预测08 函数的综合应用（文）（解析版）高中数学

预测08函数的综合应用

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

①函数与方程

考向预测②函数实际应用

③函数的综合应用

应试必备

函数的综合应用等问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，因新高考改革

出现在多选题也有可能，因此弄清函数的综合应用的常见考点至关重要。

复习本专题要围绕两个重点展开：

1.函数与方程

2.函数实际应用

3.函数的综合应用

1.函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使7(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系：方程式x)=0有实数根o函数y=_/(x)的图象与x轴有交点=函数>=兀0有零点.

2.函数零点的判定

如果函数y=Ax)在区间［小切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有式〃)：也>)<0,那么函数y=/(x)

在区间(〃，份内有零点，即存在。6(小份，使得区c)=0,这个c也就是火x)=0的根.我们把这一结

论称为函数零点存在性定理.

有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数7U)在定义域上是单调函数，则兀0至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

真题回顾

x3,

1.(2020天津9)已知函数/(x)=«若函数g(x)=.f(x)-忸2一2x|(ZeR)恰有4

、一X,

个零点，则攵的取值范围是()

1_8,-；)U(O,2扬

A.—00,----U--(2«+8)B.

2

c.S,0)U(0,2夜)D.(-OO,0)U(2区,+8)

【答案】D

【思路导引】由g(0)=0,结合已知，将问题转化为y=l丘—21与力00=瞥有3个不同交点,

\x\

分左=0"<0,左>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

f(X)

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I丘-21=(一恰有3个实根

\x\

即可，令/©)=/2,即)>=|履一2|与/z(x)=WH的图象有3个不同交点.

|x|\x\

、,、2x>0

因为/l(x)=|f(|x)=1x,,

|x|[1,x<0

此时y=2,如图I,y=2与/i(x)=g里有2个不同交点，不满足题意；

当人=0时,

\x\

当k<()时,如图2,此时y=|近-2|与/z(x)=—恒有3个不同交点，满足题意；

\x\

当上〉0时,如图3,当y="-2与y=V相切时，联立方程得--依+2=0，

令A=0得公一8=(),解得&=2后(负值舍去)，所以上〉2友.

综上，Z的取值范围为(-oo,O)U(20,+oo)，故选D.

2

2.(2019全国HI文5)函数/(x)=2sinx-sin2x在［0,2兀］的零点个数为

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】解法一：函数〃x)=2sinx—sin2x在［0,2句的零点个数，

即2sinx—sin2x=O在区间［(),2K］的根个数，

即2sinx=sin2x,令(x)=2sinx和g(x)=sin2x,

作出两函数在区间［(),2可的图像如图所示，由图可知，

〃(x)=2sinx和g(x)=sin2x在区间［0,2兀］的图像的交点个数为3个.故选8.

解法二：因为/(x)=2sinx—sin2x=2sinx(l—cosx),xe［0,2兀］,令〃x)=0，得

3

2sinx(l-cosx)=0,即sinx=O或1一cosx=0,解得x=0,兀,2兀.所以/(x)=2sinx—sin2x

在［0,2兀］的零点个数为3个.故选B.

3.(2020山东6)基本再生数凡与世代间隔是新冠肺炎的.流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶

段，可以用指数模型：/Q)=e”描述累计感染病例数/Q)随时间f(单位：天)的变化规律，指

数增长率r与4，T近似满足&=1+4.有学者基于已有数据估计出4=3.28,T=6.据此，

在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(m2。0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【思路导引】根据题意可得/(£)="'=*3",设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1

倍需要的时间为％天，根据e038(F)=26°-如，解得％即可得结果.

3—1

【解析】因为9=3.28,7=6,/?0=1+”,所以厂一=0.38,所以/(，)=e"=e°3,

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天，则*38"+“)=2*3即，所

以e°-38〃=2,所以0.38%=ln2,所以。=如马”%h1.8天，故选：B.

0.380.38

4.(2020上海11)已知aeA，若存在定义域为R的函数y(x)同时满足下列两个条件，①对任意

xeR，/(X)的值为X或②关于x的方程/(尤)=。无实数解；则a的取值范围为.

0

【答案】(F,0)U(0,1)U(1,M)

【解析】由y=f和y=x的图象和函数的定义可知，若满足/($)的值为X。或/(%)=/2,只

有/•(())=()=02,/⑴=1=/，结合②可知若方程=a无实数解，则

ae(F,0)U(0,l)U。,”)，故答案为：(F,O)U(O,1)U(1,”)・

4

5.（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未

达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量卬与时间/的关系为w=/⑺，用-一/⑷的

b-a

大小评价在［。，句这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放

量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在匕"2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在与时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强：

③在与时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；

④甲企业在［0,旬，,，马］，国，^］这三段时间中，在［0,才的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】...w=/Q）用来评价治污能力,而/（力一八①是图像上两点连线的斜率,

b-ab-a

在LJ2］匕甲的治污能力比乙强，故①对，马时刻甲比乙强，J时刻都低于达标排放量，，都达

标，甲企'也在［0田］时刻治污能力不是最强.

5

名校预测

一、单选题

1.(2021•陕西省汉中中学高三其他模拟(理))关于函数/(x)=(lnx)2—21nx,下列说法正确的

是()

A.函数f(x)有2个零点B.函数f(x)有4个零点

C.e是函数/(x)的一个零点D.2e是函数/(x)的一个零点

【答案】A

【分析】直接令/(x)=0,求方程的实数根，确定零点个数.

【详解】

令(in》)？-21nx=lnx-(lnx_2)=0,解得：x=l或x=/，

所以函数有2个零点.故选：A

2.(2021•江苏高三专题练习)已知定义在R上的函数犬x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表:

那么函数人龙)一定存在零点的区间是()

X1234

於)6.12.9-3.5-1

A.(-co,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

利用零点存在性定理即可判断.

【详解】

解：由题意可知：f(3)=-3.5<0,/(2)=2.9>0,

所以/(2)/(3)<0.

函数7U)一定存在零点的区间是(2,3).

故选：C.

3.(2021.福建高三二模)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量。(单位：L)与速度v(单

位：km/h)(40<v<120)的数据如下表：

6

V406090100120

Q5.268.3251015.6

为描述。与u的关系，现有以下三种模型供选择：QO)=0.04u+3.6,2(v)=0.5'+a,

2(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共

有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120]

(单位：km/h).为使百公里耗油量W(单位：L)最小,该型号汽车行驶的车道与速度为()

A.在外侧车道以8()km/h行驶B.在中间车道以90km/h行驶

C.在中间车道以95km/h行驶D.在内侧车道以115km/h行驶

【答案】A

【分析】

首先根据数据选择函数模型，再表示W=&x。，求函数取得最小值时，v的取值.

v

【详解】

由题意，符合的函数模型需要满足在120,v都可取，且由表可知，。随"的增大而增大，

则该函数模型应为增函数，

.•.。3)=05+。不符合，

若选择e(v)=0.04v+3.6,则Q(90)=0.04x90+3.6=7.2,。(100)=0.04x100+3.6=7.6,

2(120)=0.04x120+3.6=8.4,与实际数据相差较大，所以Q")=0.04u+3.6不符合，

若选择23)=0.000025——0.(X)4y2+0.25u,则。(40)=5.2,Q(6())=6,2(90)=8.325,

e(l(X))=10,2(120)=15.6,Q(v)=0.000025v3-0.004/+0.25v最符合实际，

­.W=—xQ=0.0025v2-0.4v+25=0.0025(v-80)2+9,

当u=80时，W取得最小值为9.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数模型解决实际问题，本题的关键是建立函数模型，一个是判断最符

合的函数模型，另一个是求W=W^xQ=0.0025^2-0.4丫+25=0.00253—80)2+9.

7

4.(2021•浙江温州市.高三二模)已知函数/(x)=ln|x|-x+,，则函数y=/(x)的图象可能是

【答案】B

【分析】

利用特殊值代入的方法排除CD,当x>0时，求出f(2)-f(l),/(e)—/(2),比较变化情况排除

选项A,即可得出结果.

【详解】

因为/'(力=皿|了|一》+,，由/(e)=l—e+1<0,排除CD；

xe

113

当2>0时,/(x)=lnx-x+-,/(2)=ln2-2+-=ln2一一，XIn2«0.6931«0.7,

x22

Q1

则/(2)=ln2_]“-0.8,/(2)-/(1)°-0.8；/(e)=l-e+-«-1.35,/(e)-/(2)«-0.55.

选项A在。,+8)减的越来越快，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

方法点睛：本题考查函数图象的识别，此类问题一般利用特殊值代入，根据函数的奇偶性、单调性、

函数在特殊点处的函数的符号等来判别.

8

二、多选题

5.(2021•吴县中学高二月考,)已知函数/(无)=161n(l+x)+x2—10x,下列说法正确的是()

A.%=3是函数/(x)的极值点B.函数f(x)的增区间为(7,1)U(3,+8)

C./(X)在(1,2)上单调递减D.直线y=161n3-16与f(x)的图象有三个交点

【答案】ACD

【分析】

对/(x)求导，判断f(x)的单调性，即可判断选项A,B,C；求出/(X)的极大值、极小值结合

/(2)=16In3-16即可判断选项D,即可得出正确选项.

【详解】

由/'(X)=161n(l+x)+x2-10x可得

八幻二生+21。=2加+1)一叫2)+16(x-3)(2元-2)

x+lX+1x+l

由f\x)=—顼2'_>0可得：-Ivxvl或%>3,

x+1

由r(x)=(土3)(2t2)<0可得:1<%<3,

x+1

所以/(%)在(-1,1)和(3,+8)单调递增，在(1,3)单调递减，

所以x=3是函数Ax)的极小值点，故选项A正确；

单调增区间为(-M)和(3,+8),不能写成并集，故选项B不正确；

f(x)在(1,3)单调递减，所以/Xx)在(1,2)上单调递减，故选项C正确；

因为的极大值/(D=161n2+l-10=161n2-9,

/(x)的极小值/(3)=161n4+9-30=161n4-21,因为/(2)=161n3-16,

fM在(1,3)单调递减，所以"3)<〃2)</(1),

所以直线y=161n3-16与/(x)的图象有三个交点，

9

故选：ACD

【点睛】

方法点睛：利用导数研究函数/（x）的单调性和极值的步骤

①写定义域，对函数/"）求导/'（%）;②在定义域内，解不等式/'（为＞0和/'*）＜0；

③写出单调区间，并判断极值点.

6.（2020•常熟市中学高一月考）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留

量y与净化时间f（月）的近似函数关系：y=a'（f20,a＞0,axl）的图象.有以下说法：其中正确

的说法是（）

B.每月减少的有害物质质量都相等

C.污染物每月的衰减率为g

D.当剩留g,j，£时，所经过的时间分别是乙，，2，4,则0+f2=f3

【答案】ACD

【分析】

10

代入函数可得y=(I)

,再依次求解即可判断每个选项的正误.

4,4则y=0

【详解】将代入函数,则§=〃，解得。

/、4

对A,当f=4时，）=[2]="<2，故A正确;

•815

第一月的减少量为第二月的减少量为(2)一121=2,不相等，故B错误;

对B,l—=1

⑶⑶9

对C,污染物每月的衰减率为故C正确;

3

111

-,WJ—x—=—则f1+f2=f3，故D

8248

正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点睛：本题考查指数函数的应用，解题的关键是得出解析式进行计算.

7.(2020•湖北高三月考)已知函数/(为=人(；/-。的图象过原点，且无限接近直线y=-2但又

不与该直线相交，则()

A.函数/(x)为奇函数B.函数/(©的单调递减区间是[0,+8)

C.函数"X)的值域为(一8,0]D.函数f(x)有唯一零点

【答案】BD

【分析】

根据函数过原点和无限接近直线y=-2得到。=。=2,再根据解析式判断函数的单调性，奇偶性,

值域和零点得到答案.

【详解】

函数/(x)=a-d)W—6的图象过原点，则/(0)=。一8=0,a=h,

11

无限接近y=0又不与该直线相交,

f(x)无限接近直线y=-2但又不与该直线相交，根据平移法则知a=b=2.

rif—2,/(—x)=21J

小)=2弓-2=2-—2=/(x)，函数为偶函数;

I/)

函数/(x)的单调递减区间是[0,+8),B正确;

函数fM的值域为(一2,0],c错误;

,解得x=0,D正确;

本题考查了函数的解析式，单调性，奇偶性，值域，零点，意在考查学生对于函数知识的综合应用

能力.

三、填空题

e'xN0

8.(2021•江苏苏州市•高二期中)若函数/(x)=〈—(其中e是自然对数的底数),

—x+2x+1,x<0

且函数V=1f(x)\->nx,有两个不同的零点，则实数m的取值范围是.

【答案】(-oo,0)D(e,+oo)

【分析】

在坐标平面中画出y=|/(x)|的图象，考虑动宜线丁=的与前者有两个不同的交点，从而可得所求

的m的取值范围.

【详解】

12

)=|/(x)|的图象如图所示，

当过。的直线与曲线丁=/相切时的切点为(不，e%)，

-0

因为y'=e、，故切点满足——-=eAu,故/=1,故切线的斜率为e.

x0-0

当m>0时，若直线N=〃簧与y=|/(x)|的图象有两个不同的交点，则，〃>e,

当机<0时，由图可得直线y=如与y=7(x)|的图象总有两个不同的交点，

当加=0时，直线丁=如与y=|/(x)|的图象有一个交点，

故m<0或心e,

故答案为：(Y>,0)D(e,+oo).

【点睛】

方法点睛：已知函数零点的个数，求参数的取值范围时，可将问题转化两个熟悉函数图象交点的问

题，注意图象的正确的刻画及临界位置的讨论.

9.(2021•浙江高一期末)半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD,设梯形的上底BC=2x,

则梯形ABCD的最长周长为.

【答案】5

13

【分析】

计算得出48=。。=万万，设梯形ABC。的周长为，，可得出y=2+2x+2&•JT7,换

元［=>/］二7€(0,1),可得出y=—2/+2万+4,利用二次函数的相关知识可求得>的最大值.

【详解】

过点8、C分别作BELA。、CF±AD,垂足分别为E、F，

则BE//CF,BC//EF,且NBEF=90°，所以，四边形3CFE为矩形，

所以，EF=BC=2x,

•;AB=CD,ZBAE=ZCDF,ZAEB=ZDFC=90.所以，Rt^ABERt^DCF,

Ar)_FF__________

所以，AE=DF=----则O尸=O£>—Z>F1=x，CF=\JoC2-OF2=71-x21

AB=CD=^CF2+DF2=^(l-x2)+(l-x)2=j2-2x,

设梯形ABC。的周长为y,则y=2+2x+2y/2-2x=2+2x+242-y/\^x，

其中0cx<1,

令/=，1二二€((),1),则x=l—产，

(joY

所以，y=2+2(l—/)+2"=_2/+2"+4=-2t--+5,

I2>

所以，当仁也时，y取最大值，即Wax=5.

2

故答案为：5.

【点睛】

思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

14

第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

10.（2020•湖南长郡中学高三月考（理））若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点

在曲线丁=%3+双上，则实数。=