2025高考备考数学知识点第2讲　导数与函数的单调性

第2讲导数与函数的单调性课标要求命题点五年考情命题分析预测借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.不含参函数的单调性2023全国卷甲T21；2022新高考卷ⅡT22；2021新高考卷ⅠT22；2021全国卷甲T21；2020全国卷ⅠT21；2020全国卷ⅡT21；2019全国卷ⅡT20本讲是高考的必考内容，有时单独考查，如求函数的单调区间或讨论函数的单调性，有时作为工具求解其他问题，如通过构造函数研究函数的单调性，进而求解极值、最值、不等式、零点等问题，题型以解答题为主，有时也以小题的形式呈现，难度中等.预计2025年高考命题依然稳定，备考中，一定要掌握讨论函数单调性的方法，它是解决很多问题的基础.含参函数的单调性2023新高考卷ⅠT19；2021新高考卷ⅡT22；2021全国卷乙T21；2021全国卷甲T20；2019全国卷ⅢT20函数单调性的应用2023新高考卷ⅡT6；2023新高考卷ⅡT22；2023全国卷乙T16；2022新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T12；2021全国卷乙T12学生用书P0531.函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导f'（x）＞0f（x）在区间（a，b）内单调递①增②f'（x）＜0f（x）在区间（a，b）内单调递减恒有③f'（x）＝0f（x）在区间（a，b）内是常数函数思维拓展用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系（1）f'（x）＞0（＜0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充分不必要条件.（2）f'（x）≥0（≤0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的必要不充分条件.（3）若f'（x）在区间（a，b）的任意子区间内都不恒等于零，则f'（x）≥0（≤0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充要条件.2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的④定义域；第2步，求出导数f'（x）的⑤零点；第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.1.[2024陕西汉中模拟]函数f（x）＝x2－5lnx－3x－1的单调递减区间为（D）A.（32，＋∞） B.（0，32） C.（52，＋∞） D.（0解析f'（x）＝2x－5x－3＝2x2－3x－5x＝（x+1)(2x－5）x（x＞0），当x∈（0，52）时，f'（x）＜2.已知导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（B） A B C D解析解法一由y＝f'（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.解法二由于f'（x）＞0（－1≤x≤1）恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f（x）在[－1，1]上单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足.由于x＞0时，随着x的变大f'（x）越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”；当x＜0时，随着x的变大f'（x）越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，可以判断B正确.3.已知函数f（x）＝sinx＋cosx－2x，a＝f（－π），b＝f（20），c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系是（A）A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.b＞a＞c D.c＞b＞a解析因为函数f（x）＝sinx＋cosx－2x，所以f'（x）＝cosx－sinx－2＝2cos（x＋π4）－2＜0，所以f（x）为R上的减函数，因为－π＜ln2＜1＝20，所以f（－π）＞f（ln2）f（20），即a＞c＞b.故选A.4.[多选]下列说法正确的是（BC）A.若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上一定单调递减B.在（a，b）上f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充分不必要条件C.在（a，b）上f'（x）≤0，且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）上单调递减D.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则一定有f'（x）＞0解析对于A，不一定，如函数y＝1x的导函数y'＝－1x2，在其定义域上y'＝－1x2＜0恒成立，但是函数y＝1x在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是单调递减的；对于B，结合导数与函数的单调性可知B正确；对于C，数形结合可知C正确；对于D，如函数f（x）＝x3在R上单调递增，但f'（x）＝3x2在R上有零点，即f'（学生用书P054命题点1不含参函数的单调性例1（1）[2024重庆南开中学模拟]已知函数f（x）＝xsinx＋cosx，x∈[0，2π]，则f（x）的单调递减区间是（B）A.[0，π2] B.[π2，C.[π，2π] D.[3π2，解析f'（x）＝xcosx，令f'（x）＝xcosx≤0，则x＝0（舍去）或π2≤x≤3π2，仅在x＝π2和x＝3π2时取等号，故f（x）的单调递减区间是[（2）若函数f（x）＝lnx+1ex，则函数f（x）的单调递增区间为（0解析f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－lnx－1ex，令φ（x）＝1x－lnx－1（x＞0），易知φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴φ（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，即f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）.方法技巧利用导数求函数单调区间的思路：解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.注意（1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.训练1已知函数f（x）＝（2＋x）ln（1＋x）－2x，讨论函数f（x）的单调性.解析由题知函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），f'（x）＝ln（1＋x）－x1+设函数g（x）＝f'（x）＝ln（1＋x）－x1+x，则g'（x）＝当－1＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0.故当x＞－1时，g（x）≥g（0）＝0，且仅当x＝0时，g（x）＝0，从而f'（x）≥0，且仅当x＝0时，f'（x）＝0.所以f（x）在（－1，＋∞）上单调递增.命题点2含参函数的单调性例2已知函数f（x）＝12ax2－（a＋1）x＋lnx，a＞0，讨论函数y＝f（x）的单调性解析函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ax－（a＋1）＋1x＝ax2令f'（x）＝0，得x＝1a或x＝①当0＜a＜1时，1a＞1∴x∈（0，1）∪（1a，＋∞）时，f'（x）＞0；x∈（1，1a）时，f'（x）∴函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1a②当a＝1时，1a＝1∴f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.③当a＞1时，0＜1a＜1∴x∈（0，1a）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0；x∈（1a，1）时，f'（x）∴函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1综上，当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞1时，函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1方法技巧求解含参函数的单调性的技巧一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f'（x）＝0是否有根；（2）讨论f'（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系.注意若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等.训练2[2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1，讨论f（x）的单调性.解析由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，令f'（x）＝0，则Δ＝（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.①当Δ≤0，即a≥13时，f'（x）≥0，等号不恒成立，此时f（x）在R上单调递增②当Δ＞0，即a＜13时，由f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝1－1－3a3当x∈（－∞，1－1－3a3）时，f'（x）＞0当x∈（1－1－3a3，1+1－3a3）时，f'（当x∈（1+1－3a3，＋∞）时，f'（x）＞0，f综上，当a≥13时，f（x）在R上单调递增；当a＜13时，f（x）在（－∞，1－1－3a3）和（1+1命题点3函数单调性的应用角度1已知函数的单调性求参数例3（1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（C）A.e2 B.e C.e－1 D.e－2解析因为函数f（x）＝aex－lnx，所以f'（x）＝aex－1x.因为函数f（x）在（1，2）单调递增，所以f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以在（1，2）上，g（x）＞e，所以1a≤e，即a≥1e＝e－1（2）[2024贵阳市模拟]若函数f（x）＝x3－12ax2＋x在[1，3]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（4，＋∞）解析由题意知f'（x）＝3x2－ax＋1.由函数f（x）在[1，3]上存在单调递减区间，可知∃x∈[1，3]，使得f'（x）＜0，即∃x∈[1，3]，3x2－ax＋1＜0，也即当x∈[1，3]时，（3x＋1x）min＜a令g（x）＝3x＋1x，x∈[1，3]，则g'（x）＝3－1x2＝3x2－1x2当x∈[1，3]时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（1）＝4.所以a＞4，即a的取值范围为（4，＋∞）.方法技巧已知函数的单调性求参数的解题技巧（1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f'（x）≥0（或f'（x）≤0）对x∈D恒成立问题.注意“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.（2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.（3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f'（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.（4）若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.角度2利用函数的单调性比较大小例4（1）[2024福州市一检]已知a＝1e，b＝ln2，c＝ln55，则（AA.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b解析a＝1e＝lnee，b＝ln2＝ln22＝ln44，c＝ln55＝ln55.令f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，当x≥e时，f'（x）≤0，故f（x）在区间[e，＋∞）上单调递减.因为e＜4＜5，所以f（e）＞f（2）[2023福建省龙岩市质检]已知函数f（x）＝sinx－xcosx，若a＝f（log2e），b＝f（ln3），c＝f（sine），则a，b，c的大小关系为（B）A.b＞a＞c B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.c＞b＞a解析f'（x）＝cosx－cosx＋xsinx＝xsinx，当x∈（0，π）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，π）上单调递增，因为ln2ln3＜（ln2+ln32）2＝（ln6lne2）2＜1，所以1＜ln3＜1ln2＝1log22log2e＝log2e.因为sine＜1，所以sine＜ln3＜f（sine）＜f（ln3）＜f（log2e），即a＞b＞c.故选B.角度3利用函数的单调性解不等式例5[江苏高考]已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数.若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是[－1，12解析由f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，x∈R，得f（－x）＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f（x）是奇函数，又f'（x）＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）在R上单调递增，所以不等式f（a－1）＋f（2a2）≤0⇔f（a－1）≤－f（2a2）＝f（－2a2）⇔a－1≤－2a2，解得－1≤a≤12，即实数a方法技巧利用函数的单调性比较大小或解不等式的思路：利用导数判断已知或构造的函数的单调性，由单调性比较大小或解不等式.训练3（1）[2023江西省鹰潭市一模]已知a＝1－e－0.2，b＝tan15，c＝ln54，其中e为自然对数的底数，则（AA.c＞b＞a B.b＞c＞aC.b＞a＞c D.c＞a＞b解析由题知a＝1－e－0.2，b＝tan15＝tan0.2，设f（x）＝1－e－x－tanx，0＜x＜1f'（x）＝e－x－1cos2x，由0＜x＜1，得0＜e－x＜1，1cos2x＞1，于是f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，因此f（x）＜0，即1－e－x＜tanx，则1－e－0.2＜tan0.2，即有a＜b.由b＝tan0.2，c＝ln54＝－ln0.8＝－ln（1－0.2），设g（x）＝tanx＋ln（1－x），0＜x＜1，则g'（x）＝1cos2x－11－x＝sin2x－x（1－x）cos2x，令φ（x）＝sinx－x，0＜x＜1，φ'（x）＝cosx－1＜0，函数φ（x）在（0，1）上单调递减，则φ（x）＜0，即0＜sinx＜x，于是sin2x＜sinx＜x，即有g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，因此g（x）＜0，即tanx（2）[2024安徽模拟]设函数f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4，则满足f（x）＋f（3－2x）＜6的x的取值范围是（B）A.（3，＋∞） B.（1，＋∞）C.（－∞，3） D.（－∞，1）解析设g（x）＝sinx＋ex－e－x－x，x∈R，则g（－x）＝sin（－x）＋e－x－ex＋x，因为g（x）＋g（－x）＝0，所以g（x）为奇函数.又f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－（x－1）＋3＝g（x－1）＋3，所以f（x）的图象是由g（x）的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的，所以f（x）的图象的对称中心为（1，3），所以f（x）＋f（2－x）＝6.因为g（x）＝sinx＋ex－e－x－x，x∈R，所以g'（x）＝cosx＋ex＋e－x－1，易得ex＋e－x≥2ex·e－x＝2，当且仅当x＝0时等号成立，而－1≤cosx≤1，则－2≤cosx－1≤0，所以g'（x）＝cosx＋ex＋e－x－1≥0恒成立，即g（x）在R上单调递增，所以f（x）在R上单调递增，因为f（x）＋f（3－2x）＜6＝f（x）＋f（2－x），即f（3－2x）＜f（2－x），所以3－2x＜2－x，解得（3）已知函数f（x）＝2lnx＋x2－5x在区间（k－12k）上为单调函数，则实数k的取值范围是{12}∪[1，2]∪[52，＋∞）解析f'（x）＝2x＋2x－5＝（2x－1)(x－2）x，x＞0.易知k≥12.函数f（x）在（k－12，k）上单调，即二次函数y＝（2x－作出y＝（2x－1）（x－2）在（0，＋∞）上的图象，如图，则（k－12，k）⊆（0，12）或（k－12，k）⊆（12，2）或（k－12，k）⊆（2，＋∞），所以实数k的取值范围是{12}∪[1，2]∪思维帮·提升思维快速解题泰勒公式在比较大小中的应用例6[2022新高考卷Ⅰ]设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则（CA.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b解析解法一（泰勒公式）a＝0.1e0.1≈0.1（1＋0.1＋0.005）＝0.1105，b≈0.111…，c＝－ln[1＋（－0.1）]≈－（－0.1－0.005－0.0003）＝0.1053，所以c＜a＜b.解法二设u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝x1－x（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），则当0＜x≤0.1时，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x①设f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝lnx＋x－[lnx－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝1－11－x＝xx－1＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上单调递减，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，所以u（0.1）＜v（0.1），即0.1e0.1＜19，所以a＜b②设g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则g'（x）＝（x＋1）ex－11－x＝（1－x2）ex－11－x（0＜x≤0.1），设h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），则h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－w（0.1）＞0，所以0.1e0.1＞－ln0.9，即a＞c.综上，c＜a＜b，故选C.方法技巧1.泰勒公式若函数f（x）在含有x0的开区间（a，b）内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和：f（x）＝f（x0）＋f'（x0）·（x－x0）＋f″（x0）2！·（x－x0）2＋f‴（x0）3！·（x－x0）3＋…＋f（n）2.常见的泰勒展开式在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：（1）ex＝1＋x＋x22！＋x33！＋（2）ln（x＋1）＝x－x22＋x33－…＋（－1）n＋1（3）sinx＝x－x33！＋x55！－…＋（－1）n－（4）cosx＝1－x22！＋x44！－…＋（－1）训练4若a＝ln1－0.010.02，b＝0.02sin0.01，A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析解法一易知a＝ln1－0.010.02＜ln1＝0，而b＞0，c＞0.由泰勒展开式，得b＝0.02sin0.01≈0.02×[0.01－（0.01）33！]＝2×10－4－13×10－8，c＝0.01sin0.02≈0.01×[0.02－（0.02）33！]＝2×10－4－43×10－8.解法二a＝ln1－0.010.02＜ln1＝0，b＝0.02×sin0.01＞0，c＝设f（x）＝sinxx，x∈（0，π），则f'（x）＝xcosx－sinxx2，令g（xg'（x）＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，π）上单调递减，从而g（x）＜g（0）＝0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（0，π）上单调递减，从而f（0.01）＞f（0.02），即sin0.010所以0.02sin0.01＞0.01sin0.02，即b＞c，综上可知a＜c＜b.故选B.1.[命题点1/多选/2024山东省青岛市检测]若函数g（x）＝exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的为（BC）A.f（x）＝5－x B.f（x）＝2－xC.f（x）＝34x2＋1 D.f（x）＝x解析对于A选项，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上单调递减，故f（x）＝5－x不具有M对于B选项，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上单调递增，故f（x）＝2－x具有对于C选项，exf（x）＝ex（34x2＋1），则[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上单调递增，故f（x）＝对于D选项，f（x）＝x3的定义域为R，则exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上单调递减，故f（x）＝x3不具有M性质.故选BC.2.[命题点2/2023绵阳市一诊]已知函数f（x）＝x2＋12lnx－mx＋m－1（m∈R）（1）讨论函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；（2）当x∈[12，＋∞）时，f（x）≥0，求m的值解析（1）由题意得f'（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12①当m≤2时，不等式f'（x）≥0恒成立（当且仅当x＝12，且m＝2时“＝”∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.②当m＞2时，由f'（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f'∴函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋单调递减.综上，当m≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无单调递减区间；当m＞2时，函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m（2）当x∈[12，＋∞）时，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，则f'（1）＝又f'（x）＝2x＋12x－∴f'（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝5下证：当m＝52时，f（x）≥0此时f（x）＝x2＋12lnx－52x＋f'（x）＝2x＋12x－52＝4∵x∈[12，＋∞∴由f'（x）＞0，解得x＞1，由f'（x）＜0，解得12≤x＜∴f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）＝综上，m＝523.[命题点3角度2/2021全国卷乙]设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，则（BA.a＜b＜c B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析b－c＝ln1.02－1.04＋1，设f（x）＝ln（x＋1）－1+2x＋1，则bf（0.02），f'（x）＝1x+1－22当x≥0时，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故当x≥0时，f'（x）＝1+2x－（x+1）1+2所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以f（0.02）＜f（0）＝0，即b＜c.a－c＝2ln1.01－1.04＋1，设g（x）＝2ln（x＋1）－1+4x＋1，则a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1当0≤x＜2时，4x+1≥（x+1）故当0≤x＜2时，g'（x）≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），所以g（x）在[0，2）上单调递增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B.4.[命题点3角度3/2023广州二模]已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）＋e－x＋x也是偶函数，若f（2a－1）＜f（a＋1），则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，2） B.（0，2）C.（2，＋∞） D.（－∞，0）∪（2，＋∞）解析因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），等式两边求导可得f'（x）＝－f'（－x）①，（易错：对等式f（x）＝f（－x）两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了）因为函数f'（x）＋e－x＋x为偶函数，所以f'（x）＋e－x＋x＝f'（－x）＋ex－x②，联立①②可得f'（x）＝ex－e令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝ex+e－x2－1≥当且仅当x＝0时取等号，所以函数g（x）在R上单调递增，即函数f'（x）在R上单调递增，故当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（2a－1）＜f（a＋1）可得f（｜2a－1｜）＜f（｜a＋1｜），所以｜2a－1｜＜｜a＋1｜，整理可得a2－2a＜0，解得0＜a＜2.故选B.学生用书·练习帮P2771.函数f（x）＝－lnx＋x的单调递增区间是（C）A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（－∞，0）和（1，＋∞）C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞）解析因为f（x）＝－lnx＋x，所以f'（x）＝－1x＋1，定义域为（0，＋∞），令f'（x）＞0，则－1x＋1＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.2.若函数f（x）＝13x3－12ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上为减函数，在区间[6，＋∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（BA.（－∞，5] B.[5，7]C.[7，＋∞） D.（－∞，5]∪[7，＋∞）解析解法一f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].解法二f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].3.若函数f（x）＝3x＋（a－2）lnx在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（D）A.（－∞，12） B.[2，＋∞C.（0，＋∞） D.（－∞，2）解析函数f（x）＝3x＋（a－2）lnx的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋a－当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上单调递增，不满足题意，舍去；当a＜2时，令f'（x）＝3＋a－2x＝0，解得x＝2－a3＞0故实数a的取值范围是（－∞，2）.4.[2024湖南模拟]已知实数a，b，c∈（0，1），e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln2，则（A）A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析由题意可得e22＝eaa，e33＝ebb，eln4ln4＝ecc，构造函数f（x）＝exx（x＞0），则f'（x）＝（x－1）exx2，当x∈（0，f'（x）＞0，f（x）单调递增.因为1＜ln4＜2＜3，所以f（ln4）＜f（2）＜f（3），所以f（c）＜f（a）＜f（b），又a，b，c∈（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.5.[2023山东泰安二模]已知奇函数f（x）在R上单调递减，g（x）＝xf（x），若a＝g（－log25.1），b＝g（3），c＝g（20.8），则a，b，c的大小关系为（D）A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析因为f（x）为奇函数且在R上单调递减，所以f（－x）＝－f（x），且当x＞0时，f（x）＜0.因为g（x）＝xf（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），故g（x）为偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＞0时，因为f（x）＜0，f'（x）≤0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减.a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），因为3＝log28＞log25.1＞log24＝2＞20.8＞0，所以g（3）＜g（log25.1）＜g（20.8），即b＜a＜c.故选D.6.[2024贵阳市模拟]已知a＝ln43，b＝27，c＝sin27，则（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜a＜c D.a＜c＜b解析构造函数f（x）＝sinx－x，x∈（0，π2），则f'（x）＝cosx－1＜0，∴f（x）在（0，π2）上单调递减，∴f（x）＜0，x∈（0，π2），∴sinx＜x，x∈（0，π2），故c＝sin27＜27＝构造函数g（x）＝lnx－2·x－1x+1，x∈（则g'（x）＝1x－2·x+1－（x当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，∴g（x）＞0，x∈（1，＋∞），故a＝ln43＞2×43－1437.[多选]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f'（x）为其导函数，则下列结论正确的是（AC）A.f'（1）≥0 B.f（1）≥0C.a2－3b≤0 D.a2－3b≥0解析因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋b.因为函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f'（1）≥0恒成立，但f（1）的大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.8.[2024武汉模拟]若函数f（x）＝（2x＋1）lnx－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实数a的最大值为4－2ln2.解析因为函数f（x）＝（2x＋1）lnx－ax是（0，＋∞）上的增函数，所以f'（x）＝2lnx＋2x+1x－a＝2lnx＋1x＋2－a≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤2lnx＋1x＋∞）上恒成立.令g（x）＝2lnx＋1x＋2，x＞0，则g'（x）＝2x－1x2＝2x－1x2，令g'（x）＝0，得x＝12，当0＜x＜12时，g'（x）＜0所以函数g（x）在（0，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以g（x）g（12）＝4－2ln2，所以a≤4－2ln2，即实数a的最大值为4－9.[2023福州5月质检]不等式x＜sinπx4＋16的解集为（－∞，解析设f（x）＝x－sinπx4－16，则f'（x）＝1－π4cosπx4＞0，∴f（23）＝0，（提示：观察出特殊解是求解的关键）∴f（x）＜0的解集为{x｜x＜23}，故x＜sinπx4＋16的解集为（10.[结构不良题/2023湖北襄阳4月期中]在①f'（ln3）＝2，②f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线斜率为0，③f（x）的单调递减区间为（0，ln2）这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.已知f（x）＝12e2x－（a＋2）ex＋2ax（1）若 ，求实数a的值；（2）若a∈R，讨论函数f（x）的单调性.解析（1）f'（x）＝e2x－（a＋2）ex＋2a＝（ex－2）（ex－a）.若选条件①，则f'（ln3）＝（3－2）×（3－a）＝2，所以a＝1.若选条件②，则f'（0）＝（1－2）×（1－a）＝0，所以a＝1.若选条件③，则依题意得0和ln2是关于x的方程（ex－2）（ex－a）＝0的两个根，所以a＝e0＝1.（2）f'（x）＝（ex－2）（ex－a）.分以下几种情况讨论：①当a≤0时，令f'（x）＞0，则x＞ln2，令f'（x）＜0，则x＜ln2，所以f（x）在（－∞，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增.②当0＜a＜2时，令f'（x）＞0，则x＞ln2或x＜lna，令f'（x）＜0，则lna＜x＜ln2，所以f（x）在（－∞，lna），（ln2，＋∞）上单调递增，在（lna，ln2）上单调递减.③当a＝2时，f'（x）＝（ex－2）2≥0，所以f（x）在R上单调递增.④当a＞2时，令f'（x）＞0，则x＞lna或x＜ln2，令f'（x）＜0，则ln2＜x＜lna，所以f（x）在（－∞，ln2），（lna，＋∞）上单调递增，在（ln2，lna）上单调递减.综上所述：当a≤0时，f（x）在（－∞，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增；当0＜a＜2时，f（x）在（－∞，lna），（ln2，＋∞）上单调递增，在（lna，ln2）上单调递减；当a＝2时，f（x）在R上单调递增；当a＞2时，f（x）在（－∞，ln2），（lna，＋∞）上单调递增，在（ln2，lna）上单调递减.11.[2024江西省鹰潭市一模]已知函数f（x）＝xex＋xex＋1，且f（1＋a）＋f（1－a2）＞2，则实数a的取值范围是（CA.（－2，1） B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－1，2） D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析令F（x）＝f（x）－1＝xex＋xex，定义域为R，则F（－x）＝－xe－x＋－xe－x＝－xex－xex＝－（xex＋xex）＝－F（x），所以F（x）为奇函数，又F'（x）＝（1当x≥0时，令g（x）＝（x＋1）e2x＋1－x，则g'（x）＝e2x＋2（x＋1）e2x－1＝（2x＋3）e2x－1，因为x≥0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝2＞0，所以当x≥0时，F'（x）＞0，所以F（x）在[0，＋∞）上单调递增，又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增.f（1＋a）＋f（1－a2）＞2转化为f（1＋a）－1＋f（1－a2）－1＞0，即F（1＋a）＋F（1－a2）＞0，所以F（1＋a）＞－F（1－a2）＝F（a2－1），所以1＋a＞a2－1，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2，即实数a的取值范围是（－1，2）.故选C.12.[2023重庆市三检]已知函数f（x）＝－12｜x+2｜+1，x<0，x3，x≥0，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则afA.（－4，0） B.[－4，0）C.[－3，0） D.（－3，0）解析f（x）＝12x+2，x＜－2，－12x，－2≤x<0，x3，x≥0，易知函数f（x）在（－∞，－2），[0，＋∞）上单调递增，在[－2，0）上单调递减，且因为当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图可知a＋b＝－4，0＜c＜1，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）＝（a＋b＋c）f（c）＝（c－4）f（c）＝（c－4）c3＝c4－4c3.令g（c）＝c4－4c3，则当0＜c＜1时，g'（c）＝4c3－12c2＝4c2（c－3）＜0，所以g（c）在（0，1）上单调递减，所以当0＜c＜1时，g（1）＜g（c）＜g（0），即当0＜c＜1时，－3＜g（c）＜0，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（－3，0），故选D.13.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数a，b满足aea＝blnb＝3，则（AD）A.a＝lnb B.ab＝eC.b－a＜e－1 D.e＋1＜a＋b＜4解析因为aea＝3，所以a＞0.令f（x）＝xex，x＞0，则f'（x）＝ex（x＋1）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.aea＝3，即f（a）＝3，又f（1）＝e＜3，f（2）＝2e2＞3，所以1＜a＜2.因为blnb＝3，所以b＞1.令F（x）＝xlnx（x＞1），则F'（x）＝lnx＋1＞0，所以F（x）在（1，＋∞）上单调递增，又F（e）＝e＜3，F（3）＝3ln3＞3，所以e＜b＜3.对A，因为aea＝blnb＝lnb·elnb，所以f（a）＝f（lnb），因为a＞0，lnb＞0，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝lnb，选项A正确.对B，因为blnb＝3，a＝lnb，所以ab＝3，选项B错误.对C，b－a＝b－lnb，令g（b）＝b－lnb，e＜b＜3，则g'（b）＝1－1b＝b－1b＞0在（e，3）上恒成立，所以g（b）在（e，3）上单调递增，所以g（b）＞e－lne＝e－1，即b－a＞e－1对D，因为a＝lnb，所以a＋b＝b＋lnb，因