高中数学-圆与方程

圆与方程

1圆的方程

1.知识•能力聚焦

1.点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有点在圆心、圆上、圆外三种。

其判断方法是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小

或利用点与圆的方程来判定。

设点-%)到圆C：(无-a)?+(y-加2=，的圆心C的距离为d,则

d=|MC|=4+(%—加2,

将所给点."与圆心。的距离跟半径作比较：

若|CM|=r,则"点在圆。上；

若则"点在圆。外；

若|CM|Y-，则"点在圆。内。

利用圆的标准方程来判定：

点M(m,A)在圆C上=。〃一。)2+(〃-。)2=r2；

点M(m,n)在圆。外o(/“-a)?+(n-b)2>r2；

点M(m,n)在圆。内。(m—a)2+(n-b)2Yr2。

2.圆的标准方程

出4-1-1如图4T-1所示，设圆心是。Q,6)半径是r。

设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点，"到圆心C的距离等于八点"到圆

心。的距离等于ro

有两点的距离公式，点"的坐标适合的条件可表示为

yl(x-a)2+(y-b)2.

把上式两边平方，得

(x-a)2+(y-b)2=r2.(*)

即圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2.

［注意］(1)称(*)式为圆的标准方程。

(2)如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0。圆的方程就是/+

(3)圆的标准方程(x-a)2+(y-与2=/=/o圆心为eg,力,半径是「它显示了圆的

集合特点。

3.几何特殊位置的圆的方程

条件方程形式

圆心在原点

x2+y2=r2(r^O)

(x-a)2+(y-b)2=cr+b2

过原点

("+”0)

圆心在X轴上

(x-a)2+y2=产(rw0)

圆心在y轴上x2+(y-0)2=产(厂工0)

圆心在X轴上且过原点(x-a)2+y2=a2(a0)

圆心在轴上且过原点

yx2+(y-b)2=b?(b丰0)

与X轴相切(x-a)2+(j-Z7)2=b2

与y轴相切22

(x-a)+(y-/?)2=a

(x-a)2+(y-8>=a2

与两坐标轴相切

刎=6/0)

4.圆的一般方程

(1)二元二次方程4？+3盯+02+m+石伊+6=0表示圆的充要条件为：

①人二。。。；②5=0;③。2+炉-44/A0.而条件①与②皆为二元二次方程表示圆

的必要条件。因为若二元二次方程仅满足条件①与条件②，那么上述二元二次方程可

转化为

犬2+/+3+多+£=0,配方可得(％+务『+('+盘『=土喷诬.

AAA

当。2+炉一44尸=0时，它只表示一个点(一痣，一套)；

当£>2+E2—4A尸YO时，他不表示任何图形；

（nF\\ID2+E2-4AF

当。2+炉_4AFAO时，它才表示一个圆，其圆心为（一万，一万），半径为纲.

（2）由方程++++=D^-4F

①当。2+£2_44=0时,方程表示一个点（一9,一号）；

②当。2+屈—4EY0时，方程不表示任何图形；

③当斤+炉一4F”时，方程表示一个圆，其圆心为（一%—专），半径为蚂至，

此时，方程f+；/+6+尸=（）叫圆的一般方程。

【例一】已经圆心C（3,4）,半径r=5,求此圆的标准方程，并判断点A（0,0）、B

（1,3）是在圆上、圆外、还是圆内？

【例二】写出下列圆的标准方程。

（1）圆心在原点，半径为8；

（2）圆心在（2,3）半径为2；

（3）圆心在（2,-1）且过原点。

【例三】判断下列方程是否表示圆。若是，化成标准方程。

(1)x2+y2+2x4-1=0

(2)x2+y1+lay-1=0

(3)x2+y2+20x+121=0

(4)工2+y2+2ax-0

2.方法•技巧平台

5.确定圆的方程的方法

(1)确定远的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准时。即列出a、b、r或

直接求出圆心(a、b)和半径r的方程分组，求a、b、r或直接求圆心(a、b)和

半径r,一般步骤为：

①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)?+(y-加2=/：

②根据已知条件，建立关系与a、b、r的方程组；

③解方程组，并把它们带入所设的方程中去。整理后就得到所求。

在求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大的减少计算量。

一般地，圆心的三个重要几何性质为：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在某一条弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

(2)如果已经条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般形式。圆的一般方程也

含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其

方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为V+V+Ox+Ey+FuO,由三个条件得到

关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组，确定D、E、F的值。

6.特殊条件的圆的方程的求解方法

对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程的形式如下：

标准方程一般方程

圆心在原点

x2+y2=r2(r^0)x2+y2-r2=0(r70)

过原点

(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x+y~+Dx+Ey=Q

圆心在x轴上

(x-a)2+y2=rx2+y2+Dx+E=Q

圆心在y轴上

x2+(y-b)2=rx2+y2+Ey+F=0

圆心在x轴上且过原点

(x-tz)2+y2=ax2+y2+Dx=O

圆心在y轴上且过原点

x2+(y-b)2=b2x2+y2+Ey=Q

与x轴相切

(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+F=Q

(D2-4F=0)

与y轴相切

(x-a)2+(y-b)2=ax2+y2+Dx+Ey+F=Q

⑻一"二。)

因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点、规律性。

其次，恰当的运动平面几何知识，可使解法灵活简便。若涉及与弦长有关的问题，运

用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定理等可简化过程。

7.与圆的弦长有关的问题

求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距

离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出；三十利用

圆中半弦、弦心距及半径构成的直角三角形来求，对于圆中的弦长，一般利用第三种

方法比较简洁。

下列例题的解法就是采用第三种解法。

［例］求圆心为C(2,-1),且截直线y=x-l所得弦的弦长为2&的圆的方程。

［解析］设圆的方程为(尤-2)2+“+1)2=/(>0)。

由题设知，圆心到直线y=x-l的距离为7=畜1=也。

又直线y=x-l被圆截得的弦长问2痣，

242=2-J产一屋,即2&=2.J/—2。

解得r=2.

所求圆的方程为。-2)2+(y+l>=4。

说明：在解决与弦长有关的问题中，首先考虑弦长/=2jS—,其中d是圆心到弦所在直线

的距离。

8.与圆的有关的轨迹问题

教材中求圆的标准方程的过程给我们提供了求平面上动点的轨迹方程的一般方

法，轨迹问题的求解时解析几何的一个重要内容，要认真体会。

［例］已知一曲线是与两个顶点0(0,0)、A(3,0)距离的比为的点L的轨迹，求出

2

曲线的方程。

®4-l-2

［解析］在给定的坐标系中，设M(x,y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条

H\MO\_1

°MA2'

由两点的距离公式，上式用坐标表示为

两边平方并化简，得曲线方程f+>2+2%-3=0。

将方程配方，得(x+1)2+丁=4。

.♦・所求曲线是圆心为C(-1,0),半径为2的圆(如图4-1-2所示)。

【例四】求圆心在直线2x-y—3=0上，且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程。

【例五】一个等腰三角形底边的高等于4,底边两段点的坐标是B(-3,0)和C(3,0),

求它的外接圆的方程。

图4_|-5用4-1-6

【例六】设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的

比为3：1,在满足（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线/:x-2y=0的距

离最小的圆的方程。

【例七】已知圆的方程为V+V-6》_6），+14=0求过点A（-3,-5）的直线交圆的

弦PQ的中点M的轨迹方程。

3.创新•思维拓展

9.利用圆的方程，解决实际问题

数学实际应用题诗数学广泛应用性特点的体现，在多年来的高考中的得到了重视,

除了在选择、填空中出现外，每年高考都有一个大题出现，应引起重视。

54-1-3

［例］如图4-1-3所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度A8=20米，拱

高0P=4米，在建造时每隔4米需要一支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确的到

米）。

［解析］建立如图4-1-3所示坐标系，设圆的方程为/+：/+6+6+尸=0.由于圆

心在y轴上，所以D=0,那么，方程即为x2+y2+@+p=o。

下面用待定系数法来确定E、F的值:

因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程

[42+4E+F=0

组《解得F=-100,E=21.

[102+F=0

.♦.这个圆的方程式f+y2+21y-100=0。

把点P2的横坐标x=-2带入这个圆的方程，

得(-2)2+/+21y-100=0,>2+21y—96=0.

•••P2的纵坐标大于0，故应取正值。

-21+52+4X96-.86(米)。

2

答：支柱A2P2的长度约为3.86米。

10.与圆有关的最值问题

有一类最值问题常常与圆的方程联系在一起，求解时应充分利用圆的有关几何性质。

[例]点P是圆C：(x-5)2+(y-5)2=，&A0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点

位Q,。为原点，线段OP绕原先O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR,当r为常数时,

求IQRI的最小值与最大值。

【例八】已知实数x和y满足方程：(x+l)2+y2=l_,试求(1)2(2)

4x

J(x-2)2+(y_3)2的最值

34-1-9

4.能力•题型设计

速效基础演练

2

1.已知点(a+l,a-l)在圆/+y-x+y-4=0的外部，则a的取值范围是()。

A.(—co,­\^)U+℃)B.(—co,2)U⑵

C.(—co,—\/2)U(V2,+℃)D.(—co,—2)U⑵+℃)

2.若方程/+必+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（）□

A.aY-2或aB.-：Y<3Y0

C.—2YaY0D.-2YaY]

3.已知圆C的圆心在直线y=x上，且与x轴相切于点（1,0）,由此圆的方程为（）。

A.(x-I)2+(y-I)2=1B.(x+I)2+(y+I)?=1

C.%2+y2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1

4.经过点P（5,1）,圆心为C（8,-3）的圆的方程是（）。

A.(x+8)2+(y+3)2=25B.(x-8)2+(y+3)2=25

C.(x-8)2+(y-3)2=25D.(x+8)2+(y-3)2=25

5.若点P(-1,6)在圆炉+y2=1上，则实数m=___________.

6.经过原点，圆心在x轴的负半轴，半径为2的圆的方程是.

7.若圆C的方程为/+2x+/+4y-4=0,则该圆的圆心坐标为.

8.求经过A（4,2）、B（-1,3）两点，且在坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程。

知识提升突破

2

1.若方程/+y-X+y+R=0表示一个圆，则R的取值范围是（）。

A.（-00,2]B.（-oo,2）C.（一°°，夕D.（一004

2.方程/+y?+4wu-2y+5加=0表示一个圆，则R的取值范围是（）。

A.—YWYIB.m>-lC.mD.WY—或〃

444

fYj-

3.若直线x—5y+3=0经过圆/+丁—机*+2)，+——1=0的圆心，则m等于().

4

A.-16B.16C.0或16D.0或-16

4.若曲线f+V+Y+q一”2)＞一4=0关于直线y—x=0对称的曲线仍是其本身，则实数a

为()。

B+农1V2D」或也

C.一或-----

22222

5.一个动点在圆d+J/=1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是()。

A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1

31

C.(2x-3)2+4y2=lD.(x+-)2+y2

6.已知圆——4x—4+V=0的圆心是点p,则点p到直线x—y—1=0的距离是,

7.圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点的充要条件是。

8.以A(2.,2)、B(5,3)、C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的方程是

9.一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程。

10.求圆心在直线y=2x上且两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程。

11.已知方程/+;/一2«+3)_¥+2(1-4/方+16〃+9=0(/6R)表示的原形是圆。

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程：

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。

12.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，

距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在

地将遭受台风影响？持续多长时间？

2直线、圆的位置关系

1.知识•能力聚焦

1.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相切(有

两个公共点)三种。研究直线与圆的位置关系的问题的途径主要有两个：一是圆心到

直线的距离与圆的半径进行大小的比较；二是考察直线与圆的方程组成的方程组的解

的个数，这又要用到一元二次方程的判别式。

(1)如果直线到圆心的距离为d,圆的半径为r,那么：①若d>r,则直线与圆

相离；②若d=r,则直线与圆相切；③若dVr,则直线与圆相交。

(2)如果直线方程为y=kx+m,圆的方程为(x-。)?=/，将直线方程待入

圆的方程，消去y,得x的一元二次方程式&2+。*+/?=0,那么：

①当AV0时，直线与圆没有公共点；

②当△=()时，直线与圆有且只有一个公共点；

③当△>()时，直线与圆有两个不同的公共点。

2.圆的位置关系

平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判

断。

设。的半径为4，。。2的半径为弓，两圆的圆心距为d.

当一与|Vd</;+弓时，两圆相交；

当4+为=d时，两圆外切；

当4+7^Vd时，两圆外离；

当|4-4l=d时，两圆内切;

当l4-Gl>d时，两圆内含。

两口内切两国为今

S4-2-1

3.圆系方程

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是(x-af+(y-匕/=储(人工0)；

(2)与圆/+;/+瓜+或+/?=0同心圆的圆系方程是/+,2+m+4+/1=0；

(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是(x-“)2+(y-b)2+4(x-a)+4(y-b)=0；

(4)过直线Ax+6y+C=0与圆/+;/+瓜+4+尸=0的交点的圆系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0;

(5)过两圆G：/+y?+Dtx+Ety+F}=0和C2：V+y?+D2x+E2y+F2=0的交点的圆

系方程是(x?+>~+Dj+E^y+6)+2(x~+y~+D-,x+E?y+K)=0(2H—1)°

(其中不含有圆。2：尤2+/+。2%+七2^+6=0,注意检查G是否满足题意，一方丢解。)

①当;i=—i时，/：(2-D2)x+(g-E2)y+6-g=。为两圆公共弦所在直线方程。

②当两圆相切(内切或外切)时，/为过两圆光盘内公共切点的直线方程。

4.圆的切线方程

(1)过圆x?+y2=产上一点pa。%)的切线方程是4^+%丫=产；

22

(2)过圆。一。尸+(y-b)=r上一点P(xoyo)的切线方程是

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-t>)=r；

(3)过圆/+V+瓜+&+尸=0(。2+石2―4/7»0)上一点P(x。%)的切线方程是

xQx+yoy+D*"。；*+七•+F=0o

圆的切线方程的求解思路有两个：一是几何法；二是代数法。

【例一】已知圆的方程是f+产=2,直线y=x+b,当b为何值时,

(1)圆与直线有两个公共点；

(2)圆与直线只有一个公共点；

(3)圆与直线没有公共点。

【例二】已知圆％2+/+2》+2旷+1=0,丁+/一6尤+8y+9=0,求两圆位置关系。

【例三】求过直线2x+y+4=0和圆/+>2+2工-4)，=0的交点，且满足下列条件之一的圆

的方程：(1)过原点；(2)有最小面积。

【例四】已知4%，凹)是圆元2+；/=/上的一点，求证：与圆c相切与A点的直线/的方程

是%/+弘3=/。

国4-2-7

2.方法•技巧平台

5.圆的弦长问题的求解

(1)直线和圆相交

设直线/的方程为奴+勿，+。=0,圆C的方程为。-入0)2+0-%)2=/，求弦长的方法

有以卜两种：

①几何法：由圆的性质知，过圆心。作/的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图

4-2-2所示，在RL△0,CB中，|BCF=r2-d2,则弦长|AB|=2忸即

\AB\^2y/r2-d2o

…ax+by+c=0

②代数法：解方程组《，，，，消元后可得关于占+范，马

(x-x0)+(y-y0)=厂

或X+%,弘,％的关系式,则|46|=，(1+%2)(玉+工2)2—4%电

4y叽

(2)两圆相交

22

设圆C,:x+y+Rx+E^+F,=0,圆C2：/+y?+D2x+E2y+F2=0«OC,与。C2的

相交弦所在的直线方程为/:(R—£>2)x+(E「E2)y+(6-E)=0,则两圆相交的弦长问题，

就转化为直线与圆相交的弦长问题。

6.利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大、最小值，需过圆心向直线作垂线。

(1)如图4-2-3①所示，当直线/与圆C相交时，最小距离为0,最大距离为AD=r+d.其中r为

圆的半径，d为圆心到直线的距离；

(2)如图4-2-3②所示，当直线/与圆C相切时，最小距离为0,最大距离为AD=2r；

(3)如图4-2-3③所示，当直线/与圆C相离时，最小距离为BD=d-r,最大距离为AD=d+r。

图4-2-3

［例］已知圆C:f+y2+2x—4y+3=0,从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M,0为

坐标原点，且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值。

7.圆的切线方程的求解方程

当直线与圆相切时，要会求切线方程，并且要记住重要的结论。

(1)从圆/+y2+6+或+~=0外一点《(天,%)向圆引切线由两条，切线长为

&+城+为+坝+4.两切点的连续为切线弦.

(2)求圆的切线方程由如下求解方法：

①若已知切点(%,%)，将圆的方程中V、V换为/X、为y,将圆的方程x、y换成王|包、

生1瓦,可得切线。

2

②设出切线方程，利用切线与圆仅有一个交点，将直线方程代入圆的方程，从而△=(),可

求解。

③利用几何特征：圆心到切线的距离等于圆的半径可求解。

(3)如何求圆的切线方程呢？一般地，圆与切线方程为：

①圆乂2+丫2=/上一点P(x0,y0)处的切线方程为/:玉)尤+%旷=/。若P的圆外的

点，则过P点作圆的切线由两条，即有两个切点，那么切点弦方程也为公》+>(J=/。

②圆(元—。了+⑶一切2=,上任一点p(%,方)处的切线方程为

2

l:(x-a)(xtt-a)+(y-b)(ya-b)=r«

两圆的公切线时，要先判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数。从而防止漏解；其次，

应注意公切线的几何性质，得出最佳解法。由两圆外公切线外分圆心距乘两圆半径之比，故两圆

公切线与连心线的交点可求，从而公切线可求。

说明：a.运用点斜式求解直线方程时，需注意斜率k的存在性。

b.过一点求圆的切线，切线的条数与点和圆的位置关系密切相关。

当点在圆内时，无切线；

当点在圆外时，有条切线：

当点在圆上时，有且只有一条切线。

c.在图中，几何法较代数法求解简洁。

8.直线与圆相交的问题的求解方法

直线与圆相交的问题常联系直线与圆的方程，转化为代数方程来讨论，要注意灵活运用

方程的有关理论。

［例］已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，0为原点，且OPJLOQ,

求实数m的值。

9.圆的切线长的求法

过圆外一点P,可作圆的两条切线，同时我们把P鱼切点之间的线段称为切线长，不难知道，

过圆外一点所作圆的两条切线的长相等，切线长可由勾股定理来计算。

［例］已知圆P（x0,方）在圆/+3；2+6+4+/=0的外部，过P作圆的切线，切点

为M,求证|PM|=Jx；+城+以）+Ey0+Fo

［证明］

10.直线与圆的位置关系的参数讨论

在讨论直线与圆的位置关系时，我们还会遇到动直线或动圆（含有参数）的讨论，要根据题

设条件灵活运用适当的方法。

［例］已知圆x?+y2-6mx-2（m-l）y+1Om2-2m-24=0（mSR）,

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线/上；

（2）与/平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于/且圆相交的直线被圆截得的弦长相等。

［解析］

【例五】直线/经过点P(5,5)且和圆C：x?+y2=25相交，截得弦长为4右，求/的方程.

【例六】已知圆C(x-1>+(y-2)2=25,直线/：(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0(mGR)»

(1)证明：不论m取什么实数，直线/与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的/的方程。

【例七】过点P(-2,0)向圆x?+y2=l引切线，求切线的方程。

图4-2-9

【例八】已知直线/：y=2x-2,圆C：x2+y2+2x+4y+l=0,请判断直线/与圆C的位置关系。

若相交，则求直线/被圆/所截得线段长。

【例九】已知圆心C是直线八：2x-3y+l=0和直线，2：4x+5y-9=0的交点，自圆外一点P（4,5）

向圆引切线，切线长为.，求圆的方程。

【例十】已知圆x?+y2=8,定点P（4,0）,问过P点的直线倾斜角在上什么范围内取值时,

这条直线与已知圆：（1）相切；（2）相交（3）相离，并写出过P点的切线方程。

3.创新•思维拓展

11.数形结合是一种十分重要的解题思想方法，直线和圆的方程将数（方程）与形（直线或圆）

由机地结合起来。因此，常用直线与圆的图形解决一些代数问题。

田4-2-5

［例］讨论直线y=x+b与曲线y=44-x1的交点个数。

［解析］

12.圆的切线在其他分支的应用

在圆与它的切线的应用中。我们会经常遇到两类问题：一是光线的反射。这类问

题的求解，除正确运用有关切线的性质外，还要注意光的对称反射性；另一类是利用

切线与圆的位置的特殊性来求有关代数问题的最值。

［例］若(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最大值和最小值。

［解析］

【例H1已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+l=0,

求：(1)T的最大值；

(2)y-x的最小值。

4.能力•题型设计

1.若直线x+y+m=O与圆x?+y2=2相切，则m的值为()0

A.0或aB.2C.V2D.±2

22

2.圆(x-a)+(y-b)2=c?和圆(x-b)+(y-a)2=c?相切，则()o

A.(a-b)2=c2B.(a-b)2=2c2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c2

3.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线/被圆C截得的弦长为2百时，a等于()。

A.V2B.2-V2C.A/2-1D.V2+1

4.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,