高中数学1理 第十三章

弟十二早；先老立R分

DISHISANZHANG心"目P刀

第十三章选考部分第一节坐标系

基固为根必备知识

［基础自梳］

1.坐标系

(1)伸缩变换

#=痴，(2>0),

,八其中点P(x,y)对应到点尸‘(/，y').

U=H-y,8>0),

/M

()X

(2)极坐标系

在平面内取一个定点0,叫做极点；自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选一个长

度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐

标系.设M是平面内任意一点，极点。与点例的距离10M叫做点M的极径，记为力以极

轴。x为始边，射线为终边的角xOM叫做点M的极角，记为仇有序数对(p,6)叫做点

”的极坐标，记为M(p,6).

2.直角坐标与极坐标的互化

设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(p，。)，则

p1=G+E,

X-pcos0

y=osin0tan0=1(xW0)

,0i

3.常用的极坐标方程

(1)直线的极坐标方程

①过极点，倾斜角为a的直线：6=aS@R)；

②过A(a,0)(4>0)且垂直于极轴的直线：pcos0=a；

③过A(a,?(a>0)且平行于极轴的直线：psin0=a.

(2)圆的极坐标方程

①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为p=R;

②圆心在极轴上的点(4,0)处，且过极点0的圆的极坐标方程为0=2acos0；

③圆心在点(a，,处且过极点的圆的极坐标方程为p=2asin仇0W9W兀

［基础自测J

1.(教材改编)在极坐标系中，求圆p=-2sin。加圆心的极坐标.

A.(l,.B.(l,甘)C.(1,0)D.(1,兀)

［答案］B

2.(教材改编)在极坐标系中，求4(2,一§,B(4,幻两点间的距离为

［答案I6

3.在极坐标系中，已知点P(2,3，求过点P且平行于极轴的直线方程为

［答案］sin0=1

研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换

1

⑴在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:=卧,

I例1]

I

后的图形.

①5x+2y=0；②/+9=1.

「，1

xX,

［解］伸缩变换〈=2,则『\x=2x，'，

u,=京1y=3y■.

①若5x+2y=0,

则5(2x')+2(3y')=0,

所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x'+3y'=0,为一条直线.

②若f+)2=l,则(2/)2+(3yz)2=1,

则『+)2=1经过伸缩变换后的方程为4x2+9y2=1,为椭圆.

x'2.x,

(2)曲线C经过伸缩变换，后所得曲线的方程为X,2+y，2=1,求曲线C的方

ly=3y

程.

［解］将F,-2A代入-2+y，2=1中得

ly=3y

(Zr)2+(3y)2=1,即曲线C的方程为4『+9)?=1.

方法指导

伸缩变换后方程的求法

似=/uc(2＞0),

平面上的曲线y=＞(x)在变换”，，八的作用下的变换方程的求法是将

ly=〃必＞0)

代入尸兀V),得?=代-),整理之后得到＜=/7(X‘),即为所求变换之后

的方程.

［注意］应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x,y)与变换后的点坐标(7，＜).

［思维变式］

y2［［＞

将圆/+)2=1变换为椭圆卷+5=1的一个伸缩变换公式为依X=axa0),求处人

v-〔丫=刀(匕＞0),

的值.

v2y2

代入/+)2=1中得言+京=］,

所以“2=9,一=4,

因为a>0,b>0,

所以a=3,h=2.

考点二极坐标与直角坐标的互化

［例2］(2021•乌鲁木齐模拟)已知曲线。的方程为(x-l)2+y2=i,C2的方程为x+y=3,

C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.

(1)以直角坐标系原点。为极点，X轴正方向为极轴建立极坐标系，求Cl与C2的极坐标

方程.

3

(2)若G与C3的一个公共点为A(异于点。)，Ci与Ci的一个公共点为B,当|。4|+两=

M而时，求C3的直角坐标方程.

［解］(1)曲线Ci的方程为。-1)2+产=1,整理得r+V—2x=0,转换为极坐标方程为0

=2cos0.

曲线。2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为pcos夕+psinJ—3=0,

(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线，则极坐标方程为6=a(0<a④，

［p=2cos0

由于G与C3的一个公共点4(异于点O),故je—c,所以|OA|=2cosa,

C2与C3的一个公共点为B,

fpcos0+psin0=3,

所以

［。=0，

3

所以|08|二----「一.

cosot+sina

3

由于IQ4I+两=®,

所以2cosa+cos6t+sina=y[\0,

即3cosa+sina=^/TOsin(a+y?)=^/T(j,

VioyioJ

故曲线C3的直角坐标方程为y=%.

方法指导

极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x=pcose及y=psinQ直接代入直角坐标方程

并化简即可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如pcosapsin6,/的形式，再

应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以加及方程两边平方是常用的变形技巧.

I思维变式］

I.已知直线/的极坐标方程为勿sin,一5=啦，点4的极坐标为A(2/，午)，求点A

到直线/的距离.

|解|由2/>sin(0-；)=啦，

得2。(孚sin6一坐cos。)=让，所以y—x=1.

由点A的极坐标为(2m，多得点A的直角坐标为(2,-2),

圻以,12+2+115/

所以d-也一2・

即点A到直线/的距离为平.

2.把曲线G：F+y2-8x—10y+16=0化为极坐标方程.

fx=pcos6,

[解1将

[y=psin9

代入x1+y2Sx~10>-+16=0,

得p2—8pcos3~1Opsin9+16=0,

所以Ci的极坐标方程为p2-8jocos9-lOpsin<9+16=0.

考点三曲线的极坐标方程的应用

［例3］(湖南师大附中考前冲刺)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线G的参数方程为

［x=1+cosa,

(a为参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐

Ly=sina

标方程为p=2小sin61

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)设动直线/：y=^(xW0,ZW0)与曲线Ci，C2分别相交于点A,B,求当人为何值时;

|AB|取得最大值，并求|48|的最大值.

［解］(1)将曲线G的参数方程化为普通方程得。-1)2+丁=1,即/+V—2x=0.

将1+y2=p2,x=pcos。代入，得/?—2pcos0=0,pWO时，有p=2cosJ,当p=0时，

0,B即极点仍满足p=2cos8.

所以曲线Ci的极坐标方程是p=2cos0.

由"=2"75sin0,得p2=2，5/sin9.

将p2=x2+y2,psin9=y代入，得x1+y2=2-\［?)y,

所以曲线C2的直角坐标方程是一2小y=0.

x=tcosa,

(2)设直线/的倾斜角为a,则/的参数方程为，。为参数，且fWO).

y=fsina

将/的参数方程代入曲线G的普通方程，得产一2允osa=0,则〃=2cosa.

将/的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得产一2小fsina=O,则。=2小sina.

所以|AB|=|以一切|=|2cos

由直线/的斜率存在且不为0,知aG(0,2)(2,兀)，

所以当a=专，

即忆=121161=一小时，|AB|取得最大值，且|A身mx=4.

方法指导

极坐标方程及其应用的解题策略

(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点

的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.

(2)求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点

的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度.

［思维变式］

(2021・长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为

X=l+cos(f)

,”为参数)，过原点O且倾斜角为a的直线1交M于A,B两点.以。为极点,

y—1+sin夕

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求/和M的极坐标方程；

(2)当ae(0,1时，求|。4|+|。用的取值范围.

［解］(1)由题意可得，直线/的极坐标方程为6=aSGR).

曲线M的普通方程为(x-l)2+(y-l)2=l,

因为x=pcos6,y=psin0,

f+y2=p2,

所以用的极坐标方程为p2-2(cos夕+sin6>)p+l=0.

(2)设A(〃l,a),B(p2,a),

且pl,P2均为正数，

将6=a代入p?—2(cos8+sin0)p+1=0,

得p2—2(cosa+sina)p+1=0,

当ae(o,彳时，J=4sin2«>0,

所以p\+p2=2(cosa+sina),

根据极坐标的几何意义，|OA|,|O3|分别是点A,3的极径.

从而|OA|+|OB|=pl+p2=2(cosa+sin。)=2陋$山(。+；).

当aG(。/时，a+扣(:，I,

故|。川+|08］的取值范围是(2,2吸］.

・黄高考•提素养一—素养为本创新应用

I.(2019・全国川卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),8(6，今)，。(也，引，D(2,7t),

弧A8,BC,CO所在圆的圆心分别是(1,0),(1,引，(1,兀)，曲线M是弧A8,曲线

此是弧云，曲线始是弧言.

D

(1)分别写出Mi，M2,M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M”Mi,M3构成，若点P在M上，且|。4=小，求P的极坐标.

|解|(1)由题设可得，弧而，~BC,7万所在圆的极坐标方程分别为p=2cos0,p=

2sin0,〃=-2cos9,

"2的极坐标方程为p=2sin册W9W竽),

苧〈夕〈兀)

历3的极坐标方程为〃=-2cos

(2)设尸(夕，。)，由题设及(1)知

若owe嗡则2cos6»=小，解得6=*

若jWdW中，则2sin9=小，解得6=胃或6=,；

若苧WJWn,则一2cos0=q§,解得。=知.

综上，P的极坐标为(小，袭)或(小，W)

或怎,竽)或(由,.

2.(2019•全国II卷)在极坐标系中，O为极点，点M(p0,d)S0>0)在曲线C：p=4sin6

上，直线/过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

⑴当仇=郛j,求p0及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求尸点轨迹的极坐标方程.

|解|(1)因为"S。，%)在曲线C上，

当&=却寸，p0=4sin1=2小.

TT

由已知得|OP|=|。41cos,=2.

设QS，。)为/上除户外的任意一点.

在RlZiOPQ中，pcos(。一知=|OP|=2.

经检验■，点从2,在曲线pcos(。一1)=2上，

所以，/的极坐标方程为pcos(。一5)=2.

(2)设P(p，6)，在Rt2\O4尸中，1。周=|。41cos6=4cos仇即0=4cos”

因为「在线段0M上，且A尸J_OM,

717T

所以。的取值范围是［不2.

「兀兀一

所以，P点轨迹的极坐标方程为〃=4cos&。£自，?•

(—2_(___尸

3.(2020•全国III卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［)=2—3/+；。为参

数且fWl),C与坐标轴交于A,8两点.

⑴求|AB|；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

［解］(1)因为IW1,由2-f一尸=0得，=一2,所以C与)，轴的交点为(0,12):

由2—31+尸=0得f=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|A8|=44而.

(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为金+若=1,<x=pcos0,)，=psinJ代入，得

直线A3的极坐标方程为30cos6»-psin0+12=0.

fx=4cos20,

4.(2020•全国II卷)已知曲线G，C2的参数方程分别为G：…2八(。为参数)，

［y=4sin20

C2：5］。为参数).

〔尸-7

(1)将C］,C2的参数方程化为普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Ci，C2的交点为P，求圆心

在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

［解］(1)G的普通方程为x+y=4(0WxW4).

由。2的参数方程得X2=尸+'+2,)2=3+/一2,

所以X2—)2=4.

故。2的普通方程为/一V=4.

_5

x+y=4,~29

⑵由炉一）2=4彳丁

3

所以点P的直角坐标为弓，刃.

设所求圆的圆心的直角坐标为(祀,0),

由题意得看=(|—x())+*解得演)=喘.

17

因此，所求圆的极坐标方程为"二石"cos夕

课时作业(六十五)

A级基础达标

1.在直角坐标系xOy中，以。为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线。的极

坐标方程为pcos[—*=l(OWeW27t),M、N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.

(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

(2)设的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

[解]⑴由pcos(，一§=1得

p(；cos。+坐sin。)=1.

从而曲线C的直角坐标方程为5+雪y=l,

即x+小)，=2.

当6=0时，0=2,所以M(2,0).

当时，。=¥，

所以封，2)-

(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为(0,¥).

所以尸点的直角坐标为(1,乎)，

则尸点的极坐标为(邛看)，

1T

所以直线OP的极坐标方程为6>=^(peR).

[x—yi3+2cosa,

2.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为1=；+2sina(a为参数)，直

线C2的方程为)，=监，以。为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线Ci交于P,。两点，求|0外|0。|的值.

|解|(1)曲线G的普通方程为。一小)2+。-2)2=4,

即f+y?—2小x—4y+3=0,

则曲线Cl的极坐标方程为p2-2小pcos(9-4psin6+3=0.

•.•直线C2的方程为y=^x,

71

，直线C2的极坐标方程为6»=^(p6R).

⑵设PS1,仇),Q(p2,02),

将6=*pGR)代入p?—2，52cos0—4psin，+3=0得，

,2—5p+3=0,：.p\p2=3,：.\OP\\OQ\=p\p2=3.

3.(2021•昆明市诊断测试)在平面直角坐标系x0)，中，曲线Ci的参数方程为'os'。

7—sint

为参数).以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=前

eR).

(1)求曲线Ci的极坐标方程；

(2)若曲线C2的极坐标方程为"+8cos6=0,直线/与曲线G在第一象限的交点为A,与

曲线C2的交点为8(异于原点)，求|AB|.

|解I(1)消去参数/得曲线Cj的普通方程为/+9产=9,故曲线G的极坐标方程为"

+8/>2sin2<9-9=0.

(2)因为A,B两点在直线/上，所以可设伞1,豳2,2.

把点A的极坐标代入Ci的极坐标方程得，p彳+8而i啜­9=0,解得pl=±V3.

已知A点在第一象限，所以pl=45.

因为点B异于原点，所以把点B的极坐标代入Ci的极坐标方程得，

p2+8cos^=0,解得/?2=—4小.

所以|AB|=|pl—必|=|5+4小|=5小.

4.(2021•茂名一模)在平面直角坐标系X。)，中，以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴，

9rncf)[x=2+tcosa,

建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为〃个，直线/的参数方程为..a

1cosu&=1+/sina

为参数，OWQWTC).

(1)若。=竽，求/的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

(2)若/与C有两个不同的交点A,B,且尸(2,1)为AB的中点，求|4B|.

[x=2+rcosa,4

[解](1)由直线/的参数方程.(，为参数)及。=甘7r可得其直角坐标方程为

ly=l+/sina4

x+y—3=0,

2cos0

由曲线C的极坐标为方程0=:黑夕

得其直角坐标方程为v=2x.

x=2+rcosa,"为参数）,

(2)把直线/的参数方程Ul+rsina

代入抛物线方程)2=2X得?sin2a+2r(sina-cosa)—3=0(*),

设A,8所对应的参数分别为九，储

.,2(sina-cosa)

则"+L一砧一•

：P(2,1)为4B的中点，

「，、一石，，力+亥sina-cosa

・•・p点所对应的参数为三一=—一砧-=0,

兀

/.sina-cosa=0,即a='.

则(*)变为:产-3=0,此时户=6,Z=±V6,：.\AB\=2y[6.

B级能力提升

5.(2021.济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos20=sinQ,直线/的参数方程为

卜一2，

1(/为参数)，其中。>0,直线/与曲线C相交于M,N两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若点尸(0,。)满足武薪[=4，求a的值.

[解](1)曲线C的极坐标方程可化为p2cos2。=您in0,

x=pcos6

由',得曲线C的直角坐标方程为y=3

y=/>sin0

骂

21

⑵将直线/的参数方程(t为参数)代入y=*,

y=a+^t

得1尸得—a=0,/=]+3a>0.

2—4a

设M,N对应的参数分别为力，⑵则力+，2=],f〃2=一^一,

圻以14-1_|PM+|PN|_lA-M

所以|PM|PN|—IPMI/WI-1目

1\/(/I+K)2-44及79'(3)

\t\ti\|-41

=4,

化简得644—12〃-1=0,解得或。=一舍去)，

所以〃=；.

6.(2021•江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为p=2cosa若极坐标系内异于。

的三点A(pl，8)，B(p2,少+目，C\p3,少一部八，p2,p3>0)都在曲线M上.

(1)求证：小〃1=〃2+〃3；

(2)若过B,。两点的直线的参数方程为j。为参数)，求四边形OB4C的面

积.

［解］⑴由题意得pl=2cos9，"2=2cos(e+^),p3=2cos|

贝U"2+"3=2cos(e+g+2cos(e-§=2V5cos(p=y［3p\.

(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为X2+/-2X=0,

将直线8c的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得於一店r=0,解得力=0,及=小,

...在平面直角坐标中，80,坐)，C(2,0),

则p2=l,p3=2,0=/，:.pl=g

四边形OBAC的面积S=SzMO8+Sz^oc=；plp2si吟+；pl〃3si吟

第二节参数方程

・梳教科•固基础-------基固为根必备知识

［基础自梳］

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标（x,y）是某个变数f

的函数：并且对于f的每一个允许值，由函数式所确定的点P（x,y）都

ly=g（。，ly=g⑺

x=7⑺，

在曲线c上,那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数/叫做参变数，简称

y=g(t)

参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.直线、圆、椭圆的参数方程

x=xo+fcosa,

（1）过点M（用，丸）,倾斜角为a的直线/的参数方程为{t为参数）

yo+rsina

⑵圆心在点M）（xo,加），半径为r的圆的参数方程为（=xo+rcos0,

二.A（。为参数）

也十rsin”.

（3）椭圆/+方=l（a>/>0）的参数方程为x=“COS(p

（夕为参数）

bsin。.

思考拓展

直线参数方程中参数的几何意义

x=xo+rcos«)

经过点P（xo,州），倾斜角为a的直线/的参数方程为（，为参数）.若A,

J=yo+/sina

B为直线/上两点，其对应的参数分别为“，t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为

to,则以下结论在解题中经常用到：（1）m="芦；

/1+/?

(2)|PM|=|/ol=2

(3)|A用=应一对;

(4)\PA\-\PB\=\h-ti\.

［基础自测］

+

1.（教材改编）在平面直角坐标系中，求曲线C：=2，（，为参数）的普通方

v=l+

程为.

［答案］x~y-l=0

［x=3cos0,

2.曲线C：八（。为参数）的普通方程为_________，表示_________

ly=2sm0

［答案］焦点为（±小，0）的椭圆

卜T［x=cos0,

3.已知直线/：<厂（/为参数），曲线Ci：9为参数）.设/与G

-3,ly=sin6

相交于A,B两点,\AB\=.

［答案I1

・研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一参数方程与普通方程的互化

I例1］把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

|x=3r+2,

(1),。为参数)

|解|⑴由y=Ll得？=y+l,代入x=3/+2得工=3。+1)+2,故所求普通方程为x

—3>-5=0,这是一条直线.

fx=5cos6

(2)…0(。为参数)

ly=4sm6

^=cos022

I解］由条件得由cos2^+sin20=1得1.即所求普通方程表示椭

vZJ10

4=sin0,

圆.

[x=2+sin%,

(3)(。为参数).

[y=—1+cos20

[解]由x=2+sin220Wsin20Wl=2W2+sin2jW3=2〈xW3,

x=2+sin20,

、y=­1+cos23

卜一2=sin2。，

=>ly=-l+l-2sin2(9

fx-2=sin261

=,=普通方程为2x+y-4=0(2WxW3).

［j=—2sin-0

表示线段.

方法指导

消去方程中的参数一般有三种方法：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数.

(2)利用三角恒等式消去参数.

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.

I思维变式］

x=tfx=3cos(p,

1.在平面直角坐标系xOy中，若直线/：。为参数)过椭圆C：.(9

y=t-a［y=2sin(p

为参数)的右顶点，求常数”的值.

［解］直线/的普通方程为工一)，一。=0,

?2

椭圆C的普通方程为§+：=1,

椭圆C的右顶点坐标为(3,0),

•直线/过(3,0),

**•3—〃=0,

**•4=3.

2.如图，以过原点的直线的倾斜角。为参数，求圆/+产一工=0的参数方程.

।解।圆的半径为:，记圆心为d},o）,连接①

则NPCx=26»,

故xp=；+gcos20=cos20,

%=；sin2<9=sin"cos0（9为参数）.

X—-QQ^0

''(。为参数).

{y=sin0cos6

考点二参数方程的应用

I例2］在直角坐标系x°y中，曲线C的参数方程为2c°sf

(。为参数)，直线/的

j=4sin0

\x=1+rcosa,

参数方程为,。为参数).

［y=2+rsina

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.

fx=2cos0

［解］(1)由曲线C的参数方程(0为参数)，

ly=4sin6

(x

COZ)S5

得V

［sin6=~

所以©>+@)2=1,即

-余=1,

22

所以曲线C的直角坐标方程为1.

4lo

当cosaWO时，/的直角坐标方程为y=tana-x+2—tana,

当cosa=0时，/的直角坐标方程为x=l.

(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(l+3cos2a)尸+4(2cosa

+sinct)/—8=0.0

因为曲线C截直线/所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为九，t2,则八

+?2=0.

.4(2cosa+sina),,

又由①传fi+f2=——l+3cos2a—L,故2cosa+sina=0,于直线/的斜率Z;=tana=

-2.

方法指导

1.应用直线参数方程的注意点

在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、

余弦值，否则参数不具备该几何含义.

2.圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们

的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.

[思维变式J

在极坐标系中，已知圆C的圆心C(啦，力，半径/'=小.

(1)求圆C的极坐标方程；

|x=2+fcosa

(2)若%7r直线/的参数方程为…,。为参数)，直线/交圆C于A,B

4[y=2+ftina

两点，求|AB|的取值范围.

[解]⑴•.•点C(小，，的直甫坐标为(1,1),

圆C的直角坐标方程为(X-1)2+()，-1)2=3.

化为极坐标方程是p2—2p(cos9+sin0)—1=0.

|x=2+fcosa

(2)将,代入圆。的直角坐标方程(%—1)2+()，-1)2=3,

y=2+/sina

得(1+fcosa)2+(l+/sina)2=3,即尸+2f(cosa+sina)—1=0,则—・，2=—1,其中人,及

为以上方程的两根.

|AB|=加一句="|+切2-4fll2=2-2+sin2a.

VaG[0,；),各，：.2y[2^\AB\<2y[3,即的取值范围是[2皿，2®

考点三参数方程与极坐标方程的综合应用

r1

X=—jt

［例3］（2021•福州市质量检测）在直角坐标系xOv中，直线/的参数方程为《r

、产“+当

（f为参数，“WR）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方

程为"=4cos。，射线。=堂/）》0）与曲线C交于。，P两点，直线/与曲线C交于A,B两点.

（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵当QB|=|OP|时,求a的值.

［解］⑴将直线/的参数方程化为普通方程，得小x+厂a=0.

由p=4cos得p2=4pcos0,

从而X2+>,2=4X,即曲线C的直角坐标方程为x2—4X+）2=0.

p=4cos0

⑵解法一由b喙*0），得心!）■

所以|OP|=2,

将直线/的参数方程代入圆的方程/一4x+>2=0中，得»+（2+q5a）/+a2=0,

由/>0,得2小一4V“V2小+4.

设4,8两点对应的参数分别为力，%__________

则|A3|=比一及|=Y（力+-4八，2=、4+43a—〃?=2,解得，a=0或〃=4小.

所以，所求〃的值为0或4小.

解法二将夕=?p20）化为直角坐标方程，得木工一y=0（x20）,由（1）知，曲线C:（工一

2）2+尸=4的圆心C（2,0）,半径为2,

由点到直线的距离公式，得点C到该射线的最短距离d=-p理==小，

［3+1

所以该射线与曲线C相交所得的弦长为|OH=2y22r小）2=2・

圆心C到直线/的距离为：哈色=凶口，

\3+1L

由（小g――^2+12=22,得（2小一a）2=12,得2小一a=±2小，解得，a=。或a=4小.

所以，所求a的值0或4小.

方法指导

参数方程和极坐标的综合应用

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标

方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

［思维变式］

\x=—1~t

在平面直角坐标系xOy中，己知直线/的参数方程为,（f为参数）.以坐标原

［y=2+t

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为〃+p2sin20=2,直线/

与曲线C交于4,3两占.

：1）求直线/的普通务程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P的极坐标为（坐，目，求|阿・|PB|的值.

|解|⑴/的普通方程为x+y-1=0.

'：p2+pW0=2,.•.♦+。+户2,

即曲线C的直角坐标方程为亍+y2=l.

x=

(2)解法一尸g,3在直线/上，直线/的参数方程为＜

y=

入曲线C的直角坐标方程得g—坐｝+2(；+监'＞一2=0,

设A,B两点对应的参数分别为jt2,则

,z

\R\\-\PB\=\t'l|-|r2|=|/2|=|.

y=1-x4

解法二由,消去y,得3f—4x=0,解得xi=0,X2=\

M+2)?=2"$

不妨设A(0,l),B(*-1),又「g,1),

则照|=-^J(o-1)2+(i-1)2=^,

IP阴=1&_/+(_q一»=斗，

|M||PB|=^X^=|.

・黄高考•提素养一—素养为本创新应用

X--COS^t9

1.(2020.全国I卷)在直角坐标系xOy中，曲线G