2025高考备考数学知识点第4讲　简单的三角恒等变换

第4讲简单的三角恒等变换课标要求命题点五年考情命题分析预测能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.三角函数式的化简2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.三角函数式的求值2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10学生用书P079命题点1三角函数式的化简例1（1）[2021全国卷甲]若α∈（0，π2），tan2α＝cosα2－sinα，则tanαA.1515 B.55 C.53 解析因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，由（2）化简：2cos2α－解析原式＝cos2α2tan（π4－α）co方法技巧化简三角函数式的方法与技巧1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.训练1[2021新高考卷Ⅰ]若tanθ＝－2，则sinθ（1+sin2θ）sinA.－65 B.－25 C.25 解析解法一因为tanθ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθsin解法二因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sinθ＝－cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25命题点2三角函数式的求值角度1给角求值例2（1）sin50°（1＋3tan10°）＝1.解析sin50°（1＋3tan10°）＝sin50°（1＋tan60°tan10°）＝sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°×cos（60°－10°）cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°（2）sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝116解析原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·方法技巧给角求值问题的解题策略一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.注意当式子中出现12，1，32，3角度2给值求值例3（1）[2022浙江高考]若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝31010，cos2β＝解析因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin（π2－α）＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cosφ＝31010，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－10＝－1010，所以cos2β＝（2）[江苏高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－23解析解法一tanαtan（α＋π4）＝tanαt当tanα＝2时，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α+1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15.同理当tanα解法二tanαtan（α＋π4）＝sinαcos（α＋π4）cosαsin（α＋π4）＝－23，则sinαcos（α＋π4）＝－23cosαsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cosα－cos（α＋π4）·sinα＝53sin（α＋π4）cosα，则sin（α＋π4）cosα＝3210，则sin（2α＋π4）＝sin[（方法技巧给值求值问题的解题策略1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.角度3给值求角例4（1）若sin2α＝55，sin（β－α）＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋βA.7π4 C.5π4或7π4 解析因为α∈[π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cos2α＝－1－sin22α＝－255.因为β∈[π，3π2]，所以α＋β∈（54π，2π），β－α∈（π2，5π4），所以cos（β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2αcos（β－α）－sin2α·sin（β－α）＝－2（2）已知α，β为锐角，且（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4，则α＋β＝2π3解析将（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4展开，得－3（tanα＋tanβ）＝3（1－tanα·tanβ），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋β）＝－3，由于α，β为锐角，所以0＜α＋β＜方法技巧给值求角问题的解题策略1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则.（1）已知正切函数值，选正切函数.（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－π2，π注意所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多解.2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.训练2（1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜β＜α＜π2，且cos（α－β）＝1213，cos2β＝35，则cos（α＋β）＝（A.1665 B.3365 C.5665 解析由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又cos（α－β）＝1213，所以sin（α－β）＝1－（1213）2＝513，因为0＜2β＜π，cos2β＝cos（α＋β）＝cos[（α－β）＋2β]＝cos（α－β）cos2β－sin（α－β）sin2β＝1213×35－513×45＝（2）[2024河南省南阳市第一中学质量评估]已知tanα＝17，sinβ＝1010，α，β∈（0，π2），则α＋2β＝解析因为tanα＝17，α是锐角，所以0＜α＜π4，因为sinβ＝1010，β为锐角，所以0＜β＜π4，0＜α＋2β＜3π4，因为sinβ＝1010，所以cosβ＝31010，tanβ＝13，则tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13）（3）（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝2.解析由题意知，（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°.因为tan20°＋tan25°＝tan45°（1－tan20°tan25°）＝1－tan20°tan25°，所以（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋1－tan20°tan25°＋tan20°tan25°＝2.1.[命题点1]化简：2－2－2+2+2cosα（3π＜α＜4π解析∵3π＜α＜4π，∴3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8∴原式＝2－2－2+2cosα2＝22.[命题点1/2023河南省安阳部分重点高中模拟]若cosα2＝12sinα2，则1+sinα＋cosA.1 B.12 C.22 解析由已知得tanα2＝2，故sinα＝2sinα2cosα2cos2α2＋si－35，所以1+sinα＋cosα1－23.[命题点2角度2/2023湖南省株洲市素质检测]已知cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，则sin2解析sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×1+sinxcosx1－tanx＝因为cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，所以5π3＜π4＋x＜－1－cos2所以tan（π4＋x）＝sin（π4又sin2x＝sin[2（π4＋x）－π2]＝－cos2（π4＋－[1－2sin2（π4＋x）]＝725，所以sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×tan（π4＋x4.[命题点2角度3/2023广州市调研]若α，β∈（π2，π），且（1－cos2α）（1＋sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（AA.2α＋β＝5π2 B.2α－βC.α＋β＝7π4 D.α－β解析由题意可得[1－（1－2sin2α）]（1＋sinβ）＝2sinαcosα·cosβ，因为sinα≠0，所以sinα＋sinαsinβ＝cosαcosβ，即sinα＝cos（α＋β）.因为α，β∈（π2，π），所以α＋β∈（π，2π），52π－α∈（3π2，2π），易得sinα＞0，所以cos（α＋β）＞0，所以α＋β∈（3π2，2π），sinα＝cos（α＋β）可变形为cos（52π－α）＝cos（α＋β）.因为y＝cosx在区间（3π2，2π）上单调递增，所以52π－α＝α＋学生用书·练习帮P2941.[2023黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cos2α＝（A.23 B.34 C.45 解析因为tan（π－α）＝－2，所以tanα＝2，则11+cos2α＝sin2α＋co2.若θ为锐角，cos（θ＋π4）＝－210，则tanθ＋1tanθ＝（A.1225 B.2512 C.247 解析因为cos（θ＋π4）＝cosθcosπ4－sinθsinπ4＝22（cosθ－sinθ）＝－2sinθ＝－15解法一因为sin2θ＋cos2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝sinθcosθ＝43，所以tanθ＋1tan解法二将cosθ－sinθ＝－15两边平方，整理得1－2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝1225，所以tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cos3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cos80°3cos10°的值为（A.63 B.64 C.66 解析sin50°1－cos80°3cos10°＝2sin50°·sin40°3cos10°＝4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cosA.－18 B.－8 C.8 D.解析将π≈4sin52°代入1－2cos27°π16－π－cos14°8sin（90°+14°）＝－cos14°8cos14°5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（αA.33 B.－33 C.539 解析不难发现α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（又－π2＜β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cos（α＋β2）＝cos[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin6.[2024浙江联考]已知2sinα－sinβ＝3，2cosα－cosβ＝1，则cos（2α－2β）＝（D）A.－18 B.154 C.14 解析由题可得，（2sinα－sinβ）2＝3，（2cosα－cosβ）2＝1，即4sin2α－4sinαsinβ＋sin2β＝3，4cos2α－4cosαcosβ＋cos2β＝1，两式相加可得4－4sinαsinβ－4cosαcosβ＋1＝4，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝14，故cos（α－β）＝14，cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×116－1＝－77.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，则sin（α－π12）＝（CA.22 B.32 C.6＋2解析∵3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，∴3sinα＋cosα＝cos2α－3sin2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin8.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin2α＝53，cos（2α＋π3）＝解析∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin2α＝1－cos22α＝53，cos（2α＋π3）＝12cos2α－32sin29.[2023湖南张家界模拟]已知锐角α满足1＋3tan80°＝1sinα，则α解析1＋3tan80°＝sin80°＋3cos80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cos40°＝2sin40°2sin40°cos40°＝110.化简并求值.（1）3－4sin20°+8si（2）（1cos280°解析（1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝（2）原式＝（cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°）cos280°11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的（AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析3sinθ＋cos2θ＞1⇔3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ⇔（2sinθ－3）sinθ＜0⇔0＜sinθ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sinθ＜32；当0＜sinθ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋12.已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈（0，π），则2α－β＝（CA.π4 B.π4C.－3π4 D.π4或解析∵tanα＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tanβ＝－17＜0，且β∈（0，π），∴β∈（π2，π），∴2α－β∈（－π，0），又13.[2023武汉模拟]f（x）满足：∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0.a＝sin7°sin83°，b＝taA.f（a）a＜B.f（a）aC.f（b）b＜fD.f（c）c＜解析a＝sin7°sin83°＝sin7°cos7°＝12sin14°，b＝tan8°1+tan28°＝sin8°cos8°cos28°＋sin28°＝12sin16°，c＝cos25π24－12＝12cos5π12＝12sinπ12＝12sin15°，∴a＜c＜b.由题知，∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（14.[多选]已知tan（α＋β）＝tanα＋tanβ，其中α≠nπ2（n∈Z）且β≠mπ2（m∈Z），则下列结论一定正确的是（A.sin（α＋β）＝0 B.cos（α＋β）＝1C.sin2α2＋sin2β2＝D.sin2α＋cos2β＝1解析由条件得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ（tanα＋tanβ＝0，所以α＝kπ－β，k∈Z，即α＋β＝kπ，k∈Z，所以sin（α＋β）＝0，故A正确；对于B选项，cos（α＋β）＝coskπ＝±1，故B错误；对于C选项，sin2α2＋sin2β2＝sin2（kπ2－β2）＋sin2β2，当k为偶数时，sin2α2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cos2β＝sin2（kπ－β）＋cos2β＝sin215.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210（1）求cos（α－β）的值；（2）求2α－β的值.解析（1）由题意，｜OA｜＝｜OM｜＝1，∵S△OAM＝12｜AO｜·｜OB｜·sinα＝12sinα＝55∴sinα＝255，cosα＝又点B的纵坐标是210，且β为钝角，∴sin