高中数学-【课堂实录】双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版《数学》选修2-1第二章2.3.2节

《双曲线的简单几何性质》

教学设计

一、教材分析:

本节知识是《全日制普通高级中学教科书数学•（选修2T）》第二章“圆锥曲线与方程”

第2.3节《双曲线的简单几何性质》的第一课时，是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也

是高考的一个考点。它是在学生已掌握双曲线的定义及标准方程的基础上，引导学生灵活运

用双曲线的定义、方程和图象，深入研究双曲线的简单几何性质，进一步使学生体会、理解、

熟练运用解析几何这门学科的研究方法，培养学生的数形结合思想，提高学生的解析几何的

思维空间。

二、学情分析

所教班级的学生数学基础扎实，自主学习能力较高。在本节课的学习中，可以发挥学生

的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学。因为学生已经学习了椭圆的简单几何性

质，所以本节课通过类比、推导、归纳出双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离

心率）和独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过本节的学习，可使学生在已有知识

的基础上，拓展延伸、构建新知识体系，对由数到形的思想、方法有更深刻的认识。

三、教学目标

（1）知识、能力目标：

①运用双曲线的标准方程讨论其范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等简单几何性质；

②掌握双曲线标准方程中心"C的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及性质；

③能运用双曲线的简单几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）过程、方法目标：

①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的简单几何性质，培养学生的观察能力，想象能

力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生参与到探究双曲线几何性质的活动中，能恰当地把双曲线标准方程恒等变形,

掌握利用圆锥曲线的方程研究其简单几何性质的基本方法，进一步加深对直角坐标系中曲线

与方程的概念的理解，体会等价转化思想。

③能运用函数的有关知识，探寻双曲线的渐近线，初步体验极限意义，感受数与形的对

立与统一，体会函数与方程的思想。

（3）情感态度、价值目标：

①引导学生自主探索、交流合作解决问题，激发他们会学、爱探究的乐趣，增强合作意

识。

②培养学生严谨对待知识的科学态度和探索精神，而且能用运动、变化的观点分析理解

事物。

四、教学重点、难点

教学重点：双曲线的渐近线及其探究过程。

教学难点：渐近线几何意义的应用。

五、教学方法：启发诱导、讲练结合

六、教学用具：多媒体

七、教学过程：

(-)授课流程

(-)教学流程

1.新课引入

首先用多媒体为学生伴着优美的双曲线图片播放校园歌曲《悲伤的双曲线》，伴着动听

的旋律吸看着歌词欣赏完歌曲，自然而然的进入了本节课的内容:找寻双曲线“悲伤的原因。”

请同学们复习回顾已经学习过椭圆的简单几何性质，利用多媒体来演示图象。通过类比椭圆

的相关知识，探究双曲线的性质。

2.观察类比

本节课内容是利用类比的教学方法，教学中通过与“椭圆的简单几何性质”类比讲解,

从“形”和“数”两个方面探究双曲线的简单几何性质。让学生试着按照椭圆的简单几何性

质，首先观察双曲线的形状，自己进行探究归纳总结出双曲线的简单几何性质。一般学生能

得出双曲线的范围、对称性、顶点（实轴、虚轴），教师用多媒体演示，同时比较双曲线的

这四个性质和椭圆的性质的联系及区别。

【意图：利用类比方法，目的加强新旧知识的联系，引起学生学习的兴趣，激发求知

由椭圆的几何性质，我们能利用长、短轴较准确地画出椭圆的图形。那么，利用双曲线

的实、虚轴能否画出双曲线的图形呢？

教师启发学生，从曾经学习过的反比例函数y=■的图象入手，教师引导学生观察，它

X

的图象是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与X、y轴无限接近，此时X、y轴是y=L的渐

x

近线【为后面引出渐近线的概念埋下伏笔】。引导学生归纳双曲线的图象有何特征？有没有

渐近线？

【意图：从已有知识出发，逐层探究，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的兴

趣，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。】

先从几何“图形”的角度入手研究图象特征。指出利用双曲线的对称性，只需观察它

2

在第一象限的图形，进一步探寻双曲线三1(a>0,b>0)的渐近线。利用几何画板直

a~

9

Y

观演示双曲线・=l(a〉O,b>0)在第一象限内的图形，引导学生观察其图象向远处

CI

bb

无限伸展的变化趋势，可知其在远处时与直线y=±—x无限接近，所以，直线y=±—x叫

aa

22

做双曲线「一勺=1(a>0,b>0)的渐近线。

a~b~

接着，从数的角度进行强调，只需将双曲线「一二*=1(a>0,b〉0)中的“1”改为“0”

a2b-

即可求得其渐近线方程。

利用类比的方法，可求得等轴双曲线的渐近线方程是y=±x。

【意图：将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通

过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程，这样渗透数形结合的数

学思想。】

这样，明确了画双曲线时的远处趋向问题，就可以比较精确的画出双曲线。但是如果仔

细观察，渐近线实质就是双曲线二-4=1(a>0,b>0)过实轴

a"b~

端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线％=±。,丁=±8所成

的矩形的两条对角线如右图。利用数形结合，可加强对双曲线

的渐近线的理解。

止匕时，通过幻灯片展示求双曲线的渐近线的方程的方法：(1)

直接根据渐近线方程写出；(2)利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。

【意图：加强学生对于双曲线的渐近线的应用和理解。】

4.拓展延伸一离心率的几何意义

因为椭圆的图象是闭合的，所以通过离心率e可以区别椭圆的扁平程度，而双曲线的两

支是向外无限延伸的，它的离心率e有什么几何意义呢？

根据刚得到的双曲线的简单几何性质可得：•.•e=g,c>a,C?那

a

么，双曲线的离心率与其渐近线之间是否有联系呢？

b

由等式，一/=〃，可得：a

,所以，利用双曲

广v?hV?Y~

线——2r=l(a>0,b>0)的渐近线方程y=±—x,或双曲线J—・=l(a>0,b>0)的渐

ahaab-

近线方程y=±@x,都可以直接求出离心率e,但要注意确定双曲线的焦点位置。

b

b_

同时引导学生探究：e越小（越接近于1）,。就越接近于0,双曲

\W/

b_

线开口越小；e越大，。就越大，双曲线开口越大。所以，椭圆的离心___________________

F1#1。4F2X

率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率是刻画双曲线开口大小的

一个量：离心率越小开口越小，离心率越大开口越大。

【意图：通过类比推理双曲线的离心率e的几何意义，既强化了数形结合的思想，又

从“数”的角度体现了离心率与渐近线的联系，提高了学生的应变能力和严谨的学习态度。】

5.知识应用

为突出本节课的学习内容，帮助学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例题1、【双曲线的简单几何性质的应用】求双曲线9y2—16x^=144的实半轴长和虚半轴

长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。

y2-y2i

解：把方程化为标准方程得，4232-

由标准方程可得:实半轴长：a=4

虚半轴长：b=3半焦距：c="+32=5

焦点坐标：（0,-5）,（0,5）

离心率：&_三_m

a4

变式：求双曲线9y2-16x2=744的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、离心率、

渐近线方程。【学生回答】

引导学生总结本题的方法感悟：若题目给定的双曲线方程不是标准形式，则先要化为标

准方程，后再根据标准方程，分别求出有关几何量。

【意图：例题和变式练习的选用目的，目的是为了在例题的基础上作一题多变（变条件，

变结论），通过训练学生一题多解、多题一解，开拓其解题思路，使他们在做题中善于发展

思维、总结规律、提高知识的应变能力和发现问题、解决问题的能力。】

例题2、【由几何性质求双曲线的标准方程】已知双曲线顶点间的距离是16,离心率是°,

4

焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。

解：因为双曲线的焦点在x轴上，2a=16,e=—,

4

所以a=4,c=10,b=6

所以标准方程是："2/=[

6436

渐近线方程是：y=±±x,

4

焦点石（―10,0）,F2（10,0）

【变式】若焦点在坐标轴上，中心在原点，求双曲线的方程，并求它的渐近线和焦点坐标。

【学生作答：焦点在X轴时标准方程:主：一£=1渐近线方程是：y=±-x,

64364

焦点石（—10,0）,乙（10,0%占在岫什*-酢+种/X2.建

焦点在y轴时标准方程：--------=1,渐近线：

6436

4

v=±—x]

3

例题3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最

小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为20m,高42m.选择适当的坐标系，求出此

双曲线的方程.

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最

小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最

小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

解：如图所示，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，

上、下口的直径CC'、BB'平行于x轴，且|CC'|=13X2（行，|BB'|=20X2（m）.

22

L-J

设双曲线的方程为/b2（。>0,">0）.

令点B的坐标为(20,%),点C的坐标为(13,y2),则.因为点B、C在双曲线上，所以

202y,2

16

122b2Yi

12

匕22解得

亘—江=15,

y=—b

122b2〔212

由为一切==42得人-24

22

.所求的双曲线方程为：-—-1=1

144576

【意图：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择

适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来。】

6.沙场练兵

1、求双曲线25y2-16x2=400的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的

方程。

【学生抢答】

2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：【让学生自己练习，两个同学到黑板板演。】

⑴顶点在r轴上，两顶点的距离后，且离心蔡=9

4

(2)焦点在y轴上，焦距是16,离心率e=g

【意图：熟悉并运用双曲线的几何性质解题，加强应用性，保证学生准确掌握当堂知识。】

7.课堂小结

知识小结

(1)学生小结：＜2、方法小结

3、思想小结

(2)教师小结：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线

的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的简单几何性质解决问题以及

生活问题；开始大家欣赏的歌曲《悲伤的双曲线》告诉我们：没有规矩，不成方圆。只有遵

循事物发展的规律，我们的探究才有价值。

8.课后练习

(1)巩固练习：课本P61练习3,4。

课本P61习题1-4,巩固并掌握课上所学的知识。

(2)课外实践：双曲线的简单几何性质性质在我们生活中也有很多用处，像双曲线

槽、PhotoShop双曲线修图法，以及天体在太空中通过五个宇宙速度离开地球的运动轨迹也

主要是双曲线和椭圆，请大家课后查阅相关资料•，探究一下我们身边哪些地方用到双曲线的

简单几何性质。

10.板书设计

2.3.2双曲线的简单JL何性质

5、例2解答

22例3解答

双曲线5―4=1（。>00>0）的性质

a~b~

学生板演：课堂训练

1、范围：x<-a^x>a,ywR0

2、对称性：双曲线的对称轴是x轴、y轴，

原点是它的对称中心。

3、顶点：4（―a,0）,4（a,0）,称4儿为实轴，

用坊为虚轴，其中用（0,-杨员（0涉）。

4、离心率：e=—=1>1

a\a

5、渐近线：y=±^X

a

【注】1、本节课引导学生采用类比椭圆的简单几何性质的推理方法，利用双曲线的标准方

程探究双曲线的简单几何性质。在教学中，凡是学生自己经过努力能得到的结论全部放手让

学生自己得到，使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥，这样有利于调动学生学习的积极性,

激发学生的学习兴趣，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

2、本节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的存疑设问，用悬念激发学生的情

趣，促进思考。结合学生实际，把“共渐近线的双曲线”、“双曲线的第二定义”和“直线

与双曲线的关系”放到下一节课来完成。

3、最后，设计“课外实践”作业，目的是激发学生的学习兴趣，从多角度刺激学生理解

双曲线的简单几何性质。

《双曲线的简单几何性质》的学情分析

通过初中对反比例函数的学习，学生对反比例函数的图象，即双曲线，有图形上的感知，

但没有形成理性认识。认识到双曲线在生产和科学技术中的广泛应用，以及在高考中的重要

地位后，学生较强的求知欲望。

因为通过2.1“直线和圆的方程”和2.2“椭圆”的学习，学生对坐标法有较深刻的认

识，懂得如何通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，可以按照研究椭圆的几何性质

的方法和步骤，推出双曲线的范围、对称性、准线、离心率。所以，学生具备探究双曲线几

何性质的知识和能力基础。但双曲线的标准方程5-与=1(a>0,方>0)的等价方程

ab

反映的几何性质是椭圆所没有的。学生缺乏把标准方程

［一台=1(。>0,6>0)等价转化为Iy|=2|X|J1一(三)2的意识,

对“形”与“数”

的对应关系认识不够深刻，难以把数量关系转化为图形性质，没有极限的观念，难以认识到

当|X|逐渐增大时,逐渐增大，|X|无限增大,接近于1,难以探

究出双曲线的渐近线。因此，本节课的难点是探究双曲线的渐近线。

《双曲线的简单几何性质》的效果分析

《2.3.2双曲线的简单几何性质》是一节新授课，主要利用类比授课法，从''数"和

“形”两个角度探究双曲线的简单几何性质。教师所设计的问题具有明显的层次性，由浅入

深，引导学生进行探究，基本做到了“把问题定位在学生认知的最近发展区”实现了预期目

标：

一、目标定位准确

本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情

后，确定的教学目标：利用类比法引导学生探究双曲线的简单几何性质；渗透数形结合和分

类讨论思想。这一些都随着课堂的实践得到了落实，完全符合学生“认识规律”，以递进的

形式呈现：类比推理、观察分析、抽象概括，提炼上升。可以说，本节课的教学目标实现了

“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体。

二、主体地位突出

1.还课堂给学生

把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一。本节课教师所预设

和生成的问题都贴近学生“思维最近发展区”，学生能自主探究、有兴趣思考研究。对于个

别有难度的问题，学生也会主动通过请教老师、小组合作等方式解决。本节课极大地保护和

激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了充分发挥。

2.还探究权给学生

本节课，无论是范围、顶点、对称性，还是渐近线、离心率的逐步生成，学生都能从“数”

和“形”两个角度进行探究，类比推理得到结论。但数形结合和分类讨论的思想在双曲线的

简单几何性质的逆应用中巧妙“会师”，双曲线的几何性质在生活中的应用，数形结合和理

论来源于实践的思想再次升华体现。这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生

找到内化和建构的多种途径。这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能

影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去。

3.还合作权给学生

本节课每个问题的递进式提出，真正地让学生动起来，让课堂活起来了。我们发现每个

学生能够自主地动眼看、动手算、动脑想、动口说，确实能够全身心投入到学习过程中去,

更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致。这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交

流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景。这种“生生合作”

的经典，更来自于“师生合作”的源头。因为本节课教师始终把自己放在和学生平等的位置

上，“同欢乐，共困苦”，让学生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，展

现了一种兴趣盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景。

三、主导作用高效

本节课教师的主导作用得以充分发挥，综观整节课五个性质的呈现彼此衔接，水到渠成。

教师启发引导学生通过类比推理、数形结合逐层探究，成就感得到极大的满足。这得益于教

师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养，也借助于教师过渡衔接之妙：和蔼微笑的教

态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一。

四、情感价值增色

本节课的教学内容是通过双曲线方程研究双曲线的性质，类似于“椭圆的简单的几何性

质”的探究过程。教学中拟采用类比法授课：让学生自己进行探究得到结论。在教学中，学

生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,

让学生自己解决。这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习成就感，同时也有利

于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能

力。

教师在例3中通过渗透“降低能耗、改善环境”的思想，唤起学生学以致用的责任感;

在最后布置作业中“课外实践”这一环节，以卫星进入预定轨道时的轨迹既有椭圆又有双曲

线，来激发同学们奋发图强，努力学习，早日圆自己的“太空梦”！

本节课值得改进的地方：

一是能将学生的练习投影展示一下，让大家有则改之无则加勉，巩固效果会更好；

二是教师在使用白板时最好及时清除书写痕迹，以免影响投影效果；

三是由于应用多媒体，课堂容量增加，但个别知识容易被一带而过，引不起学生的足够

重视。

《双曲线的简单几何性质》的教材分析

1.教学内容的地位及作用

本节知识是《全日制普通高级中学教科书数学•(选修2-1)》第二章“圆锥曲线与方程”

第2.3节的内容，是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点。它是在学生

已掌握双曲线的定义及标准方程的基础上，引导学生在灵活运用双曲线的定义、方程和图象

解题的基础上，深入研究双曲线的简单几何性质，进一步使学生体会、理解、熟练运用解析

几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何的思维空间，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

双曲线是一种重要的圆锥曲线，具有比椭圆和抛物线更丰富的几何性质。双曲线的简单

几何性质揭示了双曲线最基本的特征，其推导过程蕴含了等价转化、数形结合、函数与方程

等重要的数学思想方法，是训练学生数学思维能力的良好题材。因此，我确定教学目标三维

目标如下：

(1)知识、能力目标:

①运用双曲线的标准方程讨论其范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等简单几何性质;

②掌握双曲线标准方程中心"C的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及性质；

③能运用双曲线的简单几何性质解决双曲线的一些基本问题。

(2)过程、方法目标：

①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的简单几何性质，培养学生的观察能力，想象能

力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生参与到探究双曲线几何性质的活动中，能恰当地把双曲线标准方程恒等变形,

掌握利用圆锥曲线的方程研究其简单几何性质的基本方法，进一步加深对直角坐标系中曲线

与方程的概念的理解。体会等价转化思想；

③能运用函数的有关知识，探寻双曲线的渐近线，初步体验极限意义，感受形与数的对

立与统一，体会函数与方程思想。

(3)情感态度、价值目标：

①引导学生自主探索、交流合作解决问题的思路，激发会学、爱探究的乐趣，增强合作

意识。

②培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动、变化的观点分析理解

事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、

理解和掌握有一定的困难。在教学过程中，把探究渐近线作为教学重点，通过诱导、分析,

巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程，可以培养学生的创造性思维。这样处理将

数学思想渗透于实践，学生易接受。因此，根据本节的教学内容、教学大纲以及高考的要求，

结合学生现有的实际水平和认知能力，确定教学重、难点如下：

教学重点：双曲线的渐近线及其探究过程。

教学难点：渐近线几何意义的应用。

4.教学方法：启发诱导、讲练结合

本节课的教学内容是通过双曲线方程研究双曲线的性质，类似于“椭圆的简单的几何

性质”的探究过程。教学中拟采用类比法授课：让学生自己进行探究得到结论。在教学中，

学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问

题，让学生自己解决。这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习成就感，同时也

有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题

的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，常利用它作双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明

方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通

过诱导、分析，从己有知识出发，层层探究发现，利用己知，启迪思维，调动学生自身探索

的内驱力，进一步清晰双曲线的简单几何性质，培养思维的深刻性。

例题的选备，拟采用一题多变（变条件，变结论）的思路，训练学生一题多解，开拓其

解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问

题能力。

《双曲线的简单几何性质》的评测练习

例题1、【双曲线的简单几何性质的应用】求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴

长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。

.X2-V2]

解：把方程化为标准方程得，4232-

由标准方程可得:实半轴长：a=4虚半轴长：b=3半焦距：.=山2+32=5

焦点坐标：（0,-5）,（0,5）离心率：「_£_二

----

a4

变式：求双曲线9y2-16XJ-144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、离心率、

渐近线方程。【学生回答】

引导学生总结本题的方法感悟：若题目给定的双曲线方程不是标准形式，则先要化为标

准方程，后再根据标准方程，分别求出有关几何量。

【意图：例题和变式练习的选用目的，目的是为了在例题的基础上作一题多变（变条件，

变结论），通过训练学生一题多解、多题一解，开拓其解题思路，使他们在做题中善于发展

思维、总结规律、提高知识的应变能力和发现问题、解决问题的能力。】

例题2、【由几何性质求双曲线的标准方程】已知双曲线顶点间的距离是16,离心率是』，

4

焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。

解：因为双曲线的焦点在x轴上，2a=16,e=-,

所以a=4,c=10,b=6

所以标准方程是："2/=]

6436

渐近线方程是：y=±-x,

4

焦点后（一10,0）,巴（10,0）

【变式】若焦点在坐标轴上，中心在原点，求双曲线的方程，并求它的渐近线和焦点坐标。

【学生作答：焦点在X轴时标准方程:三一亡=1渐近线方程是：y^+-x,

64364

焦点石（-10,0）,E（10,0）隹占九柚口十沸七铲/X2.淅.在

焦点在y轴时标傕方程：-------=1,惭近线：

6436

例题3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最

小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为20m,高42m.选择适当的坐标系，求出此

双曲线的方程.

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最

小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最

小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

解：如图所示，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，

上、下口的直径CC'、BB'平行于x轴，且|CC'|=13X2（m）,BB'|=20X2（m）.

22

二-J

设双曲线的方程为/b2（。＞0力＞0）.

令点B的坐标为（20,%）,点C的坐标为（13,yz）,则.因为点B、C在双曲线上，所以

竺一二=1f16

122b2

Y2解得12

13y2_15.

kF/

由为一切=—=42得/?=24

22

，所求的双曲线方程为：-—-。二=1

144576

【意图：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题：（1）选择

适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来。】

6.沙场练兵

1、求双曲线25y2-16x2=400的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的

方程。

【学生抢答】

2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：【让学生自己练习，两个同学到黑板板演。】

⑴顶点在r轴上，两顶点的距离后，且离心率e=9

4

4

（2）焦点在丁轴上，焦距是16,图心率6?二大

【意图：熟悉并运用双曲线的几何性质解题，加强应用性，保证学生准确掌握当堂知识。】

《双曲线的简单几何性质》课后反思

本节知识是《全日制普通高级中学教科书数学•（选修2-1）》第二章“圆锥曲线与方程”

第2.3.2节《双曲线的简单几何性质》的第一课时，是教学大纲要求学生必须掌握的内容,

也是高考的一个考点.它是在学生已掌握双曲线的定义及标准方程的基础上，引导学生灵活

运用双曲线的定义、方程和图象，深入研究双曲线的简单几何性质，进一步使学生体会、理

解、熟练运用解析几何这门学科的研究方法，培养学生的数形结合思想，提高学生的解析几

何的思维空间。

因为所教班级的学生数学基础扎实，自主学习能力较高。在本节课的学习中，首先用多

媒体为学生伴着优美的双曲线图片播放校园歌曲《悲伤的双曲线》，伴着动听的旋律吸看着

歌词欣赏完歌曲，自然而然的进入了本节课的内容：找寻双曲线“悲伤的原因。”充分发挥

学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学。因为学生已经学习了椭圆的简单几

何性质，所以本节课通过类比、推导、归纳出双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、

离心率）和独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。通过本节的学习，可使学生在已有知

识的基础上，拓展延伸、构建新知识体系，对由数到形的思想、方法有更深刻的认识。

本节课利用类比的教学方法，教学中通过与“椭圆的简单几何性质”类比讲解，从''形"

和“数”两个方面探究双曲线的简单几何性质。而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知

识的正迁移作用可在本节课中充分显示。让学生试着按照椭圆的简单几何性质，首先观察双

曲线的形状，自己进行探究归纳总结出双曲线的简单几何性质。而这个认知对于现在的学习

会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突。

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