高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 《弧度制》

5.1.2弧度制

学习目标

1.理解角的集合与实数集间的--对应；

2.熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；

3、能灵活运用弧长公式、扇形的面积公式。

重点难点

1.教学重点：角度与弧度的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与运用;

2.教学难点：用扇形的弧长公式、扇形的面积公式解决问题。

知识梳理

1.规定：叫做1弧度的角。

2.一般地，正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数

是0

3.弧度与角度的转化：1°=rad;lrad=。

4.扇形的弧长公式：,扇形的面积公

式：0

学习过程

一、探索新知

探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗?

角度为30°、60°的圆心角，半径L1,2,3时,

(1)分别计算相对应的弧长L

(2)分别计算对应弧长与半径之比。

思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？

1.弧度的概念

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.

弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位

符号是rad.

约定：正角的弧度数为正数,

负角的弧度数为负数，

零角的弧度数为0.

思考1：圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度

数是多少？

思考2：如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧长为1,那么，角a的弧度数的绝对值

如何计算？

结论：圆心角A0B的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。

2.角度与弧度的换算

思考3：一个周角以度为单位度量是多少度，以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得

角度与弧度有怎样的换算关系？

思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？

例1.把67°30,化成弧度。

例2.把下列各角的弧度化为度数。

⑴—

12若

注：角度制与弧度制互化时要抓住180°=万rad这个关键。

注：常规写法

①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少万的形式，不必写成小数.

②用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，面只写该角所对应的弧度

数.

③弧度与角度不能混用.即不能出现这样的形式：300+工。

6

练习：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

角0°30°60°120135270

度000

弧71715n712/r

~4~2~6

度

3.角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系,

任意角的集合实数集R

例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：(1)l=aR(2)S=-«R2

2

(3)S=-IR(其中R是扇形的半径，/是弧长，a(0<a<2»)为圆心角，S是扇形的

2O

面积)。

达标检涮

1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()

A.(2女几,24兀十5J(«£Z)

B.[4兀,+—

JI

C.2k立,24兀+—(4£Z)

~吟/

D.A兀，A兀

2.与30。角终边相同的角的集合是()

ji

A.\aa=k•360°+—,k^L

b

B.{cz|a=2kb+30°,k^Z}

C.{a|a=2k・360°+30°,k^Z}

n

D.aa=2kn+~r,AGZ

6

3.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()

4020

A.ynB.5n

200400

C.-T-nD.

Jo

4.将一1485°化成2"+a(0Wa<2”，4©Z)的形式为

5.一个扇形的面积为1,周长为4,求该扇形圆心角的弧度数.

课堂小结

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究：规律：①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关;

②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；

思考1.2rad,-3rad.思考2.\a\=—

/思、考3.360°,2»o360°=2»，180°=冗

思考41°=Jx0.01745rad,lrad=(―)°«57.30°

1807i

例1.因为67°30'=所以67°30'=^^mdx^^二』；zrad。

218028

Zy-IC/,、51/180、。51__O

例2.(1)—=(—)X—=75

12兀12

(2)£X(—)°=45°

471

练习:

角0°3045°60°90120135150180°270360°

度000000

弧0717171712万3兀5兀n37c2»

~6~47~2VT~6~2

度

例3.解析见教材

达标检测

1.【解析】B中4=1时为卜，I1显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴

的角故C、D均错，只有A正确.

【答案】A

,JIJI

【解析】V30°=30X-—rad=—rad,

180b

2.，与30。终边相同的所有角可表示为

JI

。=2«兀+二~,kRZ,故选D.

b

【答案】D

,Ji4

3.【解析】240°=240X---rad=-Jirad,

loUo

440

弧长1=\a\•r=-JiX10=—Ji,选A.

oo

【答案】A

4.【解析】由一1485°=-5X360°+315°,

一7

所以一1485°可以表不为-10n+1口.

7

【