高中数学选修2-2知识点

高中数学选修2——2知识点

第一章导数及其运用

知识点：

导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一样的，函数y=/(x)在x=x0处的瞬时变化率是

I-/U0+Ax)-/(x0)

lllil，

我们称它为函数y=/*)在x=x。处的导数，记作f\x0)或I,』，

即f'(x0)=lim/(尤。+3-"飞)

心f°Ar

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点与趋近于P时，直线PT与

曲线相切。容易知道，割线PP”的斜率是k“=/—)一/A),当点日趋近于P时，函数

y=/(x)在x=/处的导数就是切线PT的斜率k,即上=lim加)二八%。)=八面)

—七一与

3.导函数：当x变化时，/'(X)便是x的一个函数，我们称它为/(x)的导函数.y=/(x)的

导函数有时也记作y',即f'(x)=lim以叶也二以包

加T°Ax

知识点：

二.导数的运算

1)基本初等函数的导数公式：

1若/(X)=c(c为常数),则f'(x)=0；

2若/(x)=/,则八幻=卅；

3若/(x)=sinx,则r(x)=cosx

4若/(x)=cosx,贝U/'(x)=-sinx;

5若f(x)=ax,则f'(x)=ax\na

6若/(%)=ex,则f'(x)=ex

7若/(x)=log)则r(x)=4

x\na

8若/(x)=lnx,则/'(x)

x

2)导数的运算法则

1."(x)±g(x)]'=r*)±g'(x)

2."(X)・g(切=r(x)•g(x)+f(x)・g'(x)

-W[g(x)f

3)复合函数求导

y=f(u)和"=g(x),称则y可以表示成为x的函数，即y=/(g(x))为一个复合函数

y=/'(g(x))・g’(x)

考点：导数的求导及运算

★1、已知/(%)=d+2%—sinzr,则f(0)=

★2、若〃x)=e*sinx，则/(-V)=

★3./(x)=ax:i+3x2+2,尸(一1)=4,则a=()

MJclM

3333

★★4.过抛物线y=x?上的点的切线的倾斜角是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

★★5.如果曲线y=：》2+3与>=2-/在x=%o处的切线相互垂直，则/=

三.导数在研究函数中的运用

知识点：

1.函数的单调性与导数：

一样的，函数的单调性与其导数的正负有以下关系：

在某个区间3,加内，如果/'(x)〉O,那么函数y=/(x)在这个区间单调递增；

如果r(x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反应的是函数在某一点邻近的大小情形.

求函数y=/(x)的极值的方法是：

(1)如果在x0邻近的左侧f'(x)>0,右侧/'(x)<0,那么/(x0)是极大值；

(2)如果在x0邻近的左侧fXx)<0,右侧/'(X)>0,那么f(x0)是极小值；

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数y=/(x)在■，灯上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y=/(x)在3,与内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/S)比较，其中最大的最大值,

最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题

考点：1、导数在切线方程中的运用

2、导数在单调性中的运用

3、导数在极值、最值中的运用

4、导数在恒成立问题中的运用

一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线y=d在p点处的切线斜率为k,若k=3,则P点为()

A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)

]_J

C.(2,8)D.(-2,-8)

★2.曲线y尤3一一+5,过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为()

TC71713

————71

A.6B.4C.3D.4

二、题型二：导数在单调性中的运用

★1.(05广东卷)函数八幻=丁一3/+1是减函数的区间为()

A.(2,+a>)B.I-00⑵c.(-00,。)D.(°，2)

★2.关于函数/3=2/-6/+7,下列说法不正确的是()

A.在区间（-8,0）内，/（X）为增函数B.在区间（0,2）内，/（“）为减函数

C.在区间（2,+8）内，/（幻为增函数D.在区间（-%0）口（2，+8）内，〃处为增

函数

★★3.（05江西）已知函数y=#'（x）的图象如右图所示（其中/（无）是函数/（X）的导函数），

下面四个图象中丁=/（划的图象大致是（）

11

（II）当aW］时，讨论/（x）的单调性.

三、导数在最值、极值中的运用:

★1.（05全国卷I）函数/*）=/+/+3龙-9,已知/（x）在x=-3时获得极值，则*（）

A.2B.3C.4D.5

★2.函数y=2d-3/-12X+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是（）

A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16

★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数/（为="/+U+"3¥°）是R上的奇函数，

当x=l时获得极值—2.

（1）试求a、c、d的值；

（2）求）（幻的单调区间和极大值；

★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数/（x）=x2/T+GP+bx2,已知》=—2和8=1

为“幻的极值点。（1）求口力的值；

（2）讨论/（幻的单调性；

第二章推理与证明

知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一样性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特别到一样的推理。

归纳推理的一样步骤：

•通过视察个别情形发觉某些相同的性质；

•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样命题（料想）；

・证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理

由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点，推出另一类对象也具有

这些特点的推理称为类比推理（简称类比）.

简言之，类比推理是由特别到特别的推理.

类比推理的一样步骤：

•找出两类对象之间可以确切表述的类似特点；

•用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点，从而得出一个料想；

•检验料想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过视察、分析、比较、联想，再进行归纳、

类比，然后提出料想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演绎推理

从一样性的原理动身，推出某个特别情形下的结论，这种推理称为演绎推理.

简言之，演绎推理是由一样到特别的推理.

演绎推理的一样模式------三段论二,…包括

⑴大条件——已知的一样原理；

⑵小条件——所研究的特别情形；

⑶结论——据一样原理，对特别情形做出的判定.

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推

导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论动身,逐渐寻觅使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结

论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一样地,假定原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假定毛

病，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

反证法法证明一个命题的一样步骤：

⑴（反设）假定命题的结论不成立;

（2）（推理）根据假定进行推理,直到导出矛盾为止;

（3）（归谬）断言假定不成立;

（4）（结论）肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数〃的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤；

（1）（归纳奠基）证明当〃取第一个值〃O（〃0GN*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假定〃=-%2〃0«€"*）时命题成立，推证当〃=左+1时命题也成立.

只要完成了这两个步骤，就可以肯定命题对从〃。开始的所有正整数〃都成立.

考点：无

第三章数系的扩充与复数的引入

知识点：

一:复数的概念

（1）复数:形如初（aeR力eR）的数叫做复数，。和b分别叫它的实部和虚部.

（2）分类：复数。+方中，当人=0,就是实数；〃。0,叫做虚数；当a=0时，

叫做纯虚数.

（3）复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

（4）共轨复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共朝复数.

（5）复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的

部分叫做虚轴。

（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

2.相干公式

(l)a+Z?z-c+di<=>。="且c=d

(2)a+初=0oa=Z?=0

(3)|z|-\a+M=y/a2+b2

(4)z=a—bi

z,2指两复数实部相同，虚部互为相反数(互为共辄复数).

3.复数运算

(1)复数力口减法：(a+Z?i)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

⑵复数的乘法：(。+初)(c+di)=(ac—6/)+Sc+ad)z.；

a+bi(a+bi](c-di)

⑶复数的除法：一-=7~第一/

c+ai[c+ai)[c-ai)

_(ac+bd)+(bc-ad^i_ac+bdbc-ad.

c2+d2c2+d2+c2+d21

(类似于无理数除法的分母有理化f虚数除法的分堤实数化)

4.常见的运算规律

(l)|z|=|z|；(2)z+z=2a,z—z=2bi\

2

(3)z-z=|z「=|z|--a+Z>2;(4)Z--z;(5)z-zozwR

/^\«4M+I・〃•*4/J+4

(6)z=i,•i»4/n-2=-li,z4+3=-i,i=1i;.

⑺(⑺2也⑻罟，总7修J=±i

⑼设①=二^^是1的立方虚根，则1+0+疗=0,疗"+1=3,03"+2=初03"+3=]

考点：复数的运算

★山东理科1z=cos0+isin0(i为虚数单位)，则z^n-l的6值多是

(A)-(B)-(C)-(D)-

6432

★山东文科1.复数虫③的实部是()

l+2i

A.-2B.2C.3D.4

★山东理科(2)设z的共貌复数是若z+==4,z-z=8,则三等于

Z

(A)i(B)-i(C)±lQI±i

高中数学选修2-3知识点

第一章计数原理

知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有此种不同的方

法，在第二类办法中有此种不同的方法，……，在第N类办法中有帐种不同的方法，那么

完成这件事情共有M,+M2+……+M、种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有ml种不同的方

法，做第二步有不同的方法，……，做第N步有不同的方法.那么完成这件事共有

N=MM...M、种不同的方法。

3,排歹U：从〃个不同的元素中任取加血个元素，依照一定顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出勿个元素的一个排列

4、排列数：从〃个不同元素中取出力(加个元素排成一列，称为从〃个不同元素中取出加

个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列数，用符号记表示。

〃！

An,—n(n-1)•••(/?-m+1)=----:——(m<n,n,m&N)

(n-m)!

5、公式：A：z=A；+A：：C：T=A：+〃4"TA：=nA'^

6、组合：从〃个不同的元素中任取成山WM个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出卬

个元素的一个组合。

7、公式：心"=组…(""+D=一-一

"A；；；m!

C〃十〃一L〃+]

8、二项式定理：

9、一71式一通7[二式;IHTWR.一■L・一■1

考点：1、排列组合的运用

2、二项式定理的运用

★★1.我省高中学校自实行素养教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五

名同

学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若

每个社团至少有一位同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同

学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）

A.72B.108C.180D.216

★★2.在（石+《）24的展开式中,x的嘉的指数是整数的项共有（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

★★3.现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调

剂到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调剂方法的种数是

A.420B.560C.840D.202X0

★★4.把编号为1,2,3,4的四封电子邮件分别发送到编号为1,2,3,4的四个网址，

则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为

★★5.的展开式中工?的系数为（）

x

A.-56B.56C.-336D.336

第二章随机变量及其散布

知识点：

1、随机变量：如果随机实验可能显现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着实验

的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等或希

腊字母g、n等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我

们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3、离散型随机变量的散布列：一样的，设离散型随机变量X可能取的值为xi,X2,.....

X取每一个值Xi（1=1,2,.....）的概率P（&=xj=P.,则称表为离散型随机变量X的概率

散布，简称散布列

XXIX2•••Xi•••Xn

PPiP2---Pl---

4、散布列性质①Pi^O,i=1,2,…；②Pi+P2+…+p“=1.

5、二项散布：如果随机变量X的散布列为:

X1O

PPq

其中O〈p〈l,q=bp,则称离散型随机变量X服从参数p的二点散布

6、超几何散布：一样地，设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取

n(nWN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

则它取值为k时的概率为P(X=A)=L^”(A=0,l,2,i,m),

CN

其中=min{M,”},且"WN,MWN,n,M,NeN*

7、条件概率：对任意事件A和事件B,在已知事件A产生的条件下事件B产生的概率，叫

做条件概率.记作P(B|A),读作A产生的条件下B的概率

8、公式：

9,相互独立事件：事件A(或B)是否产生对事件B(或A)产生的概率没有影响，这样的两个事

件叫做相互独立事件。P(AB)=P(A)P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种实验

11、二项散布：设在n次独立重复实验中某个事件A产生的次数，A产生次数已是一个随

机变量.如果在一次实验中某事件产生的概率是P，事件A不产生的概率为q=l-p,那么在

n次独立重复实验中Pq=k)=C：p\…(其中卜力，1,...,n,q=bp)

于是可得随机变量€的概率散布以下：

g0i•••k♦・・n

p••••••C"q°

这样的随机变量g服从二项散布，记作8〜B(n,p),其中n,p为参数

12、数学期望：一样地，若离散型随机变量g的概率散布为

gX1X2・•・Xj

PPlP2•••Pi•••

则称Eg=xlpl+x2P2+…+xnpn+…为g的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称

为期望.是离散型随机变量。

13、两点散布数学期望：E(X)=np

14、超几何散布数学期望：E(X)=”.空.

N

2

15、方差:D(g)=(x「E&)2・P1+(X2-E€)-P2+.....+(xrEg差・P.叫随机变量&的均方

差，简称方差。

16、集中散布的期望与方差一览：

期望方差

两点散布E€=pDg=pq,q=l-p

超几何散布

iD(X)=np(1-p)*(N-n)/(N-l)

Ec=n--M--

胡艮从参数为N,M,n的超几何分布N(不要求)

二项散布，&〜B(n.p)E€=npDg=qEg=npq,(q=l-p)

j_幺=4

几何散布，P(&=k)=g(k,p)

pp-

17.正态散布:

若概率密度曲线就是或近似地是函数

1

j(x)=]----------e2b,xG(—oo,+oo)

727rb

的图像，其中解析式中的实数〃、b(b>0)是参数，分别表示整体的平均数与标准差.

则其散布叫正态散布记作：N(〃。)，f(x)的图象称为正态曲线。

18.基本性质：

②曲线关于直线x=〃对称，且在x=〃时位于最高点.

③当时x<〃，曲线上升；当时x>〃，曲线降落.并且当曲线向左、右两边无穷延伸时，以

X轴为渐近线，向它无穷靠近.

④当〃一定时，曲线的形状由b肯定.b越大，曲线越“矮胖”，表示整体的散布越分散；b

越小，曲线越“瘦高”，表示整体的散布越集中.

⑤当。相同时,正态散布曲线的位置由期望值u来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

19.3b原则：

从上表看到，正态整体在(〃-2b,〃+2b)以外取值的概率只有4.6览在

(〃-3b,〃+3b)以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情形产生为小概

率事件.也就是说,通常认为这些情形在一次实验中几乎是不可能产生的.

考点：1、概率的求解

2、期望的求解

3、正态散布概念

★★★1.(本小题满分12分)某项考试按科目A、科目3顺次进行，只有当科目A成绩合格

时，才可以连续参加科目6的考试。每个科目只答应有一次补考机会，两个科目成绩均合

格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的

概率均为白，每次考科目8成