行列式章节作业

章节作业

第一章行列式

一、单项选择题

sinx-cosx

1.行列式(A).

cosxsin%

A.1B.0C.-1D.2

k-2

2.行列式wO的充分必要条件是

-3

(C).

A.kw-lB.攵。4

C"w-1且攵。4D.Zw-l或攵。4

120

3行列式-103=(D).

111

A.1B.0C.-1D.5

123

4.行列式231=(c).

312

A.1B0C.-18D.6

a

\\。12。134xa彳24g-3a

a弓

5.若2\。22023=1,则%M2a,4-3Q二(D).

。31〃32.33B。《2%q-3a

A.1B.-2C.-3D.6

6.若三阶行列式。=|%|=祖，则A=|-加相=(B).

A.m2B.-m2C.m4D.-m4

Q1%4b2b3

7.设2=x}x2x3=4,D2-X|x2x3=1,则

X%%y%%

a}+4a?+b)%+&

2%]

2y2y22%

(C).

A.5B.10C.20D.6

a\Ia\24132q]—3tZp5Q13

8.若£)=Cl]J^^22。23=IQ=4。2]2。2]34^225。23,贝1JDx=

%]“32%34^i^3]5^3^33

(B).

A.8B.-60C.24D.-24

—1050

740

9.行列式中，元素X的代数余子式的值为

24106

3—121

(B).

A.24B.42C.-42D.-24

10.设四阶行列式。的第三列元素为T,2,0,1,它们的余子式

的值依次分别为-2,-5,-9,4,则。=(A).

A.-4B.8C.16D.12

11.当（）成立时，〃（〃>2）阶行列式的值为零.（B）.

A.行列式的主对角线上的元素全为零

B.行列式中零元素的个数多于〃个

C.行列式中每行元素之和都相等

D.行列式中每行元素之和都为零

12.下列结论不正确的是

D).

A.若上三角形行列式的主对角线上的元素全为零，则行列

式的值为零.

B.若行列式中有两列元素对应成比例，则行列式的值为零.

C.若行列式中某行元素都是零，则行列式的值为零.

D.行列式中每列元素之和都相等，则行列式的值为零.

a\\a\24〃

13.设D=c'%%"，则下式中正确的是

••••・・••・・・・

an2ann

D).

a

A.a,iAi+i2^i2+••…+a加。=。

B.qj4/+&j■+…+amMg=0

C.%+.....+ain\i~D

D.4+WjA),+…+=D

kx+z=0

14.若方程组＜2%+矽+z=0有非零解，则左取值为(C).

kx-2y+z=0

A.k=0B.k=-lC.k=2D.左=一2

kx+y-z=0

15.若方程组＜x+6-z=0仅有零解，则(C

2x-y+z=0

A.左w—2B.kw—1

C.Zw—2且ZwlD.攵。一2或k^\

二、填空题

125

1.若行列式13-2=0,则％=3

25k

2aa

2.行列式a2a-8+2a3-6a2

aa2

0a0

3.行列式b0c0

0d0

111

4.行歹U式0216

003

a00b

ab0

6.行列式:(a2-b2)2

ba0

b0Qa

%111

41X11r,3

7.若=0,贝ij%=-3或1

llxl

111%

labc+d

8.行列式;bcd+a

-___0

cda+b

1dac+h

0100

9.行列式:020

-24

003

4000

123

10.214中a的代数余子式的值为-3

43a

11.已知四阶行列式。中第二列元素依次为：1,2,0,-1,它

们的余子式依次分别为：2,1,3,-1,则的=1.

12.设五阶行列式0=2,对。做以下变换：先交换。的第一行与

第五行，再转置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四

列，则行列式列的值为-12.

10a1

0-1b-1

13.按第三列展开计算行列式

—1—1c—1

一11d0

a+b+d

Xy0...00

0Xy…00

00X...00

14.n阶行列式=xn+(-1)n+1bn

000...Xy

y00...0%

+%2+%3=0

15.已知方程组<玉+4%2+%3=。有非零解，则2的值为1或

玉+%+丸%3=。

z2

anX\+a%%,+ii3%3=0

16.当方程组｛a2lx]+a22x2+a23x3=0满足D=/0—时，有唯一

。3内+%%2+。33%3=0

零解.

三、计算题

4427327

1.5543443；

7721621

xy%+y

2.yx+yx；

%+yxy

xyx+y

yx+yx=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx—y3-(x+y)3—x2

x+yxy

=3xy(x+y)-/_3x2y-3y2x-x3-y3—x3

=-2(/+/)

111

3.abc；

/b12c2

111

ahc=be2+ca2+ab2—ac2—ba2-ch2=(a—b)(b—c)(c—a)

a2bL2c2

a-b-c2a2a

4.2bb-c-a2b；

2c2cc-a-b

1111

-1111

；

—1—111

—1—1-11

134

241

6.

312

423

1+x111

1\-x11

7.

111+y1

1111-^

1111

1234

13610

141020

x+1—11

1x—11—1

9.

1—1%+1—1

11x-1

%

1

解D

1234

1012

10.

3-1-10

120-5

baaa

abaa

H-D“二aaba

aaab

1\a、z・・♦cin

14+4a2...an

12.1qQ,+4...

♦•・•・••・・・・•・・・

1a1a2...an+bn

1+%a2〃3•••a〃

q1+%〃3•••册

13.4a2l+a3…%

%a2〃3・・・1+£

123n-1n

—103n-\n

-1-20n-\n

14.

—1-2-30n

—1-2-30

12222

22222

22322

15.

222n-12

2222n

四、证明题

a\伪4%+4y+q4C]

1.a2b2a2x+b2y+c2

a3b3a3x+h3y+c3

D=

解

A+qq

ax瓦C]

Z72+。2，2

2.a2+kb2—6?2b,t?2

83+C、3C3a3、3C3

a3+kb3

h+cc+aa+babc

3.a+bb+cc+a=2cab

c+aa+bh+cbca

a2(a+1)2(a+2)23+3)2

h2S+l)2S+2)23+3)2

c1(C+l)2(c+2>(c+3)2

d23+1)23+2)2(d+3)2

五、用克莱姆法则解下列线性方程组:

x+2y+2z=3

1.〈-x-4y+z=7；

3x+7y+4z=3

2x+y+z-4

2.{x+y+z-3；

x+2y+z=4

xt-x2+x3=0

3.〈2%]-七=0；

为+2X2+刍=0

2%|-%2_=4

4.<3%[+4X2-2&=11.

3%]-2X2+4&=11

第二章矩阵

一、单项选择题

1-10、11

1.设矩阵A=,B=,则2A+33=(A).

212,01

，51-3413、

A.B.

、、

45-27452V

「513、4—1-3、

c.D.

、45-2>、45-2,

(102、

2.已知方阵A=-111，则⑷，|2A|的值依次为B).

,230,

A.-13,-26B.-13,-104C.13,26D.-13,104

3.设〃阶方阵A的行列式⑷=m则||A|A|二D).

A.a"+'B.anC.an-'D.a2

4.设矩阵则下歹U运算有意义的是

B).

A.A2B.ABC.BAD.ABT

5.设矩阵A=[即“2%],下列矩阵中能乘在人的右边是

422%37

(A).

A.b2B.0ib2九)

也，

Q01142013%生、

D.

也1%^23>也1。22,

6.若4=(1,2,3),3=(1,2,3,4),则(火为?是(C).

A.1x3矩阵B.3x4矩阵C.4x3矩阵D.1x4矩阵

7.设A,B均为n阶非零方阵，下列正确的是

A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)2=A2+2AB+B2

C.若AB=O,则A=O或B=OD.\AB\=\A\|B|

8.设A,3均为同阶方阵，则下列结论正确的是(C).

A.(AB)T=ATBTB.AAT=ATA

7

C.若AX'则(A2)(=A2.D.若AnAtbuB■，贝

9.设4是任意一个八阶矩阵，那么下列是对称矩阵的是(D).

A.AT+AB.AT-AC.A-ATD.A2

10.设Al,C均为”阶非零方阵，下列选项正确的是(B).

A.若AB=AC,贝1J3=CB.(ABC)2=A2B2C2

C.ABC=BCAD.\ABC\=|A|\B\|C|

11.设A,B均为〃阶方阵,则等式(A+8)(A-3)=价一中成立的充分

必要条件是

(D).

A.A=£B.B=0C.A=BD.AB=BA

12.若矩阵A,B满足且ABC有意义，则下列选项正确

的是(B).

A.BA=EB.A,B都是可逆矩阵C.Al=BD.ABC=C

13.设A,3均为〃阶可逆方阵，则下列等式成立的是(D).

A.AB=BAB.(A+B)1=A'+B1

C.(2A)-1=2A-'D.(A-,)r=(Ar)-1

14.设A是〃阶可逆矩阵，A*是4的伴随矩阵,则(B).

A.\A"\=\A\B.|A*|=|A|"TC.\A"\=\A\nD.|A*|=|A『

57

15.矩阵的伴随矩阵是

811

(B).

"-117"11-711-8、11-7

A.B.C.D.-

、一

、8—57857-757-857

16.设A是三角形矩阵，若主对角线上元素(C),则A可逆.

A.全都为零B.可以有零元素C.不全为零D.全不为零

"23、

17.已知二阶方阵4=,则A的逆矩阵4/=(B).

、34,

4-3'-434-3'43、

A.B.C.D.

,-3-27、3-27-327,32,

18.设〃阶矩阵4、8、。满足AbC=£,贝=(A).

A.ABB.BAC.A'B1D.B'A1

19.若A为二阶方阵，且A的行列式囿=-2,则|-2(A1)T|=(C).

A.-4B.1C.-2D.-8

20.若A,B,。皆为〃阶方阵,则下列关系中，不一定成立的是

(B).

A.A+B=B+AB.(A+B)+C=A+(B+C)

C.AB=BAD.(AB)C=A(BC)

21.若A,B皆为〃阶可逆方阵,则下列关系式中，一定成立的是

(C)

A.(A+b)2=A2+2AB+B2B.(A+B)T=A^+B-'

C.(AB)-'=B'A1D.(AB)T=ATBT

22.下列结论正确的是(D).

A.A,B均为方阵，则=(%N2,k^N).

B.A,3为〃阶对角矩阵，则4B=A4.

C.A为方阵，且A2=O,则4=0.

D.若矩阵Ab=AC,且ARO,则3=。.

23.设A是二阶可逆矩阵,则下列矩阵中与A等价的矩阵是(D).

<oo)(\o\(\n(\口

A.^0ojB.(0ojC.1^0ojD.(0U

(Q_

24.已知二阶矩阵4=的行列式则(A*)」=

dj

(A).

25.下列矩阵中不是初等矩阵的是(C).

"100、00、00、qoo、

A.010B.010C.020D.110

J0b0b、00bJ01>

26.设A,3,C为同阶方阵，则G4BC/=(B).

A.ArBrCTB.C'BVC.C'A'B1D.ATCrB'

27.设〃阶方阵4是满秩矩阵，下列结论不成立的是（B）.

A.r(AT)=nB.\A\=0C.|A|W0D.A可逆

(\11A

28.设矩阵4=的秩为1,则(A).

〔22t)

A.t=2B.Z=1C./=-1D「二-2

"123、

29.设矩阵4=24t的秩为1,则(A).

、369,

A.t=6B.t=~(>C.t=1D.t=~2

T-12、

30.设矩阵A=-22t的秩为2则

、3-36?

(A).

A.tw—4B.t=~4C"是任意实数D.以上都不对

31.设矩阵A的秩为r,则下列结论正确的是(B).

A.A中所有〃阶子式都不为零

B.4中存在r阶子式不为零

C.A中所有r阶子式都为零

D.A中存在什1阶子式不为零

32.下列结论正确的是(D).

A.奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵

B.非奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为奇异矩阵

C.非奇异矩阵等价于单位矩阵

D.奇异矩阵等价于单位矩阵

二、填空题

(\-10、’11—1

1.设4=,B=，则A+B=

212J1-27

0-13—13-1

2.设A=,B=，则2A+B=

-20573-227

/110、q11

3.设A=,B=，则2AB=

212,I2j

4.若矩阵A与矩阵8的积A3为3行4列矩阵，则矩阵A的行数

是.

0a，1a、

5.若等式2—1002成立,a=

<011,-1

201\g42、

6.设矩阵人=,B二,则

—11-37、357,

<11,10、

7.已知矩阵4=，B=则AB-BA=

、0-17Jb

8.已知矩阵A=(L2,-1),3=(2,-1，1),且C=ATB,则e:

9.设A为二阶方阵,若13Al=3,贝UI2Al二

10.设A为三阶方阵,\A\=2,则I-2AI=

11.设A为四阶方阵,|A|=3,则|A*|二

(13、

12.矩阵A=的逆矩阵A工______.

(24)

(ci

13.设A=，则其伴随矩阵A*=_____.

"d)

"120、

14.设A=010，则其逆矩阵A-J.

02,

00、

15.设A=220,则4*4=

033,

<|0\/1

16.已知矩阵方程XA=b,其中A=,B=，则

□1JU0j

X=_____

17.设A,3,C皆为”阶方阵，若A,3皆可逆，则矩阵方程AXB=C

的解X=.

_n2、

18.设A为二阶可逆矩阵，且已知(24尸=,贝1」A=_____.

(34J

，-33-3、

19.设矩阵4=3-33,则矩阵A的秩为

、01f

’111、

20.已知矩阵4=112，且r(4)=2,则。=

、。+123,

三、计算题

1.已知A为四阶方阵，且⑷=2,求：⑴|-A|；(2)\2A\i(3)|AAr|；

(4)IA2|.

2r

2.设矩阵A-,E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E,

-12,

求|3|.

3.设A,3均为三阶方阵,且已知⑶=4,|明=5,求|2AB|.

4.求下列矩阵的逆矩阵:

-2-P

(1)A=-345；

、203,

"10P

⑵A=1-10

<012,

'200、

⑶A=111

J-12

,0q0

00tz20

(4)4=000an_｝，其中q.w0,i=1,2,...,〃.

«0°0>

5.解下列矩阵方程:

5、

一6)

(01)or

(2)1-10110

、。12)

1014,

10

⑶21

-31

,111、

"1-21、

(4)X011

、。1-I

、00b

10)f-

⑸121X=2

2

T01\(\2、

(6)210X=01

1-31

0,

,14、'20>31、

6.已知矩阵A=,B=,矩阵X满足

J4、一10-1J

AXB=C,求解X.

r010]p-P

7.设A=-111,B=20,且X满足X=AX+B,求X

0-U卜

、T一3,

8.设A,b均为三阶方阵,且|A|=-1,\B\=5,求|2（A4」）2|.

9.设4为三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且⑷=；,求|(3A)T-2A*|.

10.求下列矩阵的秩:

r1-2-1-2、

⑴4121；

J11b

"12-1-2>

(2)202

、321-3J

<1110

(3)4121;

、301OJ

ri2345、

—1-2-3-3—4

(4)

13334

J222

-53P

5-853

(5)1-740

I-113,

。2-34、

23-57

(6)43-99

<25_88,

四、证明题

1.试证：若四，用都与A可交换，则切+%,3山2也都与A可

交换.

2.对于任意方阵A,证明：A+Ar；AT都是对称矩阵.

3.试证：若〃阶矩阵A,B,。都可逆，则ABC也可逆，并且

4.设4是〃阶方阵，且满足447=£,证明：|4|=1或刈=-1.

5.设A是〃阶方阵，且(A+£)2=0,证明A可逆.

6.已知〃阶方阵A,B满足2A/b=3-4瓦证明矩阵A-2E可逆.

7.设屋=0也为正整数)，求证：(E-A)-1=E+A+A2+...+Ak-].

8.设n阶方阵A满足2A2_A_2£=0,证明A可逆，并求A-1.

9.设A是〃阶方阵，证明：|A设以产佗2).

10.设A,B皆为例又〃矩阵，证明：A与8等价的充分必要条件

是r(A)=r(叫

第三章向量空间

一、单项选择题

1.设向量。=(4,7,2),/=(—1,4,3),则3a+4夕=().

A.(8,37,18)B.(-8,37,18)C.(8,-37,18)D.(8,37,-18)

2.设向量a=(l,0,2,3),/=(—1,1,1,0),则2a+3/=

().

A.(-l,3,7,6)B.(l,3,6,7)C.(2,0,7,6)D.(-l,3,-7,6)

3.若向量组%=(1,0,0)向%=(1,1,0尸，%=(“,》,°』线性相关,

则一定有().

A.a=h=cB.h=c=0C.c=0D.c#0

T

4.向量组4=(-1,2,-l),a2=(3,-l,1/,a3=(2,1,9/,则().

A.是R的一组基B.线性相关

C.不是尸的一组基D.可能线性相关，可能线性无关

5.向量组ax,a2和向量组a2,。3均线性无关，则向量组,a2,火

().

A.一定线性相关

B.一定线性无关

C.不能由4,出线性表出

D.既可以线性相关也可以线性无关

6.设四=(2,1,0).=(0,0,0)，则).

A.外线性无关Bo1线性无关

C.q,a2线性无关D.«线性相关

7.向量组区=（1,一1,1）,%=（2,1,0）,%=（左，2,1）线性相关，则（）.

A.k=-7B.%=7C.%=0DM=1

8.向量组?=（-1,1,0）0=（4,2,0）,%=（左,-2,1）线性相关，则

（）.

A.%=0B.k=-2C.k=2DM=1

9.%=（1,-1,-1）02=（°，1，左）。3=（。，-2,1-左）线性无关，则（）.

A.gB"-lC.它0D.y2

10.设A是”阶方阵，且|A|=0,则下列命题成立的是（）.

A.A中必有某一行向量为零向量

B.A中每一行向量可以由其余行向量线性表出

C.A中存在某一行向量可以由其余行向量线性表出

D.A中每一行向量都不能由其余行向量线性表出

11.〃维向量组四，%，，以（3WsW〃）线性无关的充要条件是（）.

A.存在一组不全为零的数占，%2，,4，使

k}a]+k2a2++ksaswo

B.a,,a2,，区中任意两个向量都线性无关

C.a1,a2,,as中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出

D./,%,，生中任意一个向量都不能用其余向量线性表出

12.若向量组区,。2，线性相关，则向量组中可由其

余向量线性表示.).

A.每一向量不B.每一向量

C.存在一个向量D.仅有一个向量

13.已知向量组%,。2，%，。4线性无关，则向量组（）.

A.4+%，。2+。3，。3+%。4+四线性无关

B.-a2,a2-a3,a3-a4,a4-ax线性无关

C.四+。2,%+%以3+%，%-9线性无关

D.四+。2。2+。3。3-。4。4-四线性无关

14.设向量4=（%,。］,6）。2=（〃2也，。2），61=（以1，4，。1，4），

—（a2,b2,c2,d2）,下列命题中正确的是（）.

A.若q,a2线性相关，则必有笈，双线性相关

B.若名,口2线性无关，则必有月，尾线性无关

C.若戈,凡线性相关，则必有必,线性无关

D.若月，尾线性无关，则必有名,%线性相关

15.若向量组q。2，,%线性相关，则必可推出（）.

A.%,%,,4中至少有一个向量为零向量

8.4,心，，％中至少有两个向量成比例

C.a},a2,,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.q,4,中每一个向量都可由其余向量线性表示

16.已知6，%，%，，线性无关，则向量组以+。2。4a3

a3+a4,afa（）.

A.线性相关

B.线性无关

c.既可以线性相关也可以线性无关

D.是否线性相关与向量的维数有关

17.设向量组I：%,a2，a3与向量组^：片,笈等价，则必有（）.

A.向量组I线性相关B.向量组H线性无关

C.向量组I的秩〉向量组n的秩D03不能由力，住线性表出

18.设必以2，,%是6维向量组，则必，%,,%（）.

A.线性无关

B.仅有一个向量可由其余向量线性表出

C.至少有2个向量可由其余向量线性表出

D.至少有4个向量可由其余向量线性表出

19.设有两个同维向量组/，%,与川，耳，…，月，则下列选项

正确的是（）.

A.若两向量组名。2,,4与£],河，…，0等价，贝心=力

B.若5=3则两向量组%，％，,名与外尸2,…3等价.

C.若两向量组以。2,,名与422,…血等价，则

r{a{,«2,,as）=厂（片，住,

D.若「（%。2，,4）=r（片，尸2,…，⑷，则两向量组

四，%，，区与后，小，…血等价.

20.设向量组囚,4,…,党的两个极大无关组分别是a4,％2，…，与

和%，则下列选项中正确的是（）.

A.r+r=mB.r+t>mC.r=tD.r>t

二、填空题

1.已知向量6,%，£满足关系式耳/一。1=%，又0=(2,1,0),

%=(-1,3-2),则P=.

2.夕=(1,2,3)表示为向量组与=(1,0,。)£2=(。,1,。*3=(0,。，的

线性组合式为夕=.

3.已知向量％=(2,5,1,3),。2=(1。/,5,10),%=(4,1,

如果3(名一⑤+2(a2+幻=5(。3+4)，贝14=.

4.设向量a=(2,-3,5)和向量夕=(-4,6,。)线性相关，则a=.

5.设向量组%，%,口3线性无关，而向量组必，生，%,区线性相

美,则向量组/，2%,3%,4%的极大无关组为.

6.设有向量组a=(1,24)4=a,7,也亍(o,线性相

关，则/=.

7.设向量组名=(1,1,0,1),%=(。，L。,4),%=(2』,一2,-2)的秩为2,

贝Ia-.

8.向量组名=(1,2,3).=(0,0,1),cr,=(2,4,5)的秩为.

9.向量组名=(1,2,3),%=(0,1,0),%=(2,4,5)的秩为.

，2、m

2m

10.向量组名的秩是

11.已知向量组名=(1,2丁1,1%=(270,,㈣亍Y0,4-,

的秩为2,则，=.

12.向量a=(0,1,2)在基四=(1,1,0)%=(0,1/)4=(1」,下的坐

标是

13.设向量组用血血与向量组四=(1,2,3),4=(2,4,5)为=(0,06

等价，则月,⑸，夕3的秩=.

14.设%=(5,-1,3,2),%+2%=(2,3,-1,。),则3囚+2%=.

15.设向量组四=(1,2,衣2)=，(屹3拿，6)与向量组

等尬,则向量组笈，区，四的秩为.

16.设名=(1,1,0).=QU)，4=(T，2,l)是收的一组基,且

。=。,0,0)在这组基下的坐标为(1,1,-1),贝卜=.

三、计算题

1.已知q=(1,2,3),4=32,1),4=(-2,0,2).=(1，2,4),求：

(1)3。1+2%-5a3+4%;(2)5%+2%-—.

2.已知q=(1,1,0,-1),4=(-2』,0,0),%=(T,2,0』),又一满足

3Q-0+2Q+夕)=5Q+尸)，求夕.

3.设向量a，B,7满足5(a-1+30+y)=o,其中a=(-2-1,3,0),

6=(—2,—1,0,3)求a+4+九

4将向量£=(5,0,7尸表示成向量组9=(1,-1,0成,%=(2,1,3)。

%=(3,1,2尸的线性组合.

5.将下列各题中向量夕表示为其他向量的线性组合.

⑴4=(3,5-6),a,=(1,0,1)0=(I/」)。3=(0-1-1)；

(2)6=(2-1,5,1)，与=(1,0,0,0),52=(0,1,0,0),s3=(0,0,1,0),

=(0,0,0,1).

6.求向量组q=(l,-2,0,3)7,02=(2,-5,-3,6咒％=(。，1，3,0)r,

r

%=(2,-1,4,-7),a5=(5-8,1,2),的秩和极大线性无关组，并

将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.求向量四=(2,4,2)%=(1,1,0丝=(2,3㈤萨(3的一个

极大线性无关组，并将其余向量表成该极大线性无关组的线性组合.

8.求向量组名=(1,-%=(3,1,6,2),4=(1,3,-4,4),

%=(4,-4,14,-4)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极

大无关组线性表示.

9.已知四=(l,0,2,3),a2=(l,l,3,5),a3=(l,-l,a+2,l),

a4=(1,2,4,。+8),及==(1,1,。+3,5).

问：(1)。,人为何值时，夕不能表示成囚,。2，%的线性组合.

(2)4,Z?为何值时，夕可由?0203唯一线性表示，并写出该

表示式.

10.判定下列向量组是线性相关还是线性无关.

(1)%=(1,3,0).=(1,1,2),%=(3,-1,10)；

(2)因=(1,2,1)&=(1，L2),%=⑶—L2)；

(3)q=(1,1,1,Dg=(1，2,3,4)4=(1,4,9,16)；

(4)a,=(1,1,1,l),a2=(1,2,3,4),%=(1,4,9,16),%=(1,2,5,10)

(5)«=(1』/,3).=(1,123),=(7,2,5,0)；

(6)«=(1,1,-1),a2=(0,1,2),a,=(1,2J)。4=(-1,2,0).

11.设向量组囚=(1,1,1).=(1,2,3),=(1，3,。，

(1)，为何值时，向量组囚，%，。3线性无关？

(2)f为何值时，向量组名，%，火线性相关？并用名，。2表示出

12.求£=(3,—1,2尸在基四=(1,1,力4=-(1,3,汕亍(f

下的坐标.

四、证明题

1.设向量组即％。3线性无关，证明:向量组又+2a2，。2-4，

也线性无关.

2.设向量组%%,4线性相关，向量组外,%，%线性无关，证明:

(1)%可以由,%线性表出；(2)。4不能由四,生。3线性表出.

3.设向量组%,4,%线性无关，证明：向量组

a},ay+a2,a,+a2+a3也线性无关.

4.设向量组织"2，...,%，线性无关,一可由”线性表示，

而夕2不能由。1，。2,…,%，线性表示.证明:向量组《,%,...,%月+夕2线

性无关.

5.设向量组《以2。3线性无关，令

=-ay+。3,夕2=2a2-2a3,尸3-2al-5a2+3a3,

证明：片，夕2,区线性相关.

6.设向量组区,线性无关，加22,4,4,,4”为任意实数,

证明：向量组月=e+4am，62=%+4%,,，A,-1=+47%

线性无关.

7.设向量组％,%,%线性无关,且夕=左0+左2a2+%3a3・证明：若

匕。0，则向量组⑸也线性无关•

8.证明四=(1,0,0),%=(1,1,0),er,=(LL1)是三维向量空间R3的一

个基，并求尸=(5,9,-2)在此基下的坐标.

第四章线性方程组

一、单项选择题

1.设A为现矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=。有非零解的

充分必要条件是).

A.r(A)=nB.r(A)=mC.r(A)<nD.r(A)<m

2.设A为机x〃矩阵，且非齐次线性方程组Ax=办有唯一解，则

必有().

A.m=nB.r(A)=mC.r{A}-nD.r(A)<n

3.设n个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n,则一定有

().

A.方程组无解B.方程组有解

C.方程组有唯一解D.方程组有无穷多解

4.对于线性方程组Ax=伙1)与其导出组Ax=o(H),下列命题

正确的是().

A.若(II)有解，则⑴有解

B.若(H)有非零解，则⑴有无穷多解

C.若(I)有唯一解，则(II)仅有零解

D.若(I)有解，则(II)有基础解系

5.设A为mx〃矩阵，齐次线性方程组有非零解的充分必

要条件是