2025高考备考数学知识点第3讲　等式性质与不等式性质

第3讲等式性质与不等式性质课标要求命题点五年考情命题分析预测梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.比较两个数（式）的大小2022全国卷甲T12；2020全国卷ⅢT12本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，命题热点有比较大小，不等式性质的应用等，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握等式与不等式的性质，并能充分运用.不等式的性质及其应用2020新高考卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT6学生用书P0081.两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1（a，b＞0）或ab①＜1（a，b＜a＝ba－b＝0ab＝1（b≠0a＜ba－b＜0ab＜1（a，b＞0）或ab②＞1（a，b＜2.等式的性质对称性如果a＝b，那么b＝a传递性如果a＝b，b＝c，那么a＝c可加（减）性如果a＝b，那么a±c＝b±c可乘性如果a＝b，那么ac＝bc可除性如果a＝b，c≠0，那么ac＝3.不等式的性质性质性质内容对称性a＞b⇔③b＜a传递性a＞b，b＞c⇒④a＞c可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒⑤ac＜bc同向可加性a＞b，c＞d⇒⑥a＋c＞b＋d同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒⑦ac＞bd同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）常用结论1.a＞b＞0⇒a＞b.2.（1）a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；（2）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ac3.a＞b＞0，m＞0⇒ba＜b＋ma＋1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（C）A.t＞s B.t≥s C.t≤s D.t＜s解析因为t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故选C.2.[易错题]设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（BA.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B解析由题意得，A2－B2＝2ab≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.3.[多选]下列说法不正确的是（AD）A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ad＞C.若ab＞0，a＞b，则1a＜D.若x＞y，则x2＞y24.[教材改编]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围是（5，8）.解析∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2②.①＋②得，5＜2a－b＜8.学生用书P009命题点1比较两个数（式）的大小例1（1）[2024湖北襄阳宜城第一中学模拟]已知0＜a＜12，若A＝1＋a2，B＝11－a，则A与B的大小关系是（A.A＜B B.A＞B C.A＝B D.不确定解析A－B＝1＋a2－11－a＝（1+a2)(1－a）－1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－12）2－34＜－34＜0，所以A－B＜0，即A＜B（2）eπ·πe与ee·ππ的大小关系为eπ·πe＜ee·ππ.解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝（eπ）π－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，所以（eπ）π－e＜1，即eπ方法技巧比较数（式）大小的常用方法1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.3.构造函数，利用函数的单调性比较大小.训练1（1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是（C）A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.不能确定解析P，Q作商可得PQ＝aeb令f（x）＝exx，则f'（x）＝当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，因为a＞b＞1，所以ebb＜又ebb＞0，ea所以PQ＝ebbeaa＜（2）[多选/2023江苏省南京市调研]已知a＞b＞0，则（AC）A.1b＞B.a－1b＞b－C.a3－b3＞2（a2b－ab2）D.a+1－b+1＞a解析对于A，因为函数y＝1x在（0，＋∞）上单调递减，a＞b＞0，所以1b＞1a，故对于B，解法一由a－1b＞b－1a，得a－b＋1a－1b＞0，即（a－b）（1－1因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，所以1－1ab＞0所以ab＞1，而该式不一定成立，所以不等式a－1b＞b－1a不一定成立，故B解法二当a＝12，b＝13时，a－1b＝－52，b－1a＝－53，则a－1b＜对于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因为a－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确.对于D，由a+1－b+1＞a－b，得a+1－a＞b+1－b，即所以b+1＋b＞a+1＋a，该不等式不成立，故D综上所述，选AC.命题点2不等式的性质及其应用角度1不等式的性质例2（1）[全国卷Ⅱ]若a＞b，则（C）A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3bC.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜解析解法一由函数y＝lnx的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln（a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C.解法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故选C.（2）[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是（ACD）A.ab＞ac B.cb2＜ab2C.c（b－a）＞0 D.ac（a－c）＜0解析由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确.对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确.对于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正确.对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正确.故选ACD.方法技巧判断不等式是否成立的常用方法（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.角度2不等式性质的综合应用例3（1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是（AA.（－3，－1） B.（－1，－13C.（－2，－1） D.（－1，－12解析因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得ca＜－1，所以－3＜ca＜－（2）[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，则3a－2b的取值范围为[－4，11].解析设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，则m＋n=3，m－n＝－2，解得m＝12，n＝52，所以3a－2b＝12（a＋b）＋52（a－b）.又－32≤12（a＋b）≤方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.训练2（1）[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设a≥b≥c，且1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，则ca的取值范围是（AA.[－2，－12B.（－2，－12C.（－∞，－2）∪（－12，＋∞D.（－∞，－2]∪[－12，＋∞解析因为1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，所以a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，则2又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，则不等式组等价于2≥－ca，－1≥2ca，即（2）[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（ABC）A.若bc2＜ac2，则b＜aB.若a3＞b3且ab＜0，则1a＞C.若a＞b＞c＞0，则ab＞D.若c＞b＞a＞0，则ac－解析选项A，若bc2＜ac2成立，则c≠0，所以c2＞0，故选项A正确；选项B，由a3＞b3得a＞b，又ab＜0，所以a＞0＞b，所以1a＞0＞1b，故选项选项C，因为a＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac＋ab＞bc＋ab，因为1b（b＋c）＞0，所以两边同乘1b选项D，易知a－b＜0，c－a＞0，c－b＞0，所以ac－a－bc－b＝c（a－b故选ABC.1.[命题点1/多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（－1）＝0.若a＝f（20.7），b＝f（0.5－0.9），c＝f（log0.70.9），则（ACD）A.b2＞a2 B.1a＜1c C.cb＞ca D.b解析因为偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（－1）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0.又log0.71＝0＜log0.70.9＜log0.70.7＝1＝20＜20.7＜20.9＝0.5－0.9，所以c＜0＜a＜b.对于A选项，因为c＜0＜a＜b，所以b2－a2＞0，即b2＞a2，故A选项正确；对于B选项，因为c＜0＜a＜b，所以1c＜0＜1a，故对于C选项，因为c＜0＜a＜b，所以1b＜1a，所以cb＞c对于D选项，因为c＜0＜a＜b，所以b＞a＞a＋c，故D选项正确.故选ACD.2.[命题点2/多选/2023长沙调研]若1a＜1b＜0，则下列不等式中正确的是（ACA.1a＋b＜1ab B.｜a｜C.a－1a＞b－1b D.lna2＞ln解析由1a＜1b＜0，可知b＜aA中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0，故有1aB中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；C中，因为b＜a＜0，1a＜1b＜0，所以－1a＞－1b＞0，a－1a＞bD中，由b＜a＜0，y＝x2在（－∞，0）上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域（0，＋∞）上单调递增，所以lnb2＞lna2，故D错误.学生用书·练习帮P2611.[2024四川广安模拟]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，则P，Q的大小关系是（A）A.P≥Q B.P＞QC.P≤Q D.P＜Q解析P＝a2＋3，Q＝4a－1，P－Q＝a2＋3－4a＋1＝（a－2）2≥0，故P≥Q，故选A.2.[2022上海高考]已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞c＞d，则下列选项中正确的是（B）A.a＋d＞b＋c B.a＋c＞b＋dC.ad＞bc D.ac＞bd解析对于选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d＜b＋c，故A错误；对于选项B，a＋c＞b＋c＞b＋d，故B正确；对于选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad＜bc，ac＜bd，故C，D错误.故选B.3.[2024陕西西安模拟]若a＜b＜0＜c＜d，则（C）A.ac＜ad B.a－c＞b－dC.ca＞db D.a解析对于A，因为a＜0，c＜d，所以ac＞ad，故选项A错误；对于B，取a＝－4，b＝－1，c＝1，d＝2，则a－c＝－5，b－d＝－3，故选项B错误；对于C，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＞对于D，取a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2，则a＋cb＝1，b＋dc＝14.已知0＜a＜b＜1，设m＝blna，n＝alnb，p＝ln（lnalnb），则m，n，p的大小关系为（A.m＜n＜p B.n＜m＜pC.p＜m＜n D.p＜n＜m解析由0＜a＜b＜1，得ba＞1，且lna＜lnb＜0，即有lnalnb＞1，因此，ln（lnalnb）＞0，即p＞0，由m＜0，n＜0，mn＝blnaalnb＝ba·lnalnb5.[2024山东烟台模拟]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（B）A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z解析因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.故选B.6.[2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（B）A.变坏了 B.变好了C.不变 D.无法判断解析设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得0＜a＜b，m＞0，则a＋mb＋m－a因为b＞0，m＞0，所以b（b＋m）＞0，又因为a＜b，则b－a＞0，所以a＋mb＋m－ab＞所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.故选B.7.[多选]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（BCD）A.ad＞bc B.ad＋bcC.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）解析因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）·（－d），所以ac＋bd＜0，又cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－8.[多选]若a＞0，b＞0，则使a＞b成立的充要条件是（ABD）A.a2＞b2 B.a2b＞ab2C.ba＞b+1a+1 D.a＋1解析对于A，因为a＞0，b＞0，所以a＞b⇔a2＞b2，A选项符合题意；对于B，因为a＞0，b＞0，所以a2b＞ab2⇔ab（a－b）＞0⇔a＞b，B选项符合题意；对于C，当a＞b＞0时，ba－b+1a+1＝b（a+1)－a（b+1对于D，当a＞b＞0时，1b＞1a＞0，所以a＋1b＞b＋1a，反之，由a＞0，b＞0，a＋1b＞b＋1a，可得a＋1bb＋1a＞1，即a（ab+19.[多选/2024安徽模拟]已知2＜x＜3，－2＜y＜1，则下列选项正确的是（CD）A.－23＜yx＜12 B.2＜xyC.－6＜xy＜3 D.3＜2x－y＜8解析对于A，2＜x＜3，13＜1x＜12，当y＝0时，yx＝0；当0＜y＜1时，0＜yx＜12；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－yx＜1，－1＜yx＜0.所以－1＜yx＜12，A选项错误.对于B，－2＜y＜1，当y＝0时，xy2＝0，B选项错误.对于C，当y＝0时，xy＝0；当0＜y＜1时，0＜xy＜3；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－xy＜6，－6＜xy＜0.所以－6＜xy＜3，C选项正确.对于D，由2＜x＜3，得4＜2x＜6，由－2＜y＜1，得－1＜－y＜2，所以3＜210.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则4a－2b的取值范围是[5，10].解析令4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，则m＋n=4，n－m＝－2，解得n=1，m=3.因为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（11.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c解析解法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，所以a＞b；bclog6251024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.故选B.解法二构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得f'（x）＜0，得x＞e，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.故选B.12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价a％，再降价b％；②先降价a＋b2％，再降价a％；③先降价a＋b2％，再降价a＋b2％；④一次性降价（a＋b）％.其中aA.① B.② C.③ D.④解析设原价为1，对于①，降价后的价格为（1－a％）（1－b％），对于②，降价后的价格为（1－a＋b2％）（1－对于③，降价后的价格为（1－a＋b2％对于④，降价后的价格为1－（a＋b）％.（1－a％）（1－b％）＝1－（a＋b）％＋a％b％＞1－（a＋b）％，所以①＞④.因为a＞b，所以（1－a＋b2％）2－（1－a％）（1－b％）＝（a％＋b％2）2－a