面积法-第4讲面积问题

第四讲面积问题

基础知识

面积计算是平面几何中常见的基本问题之一。由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等

于各三角形的面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础.

>基本的面积公式

1.正方形面积，S=a2（a为正方形的边长）；

2.矩形面积，S=ab（。、人为矩形的长和宽）；

3.平行四边形面积，S=（/?为底边a对应的高）；

4.梯形面积，S=-（a+b）h（a.6为上下两底的长度，人为高）；

2

5.三角形面积，S=-ah（人为底边a对应的高）；

2

6.圆面积，S=%/（升为圆半径）；

riTrr~

7.扇形面积，S=——（”为圆心角，升为半径）；

360

A等积变换

等积变换是指保持面积不变的多边形的变换。三角形的等积变换是多边形等积变换的基础。关于等积

变换有以下几个主要的事实：

1.等底等高的两个三角形面积相等.

2.两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比.

3.两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比.

4.两个等高三角形面积之比等于它们的底之比.

5.等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积；

6.三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；

7.平行四边形的对角线平分它的面积；

>常用方法

面积法及等积变换有着广泛的应用，可用于求积，有关面积的不等式和极值，平面几何证明和等积作

图。所用的方法主要有：

1.恰当把图形分成若干部分（即割补法）求面积；

2.用面积方法证明线段（或角）相等、不等或比例关系；

3.把两个三角形面积的比转化为高和底边乘积的比.

二、例题

第一部分简单的面积

例1.（北京市竞赛题***）求证：正八边形的面积等于它最长的对角线与最短的对角线的乘积；

【分析与解答】：如图所示

例2.（★★★第14届迎春杯初赛）在平行四边形ABCD中，EG与BC平行，HF与AB平行，EG和

HF相交于0,如果平行四边形EBF0的面积为2平方厘米，平行四边形0GDH的面积为4平方厘米,

那么三角形0AC的面积等于多少？

【分析与解答】：设平行四边形AE0H的面积为x,平行四边形0FCG的面积为y；有

SAEO-SOFC~SBFOE；即

_X+2+4+y

、AOC=-2=1

Zf4-

例3.（★★★第17届迎春杯计算机交流试题）长方形ABCD中，EF与BC平行，HG与AB平行，且

长方形AEOH、HOFD、0GCF的面积分别为9、4、7,则三角形HBF的面积是多少？

【分析与解答】：设矩形EBG0的面积为x,则

■BCD口ABH°BCF°HFD'即

x+97+x4

sBHF=(9+4+7+%)--5=1°；

例4.（★★★）如图所示.P为△ABC内任意一点，三边a,b,c的高分别为ha,hb,hc,且P至!Ja,

b,c的距离分别为ta,tb,tc.

求证：—+—+—=1

hahbhc

A

B

【分析与解答】：根据已知条件有

a+c=SABC；又有a===，代入得到红十%+生=1・

22b2cABCha加加hahbhc

第二部分等积变换

例5.（★希望杯训练题）如图，四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点，求证：四边形DEBF

的面积是四边形ABCD的一半。

【分析与解答】连接BD,则SDBE，SBDF=SCDF

例6.（★★★天津市竞赛题）求证：四边形各边的中点依次连结成的四边形，其面积是原四边形面积的一

半；

【分析与解答】连接AF,HC,易证S.B+Sme=ABCD；

且S.BFA/B+SH0c）=15Age0，同理可证，

GFC=W$ABCD；得证；

例7.★★安徽省竞赛题）在任意四边形ABCD中，E、F和G、H分别把AB、CD三等分，连结

s-Ls

EH和FG把ABCD分成三个小四边形，求证：3；

【分析与解答】：连接DE,DB,GB；

.2

=

,SDBG=2SBGC；得到，SDEBGABCD»

又连接EG,可得SEHGF='SDGBE；综合得到Sehgf=-Sabcd；

例8.（★★★）如图所示.在梯形ABCD中，两腰BA,CD的延长线相交于0,0E〃DB,0F〃AC且分别

交直线BC于E,F.求证：BE=CF.

【分析与解答】：由SABD=S®得到SBOD=SAOC；

又因为SAOC=SACF,SBOD=SBDE,得到SEBD=SACF,则EB=CF

例9.(★★★★)过四边形ABCD的定点A,求作一直线，分原四边形为等积的二部分;

【分析与解答】：连接AC,做BE平行于AC交DC延长线于E点；

先把四边形ABCD等积变换为三角形ADE,然后做DE的中点即可。

例10.(★★★★)如图所示.E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,AB上的点，且BE=DF,BE与DF

交于0.求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离.

【分析与解答】过C作CGLBE于G,CHLFD于H,则CG,CH分别是C到BE,DF的距离，问题就是要证

明CG=CH.结合已知，BE=DF,可以断言，4BCE的面积等于4CDF的面积.由于这两个三角形的面积都等

于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解.

连接CF,CE.因为

SABCE=$ABCD=］邑ABCD，

Q&CDF_0<1CAD-2—即CD，

所以SAbCE=SAcDF.

因为BE=DF,所以

CG=CH(CG,CH分别表示BE,DF上的高)，

即C点到BE和DF的距离相等.

例11.(★★第十五届江苏省初二)已知凸四边形ABCD的面积是a,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,

DA的中点，那么图中阴影部分的总面积是.

【分析与解答】：连结AO,DO,BO,CO,可得

___qq—qq

BOF-2COF，2COG-0DOG，°DOH=SAOH

则阴影面积w

第三部分面积比与线段比的转换

例12.（★★★希望杯试题）在ABC内有点P,分别连接并延长AP、BP、CP交BC、AC、AB于D、

E、F

(1)证明：S-BQ_AE.

SBCPEC

AECDBF

(2)证明：1

ECBDFA

PDPEPF1

(3)证明:

ADBECF

【分析与解答】：（1）第一问比较简单；（2）第二问用第一问的结论，得到赛瓦定理;

(3)PD=SpecPE_SAPCPF=S

茄一%?族—可?而一二,相加得证;

例13.★★上海市竞赛题）P为三角形ABC内一点，AP、BP、CP分别与对边交于D、E、F,把

三角形ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，那么三角形ABC的面积

为;

【分析与解答】：设三角形BPF面积为x,三角形APE面积为y,有

'84+x_y+35_AP

40-30-PD[%=56

84+匚4。+3。_成；解之得到产7。；则三角形皿的面积为315.

y-35~~PE

三'练习题

1.（★希望杯试题）若一个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高h减少3厘米后面积保持不

变，那么h-a=______厘米；

【分析与解答】：根据题意有，|«A=|（«+3）（/z-3）,解之得到h-a=3；

2.（★★希望杯试题）如图，5钻0=1,若SB=S»EC=SACE，则SAOE等于.

【分析与解答】：由题意易得B£=2A£；BD=DC；则

一彳Q一1T；

3ADB6ABC~6

3.（★★希望杯试题）正方形ABCD的面积是1平方厘米，EF=2BF,则SBCF等于.

【分析与解答】：连接EC；

o3_lo_1

-°BCE—/°BCDA一，

3ooo

4.（★★★第15届迎春杯训练题）正方形ABCD的边长为4厘米，E是AD的中点，F是EC的中点,

BD为对角线，那么3。尸的面积为多少？

【分析与解答1：SBDF=SBDC—SBFC—SFDC；

，BDC=5^ABCD=8；SBFC=—SBCE=4；SDFC=—SEDC=2；

则SBDF=SBDC—SBFC—SFDC=2;

5.★★江苏省竞赛题）求证：凹四边形ABCD各边的中点依次连结成的四边形EFGH,其面积

是原四边形ABCD面积的一半；

【分析与解答】：连接ED,BD,FD；易证SAE”皿，SGFC=；SB℃；

又由^AEH=SEDH，，GFC=SDFG；而DFG+EDH=万EFGH»得证；

6.★★湖北省竞赛题）过三角形ABC的AB边上一点P,求作两条直线，分原三角形为等积的

三部分；

【分析与解答】：连接pc,做AE平行PC交BC延长线于E,取BE三等分点与P相连即可;

7.（★★第11届希望杯试题）如图所示,长方形ABCD