新教材高中数学必修第一册第5章《三角函数》 章末复习课

章末复习课

要点回顾形成体系

［网络构建］

角函

三

型

模

数

单

简

的

用

应

［核心归纳］

1.任意角与弧度制

(1)与角a终边相同的角的集合为5={例5=a+2foi,左©Z}.

(2)角度与弧度的互化：1。=念rad,1rad=(f。.

(3)弧长公式：l=\a\r,

扇形面积公式：S=|/r=1|a|r2.

2.任意角的三角函数

设任意角a的终边上任意一点P(x,y),r=y］x2+y2,则sina=：,cosa=ptana

=*x70).

3.同角三角函数基本关系式：si/a+cos2a=1；:R：=tana.

(A

4.诱导公式

(1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

7T

(2)功能：将左5土a(左©Z)的三角函数值化为a的三角函数值，实现变名、变号或

变角等作用.

5.三角函数的图象

⑴正弦曲线：

⑵余弦曲线：

•■y

1

亓7、「不二7?\：3行乙、5行：匕\

A5i\^4irU-irk^TKZ2HSJZ4Tl6H1

—1

⑶正切曲线：

6.三角函数的性质（表中左©Z）

y=sinxy=cosxy=tanx

{x|x^R,且%W]+

定义域RR

ku}

增区间：[甘+

增区间：[―兀+

兀

2攵兀，1+2左兀],增区间：（一W+E,

2kn,2E],

单调性

减区间：兀

减区间：弓十[2E,]+%兀）

兀+2E]

2kn,咨+2E]

周期性2兀2兀兀

图象的对称轴x=]+kux—kit无

71*兀，0）

图象的对称中心(kn,0)5+%兀，0)

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(a±£)=cosotcos§otsin£

sin(a切)=sinacos肚cosasin§

tan。±tan6

tan(a±£)=ottan0

8.倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacosa

cos2a—cos2a-sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

-2tana

tan2a=~：-

1-tana

9.辅助角公式

asinx+6cosx=q^T^sin(x+°)(其中cp为辅助角且tan夕=,)(或tzsinx+Z?cosx

=^/a2+Z?2cos(x一夕)，tan(p=%

要点聚焦分类突破

要点一任意角三角函数的定义

利用定义求三角函数值的两种方法：

⑴先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义,

求出相应的三角函数值.

(2)取角a的终边上任意一点P(a,6)(原点除外)，则对应的角a的正弦值sina=

y余弦值cosct=^==p,正切值tana=§.当角a的终边上点的坐标以

参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

【例1】已知角a的终边经过点P(3m-9,m+2).

(1)若加=2,求5sina+3tana的值；

(2)若cosaWO,且sina>0,求实数机的取值范围.

解(1)若机=2,则尸(一3,4),

所以x=—3,y=4,r=5,

434

所以sina=5，cosa=—tana=—

故5sina+3tana=5X,+3X(—?=4—4=0.

XV

(2)由题意知，cosa=-<0,sina=^>0,

即y>0,

3m—9^0,

所以《

m+2>0,

所以一2<mW3,即实数机的取值氾围为(-2,3].

4

【训练1】已知角a的终边过点P(—8M,—6sin30°),且cosa=—g,则机的

值为()

11

A「1B2

C一坐D.坐

/|[—8/

解析由题意知P(—8m,一3)且cosa=—^,.*.r=A/64m2+9,/.cosa=~i-----z==

?\/64m2+9

41

2-

=5-m4-.,.机=/.故选B.

答案B

要点二同角三角函数基本关系式的应用

同角三角函数基本关系式的应用方法

(1)利用sida+cos2a=1可以实现a的正弦、余弦的转化，利用的=tana可以

(A

实现角a弦切互化.

(2)关系式的逆用与变形应用：l=sin2«+cos2a,sin2«=l—cos2(z,cos2a=1—sin2a,

(sina+cosa)2=(sina—cosa)2+4sinacosa.

(3)sina,cosa的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sina,cosa的齐次式

或含有sin2ot,cos2a及sinacosa的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”,

利用“si/a+cos2a=1”代换后转化为“切”求解.

【例2】⑴已知tana=g,a£(0,1则sina—cosa=.

解析因为tana=；=段詈

乙LU〉(A

sina1

由《cosaT

^sin2a+cos2a=1,

所以sina—cosa

555•

答案-晋

(2)已知a是三角形的内角，且sina+cosa=g.

①求tana的值;

②把'Lin2a用tan。表示出来,并求其值・

解①由sina+cos0=点

1

得l+2sinacos25，

12

所以sinacosa

25'

因为a是三角形的内角，所以sina>0,cosa<0,

/.sina—cosa=yj（sina—cos«）234

=yj（sina+cosct）2—4sinacosa

32/87

(5)一十不一予

434

故.将'sina=m,coso.=­5,tanct=

②cos2a\in2acos2a+sin2a1+tan2a

cos2a—sin2a1—tan2ot'

又tana=—3,

4'2

1+

所以T花_=_25

2~~y-

4'

4

【训练2]若tana=一点求下列各式的值.

sina-4cosa

（l）5sina+2cosa；（2）sin7/+2sinacosa.

-4-4

hatana~4-38

解⑴原式=5tana+2="（「丁。

3XQ3）2

sin2a+2sinacosatan2a+2tana

222

⑵八"cosct+sina1+tana

44

(—2+2X(--)

8

425-

1+(-p2

要点三诱导公式的应用

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2痴土a,

7T37T

兀土Q,报Q,热土。(或稿土a,止Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来

化简.

(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分

析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应

注意整体思想的应用.

【例3】已知兀VQ<2兀，cos(a—7TI)=—求sin(3兀+a>tan(a-%)的值.

角星#.*cos(a——7兀)=cos(7兀一a)

/、3

=cos(兀一。)=_cosa=一亍

3

/.cosa=5••二sin(37i+a)-tan

=sin(?i+a)・

3

【训练3]已知sina是方程2d—L1=0的根，a是第三象限角，则

sin(~acos(］兀一。)

・tan2(兀一a)=

兀兀

cos(2-«)sin(1+a)

解析***方程2x2-x—1=0的根为一^■或1，

又a是第三象限角，・入由。=一3,

・-2V3

•cosasin«2，

.sina

..tana=

cosa3，

.cosa(—sin«)1

原式=；-tan9«=—tan9a

sin(z-cosa3,

1

答案-

3

要点四三角函数式的化简

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系，把角进行合理

的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使

用的公式，常见的有“切化弦”.

⑶三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇

到分式要通分”等.

、(e

(1+sin8+cos。)Isin~^—

【例4】化简：(1)-•(0<6»<?1)；

AJ2+2COS3

1a

------tan727Jl+tanot-tan^l.

解(1)原式=

2s4os|+2cos^sin|-

\/4cos2f

6(.电°

cos^lsincos2—COS,cos0

ee一,

COS]COS]

0兀

因为0<0<n,所以0<]<]，

所以cos^>0,

所以原式=—cos0.

(a.a\/.a\

cos]sm/.SUIT

sma2

原式=

(2),aa1cosaa

Vsin2a，歹Icos歹

a.Ma...a

cos?2—sincosacos/十smasin2

.aaa

sm]cos]cosacos.

a

2cos«COS22

sinaasina

cosacos^

2cos4%—2cos2%+；

【训练4】化简:

三2

2tanxjsin(7+x

—2sin2xcos2x+^

解

21.

3(1—sin2x)/cos2x

兀(兀c、

2sin(^—xjcoslsinl2—2x

=]cos2%.

要点五三角函数求值

三角函数求值的三种情况

(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔

细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合

公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值,

解题关键在于“变角”一般用已知角表示所求角.

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据

角的范围，确定角.

sin110osin200

【例5】Q)cos2155°—sin2155°的值为()

C坐D「坐

—Qin40。

4sin700sin20°cos20°sin2002反”的

解析原式一cos310°——cos50°——sin40。

1

=2'

答案B

,，，兀、1广7i,2sin2a+sin2a

(2)已知tan"+/=］,且一］<a<0,n则----7---疥一=()

coslct—I

2^53^/53^10处

A.—uD.-1八C.一i八U.u

1

elli।兀tana-r1-

斛析因为tan(a+R=E"2

所以tana

JTVib

因为一］<所以

Q<0,sina10，

2sin2a+sin2a2sina(sina+cosa)

则冗一5

cos(a—4)2(cos«+sin«)

=26sina=—

答案A

715Tlcos2a

【训练5】已知sinq—a)=百，0<a<^,求的值.

cosq+a)

兀兀5兀

解cos(^+a)=sin(4—a)=,0<a<^,

.兀।兀兀./।7C12

••4<。十4<29sin(Q~i4)]3'

7171

又*.*cos2a=sin(]+2a)=sin2(4+a),

2sin(y+a)cos(7+a)。

cos2a

~=2sm(z+«)=77.

cos(彳+a)cos(4+a)-

要点六三角恒等变换的综合应用

利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤：

⑴运用和、差、倍角公式化简；

(2)统一把火工)化成兀v)=〃sincox+bcoscox~\-k的形式；

⑶利用辅助角公式化为心:)=Asin(①式+夕)+人的形式，研究其性质.

【例6】已知函数/(x)=cosxsin(%+1)—，5cos2%+坐，x£R.

(1)求八工)的最小正周期；

⑵求火幻在闭区间[一会?上的最大值和最小值.

解⑴由已知，有/(x)=cosx-(^sinx+^cosx)—^/3cos2x+^

=4sin2x-4(1+cos2x)+4

1.0立o1.z兀、

=甲112%一才cos2]=]sin(20%—y).

2兀

所以人x)的最小正周期T=y=7r.

(2)・一尸工百，・・一至不

—1WsinQx—5).今/.一3W於)

所以，函数於)在闭区间[常守上的最大值为今最小值为一看

【训练6]已知函数於)=2sincoxcoscox+cos2©x(s0)的最小正周期为兀.

⑴求切的值；

⑵求八工)的单调递增区间.

角星(1)/(%)=2sincoxcoscox+cos2cox

=sin2①x+cos啦sin(2①x+1

又/%)的最小正周期为兀,CD>0,

.2兀.

=

・・T=2Q9=兀'••co1.

⑵由⑴得於)=凸11(24),

由2%兀一]W2x+aW2攵兀+1左GZ得

3兀兀

左兀150%小左兀十W，K^Z,

3兀71

...«¥)的单调递增区间为kn—9,E+g/eZ).

要点七三角函数的图象

1.用“五点法”作函数y=以足(Ox+夕)图象的步骤：

兀3兀

第一步：列表，由0x+°=0,],71,2兀先求出x,再由(yx+夕的值求出y

的值.

—义71(p3兀(p2兀_8

X

co2coCDcoco2cocoCOCD

713

COX~\-(p0兀2兀

2271

y0A0-A0

第二步：在同一坐;尿系中描出各点.

第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象.

2.由图象或部分图象确定解析式y=Asin(0x+e)中的参数

(1)A：由最大值、最小值来确定A.

(2)①：通过求周期T来确定co.

(3)夕：利用已知点列方程求出.

【例7】如图所示是函数尸Asin((yx+°)(A>0,0>0)图象的一部分，则其函数

解析式是()

v_Z.0.j，

A.产sinQ+§B.y=sin(x-

C.y=sin(2x+1)(.71

Dj=sin2x—7

解析由题图可知A=l,■尸全

T=2n,0=爷=1,又1X（—§+9=0,即9=兀

故尸sin（x+§

答案A

【训练7】函数段）=2sin（①x+夕）［0>0,—^<（p<少的部分图象如图所示，则①,

9的值分别是________.

VpAT,

解析由题图可知上E一雪=冬

乙1乙J.乙乙

T=n,。=爷=2,又2X碧

+9=宗所以9=一?

答案2,-1

要点八三角函数图象的变换

由函数尸sinx的图象通过变换得到函数尸Asin（cox+（p）［A>Q,。>0）的图象的两

种方法

先平移后伸缩先伸缩后平移

画出）=sin；r的图象卜T画出）=sin*的图象|

横坐标变为原来的[

心（右）平移kpl个单位长度

|得至（；）的图象卜

Uy=sin+9T得至！j的图象|

横坐标变为原来的;向左（右）平移、|卷|个单位氏度

co

|彳导至ll）=sin（7：+<p）的图阑・T得到尸sin（a）x+9）的图象|

纵坐标变为|原来的A倍纵坐标变为|原来的A倍

|彳导至Uy=Asin（g%+<p）的图象卜T得至4）=Asin（0）%+3）的图象|

兀5兀

[例8]如图是函数尸Asin（（«x+夕）（A>0,①>0,x©R）在区间一石,至上的

图象.为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（xGR）的图象上所有的点（）

A.向左平移17T个单位长度，再___把所得各点的横坐标缩短到原来的机1倍，纵坐标不.变

B.向左平移1个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

变

c.向左平移/个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变

D.向左平移看个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

变

解析由题图象知A=l,7=知一（一看）=兀,所以①=与=2.所以>（x）=sin（2x+9）,

又图象过点与0）,由五点法知,+9=兀，所以9=会所以尸sin（2x+5）.

故将函数丁=5由x的图象先向左平移争个单位后，再把所得图象上各点的横坐标

缩短为原来的;（纵坐标不变），可得函数丁=5由（2%十§的图象.

答案A

【训练8]将函数尸cosQ―的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变)，再向左平移3个单位，所得函数图象的一条对称轴是()

A兀

A.『

C兀

C.X=7lD.X=2

横坐标伸长到原来的倍

解析_(42

y-cos^-3J纵坐标不变

由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当时,

y=cos[jX^—^=1,故选D.

答案D

要点九三角函数的性质

1.三角函数的周期性：函数y=Asin(twx+°)和y=Acos(。工+0)的最小正周期为

含，y=tan(0x+0)的最小正周期为嵩

2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asincox或y=Atancox,

而偶函数一般可化为y=Acos