

对⑤，由直线平行定理可知，〃是q充要条件；

对⑥，由三角形的全等定理可知，由p不能得“，但由4可以得p,故p是q必要不充分条件.

故答案为：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤

12.(2021・全国•高一课时练习)在下列各题中，用符号"廿、或一'填空:

(1)x=a=()；

(2)x是能被4整除的自然数A•是偶数；

(3)已知p,geZ,p+q是偶数是偶数；

(4)甲是上海人甲是中国人；

(5)时+网=卜+4ab>0.

【答案】n==nu

【分析】根据命题之间的关系逐一分析判断即可得出答案.

【详解】解：(1)当x=a时，(x-a)(x-A)(x-c)=(),

当(x-a)(x-Z?)(x-c)=O,x=asgx=bsS<^=c,

故x=a=>b)(x—c)=0；

(2)当x是能被4整除的自然数，则x是偶数，

当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数，

故当x是能被4整除的自然数nx是偶数；

(3)若4是偶数，则〃国都是奇数或都是偶数，

当PM都是奇数时，都是奇数，则是偶数，

当P，4都是偶数时，/国3都是偶数，则p3-g3是偶数，

所以P+夕是偶数，则是偶数，

若P-3是偶数，则p3M3都是奇数或加4、都是偶数，

当/,小都是奇数时，，国都是奇数，则P+4是偶数，

当加国3都是偶数时，，国都是偶数，则P+4是偶数，

所以p3-d是偶数，则4是偶数，

所以〃+夕是偶数Op3—43是偶数；

(4)若甲是上海人，则甲是中国人，

若甲是中国人，则甲不一定是上海人，

所以甲是上海人n甲是中国人;

(5)若向+|4=|“+耳，当0=人=0时，等式成立,

则同+川=卜+4，曲>0不定成立,

若他>0,则。>()/>()或a<0,6<0,

则向+同=k+4,

所以时+同=卜+目u彷>0.

故答案为：(1)=＞；(2)=＞；(3)=；(4)n；(5)u.

13.(2021•全国•高一课时练习)设集合4=｛耳2%2-以+人=0/€/?｝,B=^x\hx2+(a+2)x+h=0,xe,

则A8=｛；｝的充要条件是.

12

【答案】〃=-：,b=~

33

【分析】因为AB=所以g是方程2/一奴+。=。的根，也是方程6£+(a+2)x+b=0的根，通过代

入3得到关于0，b的方程组，解出“=匕=-|,再说明当°=一"和匕=-|时，能够满足A「B=｛g｝.

【详解】由A8=｛；｝,可知;eA,geB,于是

1

-QX—F/?=0,a=——

23

解得，

b=2

+(〃+2)X/+b=0.

3

此时4=卜1；卜3=卜；｝,符合AB=

故AB=｛g｝的充要条件是“=b=~

12

故答案为：o―――,b———

33

四、解答题

14.(2021•江苏•高一课时练习)求证：一元二次方程N+px+〃=0有两个异号实数根的充要条件是〃<().

【分析】充分性：根据4<0,得出/=炉-4g>0,即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明.

【详解】证明①充分性：

因为qVO,所以方程x2+px+q=0的/=/72—4q>0,

故方程/+px+q=O有两个不相等的实数根.

设方程的两根为X/.X2.

因为WX2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实数根.

②必要性：

因为方程x2+px+q=0有两个异号实数根，

设两根为X/.X2,所以X/«2<0.

因为x〃X2=g,所以qVO.

由①②，命题得证.

15.（2021•全国♦高一专题练习）指出下列命题中，P是4的什么条件：

（1）p：x=1,q:国=1；

（2）P：两直线平行，*同位角相等；

（3）P：点在角的平分线上，平点到角的两边所在直线的距离相等；

（4）。：斜边相等，4：两直角三角形全等.

【答案】（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件.

【分析】（1）利用集合的包含关系判断可得出结论；

（2）利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论：

（3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论；

（4）利用全等三角形可判断可得出结论.

【详解】（1）由可=1可得x=±l,因为｛1｝£｛一1』｝,因此，P是0的充分不必要条件；

（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，

因此，。是4的充要条件；

（3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，

反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，

故p是q的充分不必要条件；

（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为夜、五、2的直角三角形和三边边长分别为1、百、

2的直角三角形，这两个三角形不全等，

另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等.

因此，P是4的必要不充分条件.

16.（2021.河南.范县第一中学高一阶段练习）判断下列。是9的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、

“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）

（1）P：xy>\；q：x>l且y>l.

（2）〃：x是整数；q：n是正整数.

（3）〃：«>0；q：函数产没有最大值.

【答案】（1）必要不充分条件；（2）既不充分也不必要条件；（3）充分不必要条件

【分析】（1）、取x=4,y=g判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论；

（2）、取40判断充分性是否成立，取x、2判断必要性是否成立，得出结论；

（3）、若。>0,则抛物线y=ar2+x开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数

y=a/+x没有最大值，得出。的范围判断必要性是否成立，得出结论：

（1）若x=4,y=g,满足孙=2>1,所以充分性不成立；若x>l,y>l,则孙>1,所以必要性成立；

所以。是4的必要不充分条件：

（2）取x=0,满足x是整数，但Y=0不是正整数，所以充分性不成立；

取丁=2,满足丁=2是正整数，但x=±及不是整数，所以必要性不成立，

所以夕是夕的既不充分也不必要条件；

（3）若”>0,则抛物线y=开口向匕函数y=a%2+x没有最大值，所以充分性成立；

若函数>=如2+》没有最大值，则”20,所以必要性不成立；所以。是0的充分不必要条件；

17.（2021.全国•高一课时练习）设a,b,ceR.求证：a>0,b>0,c>0的充要条件是a+b+c>0,

ab+bc+ca>0,abc>0.

【分析】先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可.

【详解】证明：（必要性）由a>0,b>0,c>0,显然有a+6+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.

（充分性）用反证法：假设a>0,b>0,c>0不成立，则a,b,c中至少有一一个不大于0.

由a,b,c的对称性，不妨设aVO

由a/>c>0得匕c<0,从而由ab+》c+ca>0,^ab+ca>-be>0,即a（6+c）>0

故6+c<0,于是a+6+c<（）.这与a+b+c>0矛盾，于是假设不成立.

因此，«>0,b>0,c>0.

18.（2021・全国•高一课时练习）已知a、b、c•为的三边长，集合4二卜—+？"+从=（）”可，

8二卜.-vlcx-b1=0,xeR|.

(1)若。=/?=c=4,求AB；

（2）求Ac8w0的充要条件.

【答案】⑴4U8={-4-40,-4,-4+4夜}

（2）Ac8w0的充要条件是片=Z?24-c2

【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；

（2）由集合的交集运算，结合判别式得出。之再由飞£4,%£8得出/=从+°2

（1）由a=Z?=c=4,得A={-4},3={-4—4夜,一4+4夜},

从而AUB={T_4及,-4,-4+4及}

（2）当Ac3w0时，Aw0,BW0,且存在超eR,使得x（）£A,x0eB.

22

于是=4C/-4匕220,AB=4c+4ft>0

又a、b、c为一ABC的三边长，得aNb.

a>h,①

从而AcBwO的充要条件是片+2祇。+〃=0,②

Xg+2cx0-b2=0.③

②+③，并注意到升/0，得/=-（。+。）.④

将④代入③，得储⑤

即由②③消去吃得到⑤.而⑤满足①，因此AcB*0的充要条件是笳=从+°2.

'【能力提升】

一、单选题

1.（2022・江苏•高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为人的所有整数组成一个“类”，记为伏],

即因={4〃+H〃eZ},k=（）,l,2,3.给出如下四个结论：①2015叩]；②—2e[2]；③Z=[0]31]32]33]；

④“整数小6属于同一‘类的充要条件是其中正确的结论有（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【答案】D

【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确

的选项.

【详解】因为2015=503x4+3,故2015e[3],故①错误;

而一2=4+2,故一2e[2],故②正确；

由“类”的定义可得[0][l]i[2]u[3]cZ,

任意ceZ,设c除以4的余数为，（re{0,l,2,3}）,则ce[r|,

故CW[0]D[1]32]33],所以Z±[0]川][2][3],

故Z=[0][1][2][3],故③正确

若整数m人属于同一“类”，设此类为仍卜右{0』,2,3}）,

贝I]a=4m+r,b=4n+r,故。一％=4（〃?一〃）即a-bG[0],

若a-赤网,故。-力为4的倍数，故m〃除以4的余数相同，

故a,b属于同一'‘类"，

故整数”，匕属于同一“类”的充要条件为a-be[0],故④正确：

2.（2022•宁夏银川•高一期末）已知A={x”X2，,毛},B={y},y2,则“Vx,weB使得为=4"

是“AgB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.

（详解】若内€A,为eB使得x,.=%，则有AcB成立；

若AaB,则有VXjeA,h）e8使得%=x成立.

则“％eA,孙eB使得看=刀”是“AuB”的充要条件

故选：C

二、多选题

3.（2021•福建・福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）已知xdR,yGR,下列各结论中

正确的是（）

XX

A.“xy>0”是“7>0”的充要条件B.“x>y”是:>1”的充要条件

C.“"0”是“x*0”的必要不充分条件D.“x+）=0”是“7=7”的充分不必要条件

【答案】AC

Y

【分析】根据孙＞。=一＞0即可判断A,取特例可判断B,由不等式性质判断C,分析分母不

y

o可判断D.

XY

【详解】因为母＞0与一＞0等价，故“孙＞0”是“一＞0”的充要条件，AiE确；

X1x

因为x=-l＞y=-2,­=-,推不出一＞1,故B错误；

y2y

因为当xwO,y=0时推不出D¥0,当个力0时，能推出xwO,

所以“存0”是的必要不充分条件，C正确；

xX

由X+y=O可得工=一儿当满足》工。时，才可得一二-1,即x+y=O推不出一二一1,

yy

xx

反之，当一=T时，可得户一儿即x+y=O,所以“x+y=O”是“一=7”的必要不充分条件，故D不正确.

yy

故选：AC

三、填空题

4.（2021•河南・濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是一（填序号）.

（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件;

（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件;

（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；

（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结

果必须有这一条件，但是有这•条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系

的是既不充分也不必要条件

【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡8亮的

充分不必要条件，选项（1）正确.

（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要

不充分条件，选项（2）正确.

（3）开关A闭合，灯泡8亮；而灯泡8亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，

选项（3）正确.

（4）开关A闭合，灯泡8不一定亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡8亮的既

不充分也不必要条件，选项（4）错误.

故答案为（1）（2）（3）.

四、解答题

5.（2021•福建福州•高一期中）证明：“a<0”是“关于x的方程x2-2x+,〃=0有一正一负根”的充要条件.

【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.

【详解】充分性：若m<0,则关于x的方程/_2》+,"=0有一正一负根，证明如下：

当"z<0时，△=（-2『-4m=4-4m>0.

所以方程/一2》+m=0有两个不相等的实根，

设两根分别为演，巧，则西乡=机<0,所以方程Y—2x+，”=0有一正一负根，

故充分性成立，

必要性：若“关于尤的方程-―2x+m=0有-正-负根''，则机<0，证明如下：

设方程f-2x+"?=0一正一负根分别为A,x2,贝叫’,

xtx2=m<0

所以“<0,所以若“关于x的方程/一21+帆=0有一正一负根“，则,”0,

故必要性成立，

所以"m<0”是"关于"的方程/_2x+加=0有一正一负根”的充要条件.

6.（2021・河南・范县第一中学高一阶段练习）已知介1,y^a2x2-2ax+b,其中mb均为实数.证明：对于任

意的xe{x|04x《l},均有以成立的充要条件是厄2.

【分析】利用充分必要条件的概念及二次函数的性质即可求解.

【详解】证明：因为函数产以+%的图像的对称轴方程为户L

a

所以1,且0<—<1,

a

故当x=-时，函数有最小值y=a2^-y-2«--+/?=/?-1.

先证必要性：对于任意的工£30001},均有胆1,即匕-121,所以应2.

再证充分性:因为b>2,当尸白时，函数有最小值y=a2-\-2a--+/?=/?-1>1,

aaa

所以对于任意工£何。。41},产442・2。什匠I,即以成立的充要条件是色2.

【点睛】关键点睛：证明充分必要条件时，要分开证明充分性和必要性，这样逻辑比较清晰.

7.（2021♦江苏♦高一课时练习）设a,b,ceR,求证：关于龙的方程/+fex+c=O有一个根是1的充要