高中数学高考解答题突破(五)　圆锥曲线的综合应用

考试注意事项

1.进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅

笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡

皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。严禁携带手机、无线

发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正

带、助听器、文具盒和其他非考试用品。考场内不得自行传递文

具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒

考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2.准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填

写姓名、准考证号。填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清

的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定

严肃处理。监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自

己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员

要求更正。

3.考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间

参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以

考点统一发出的铃声信号为准。

高考解答题突破（五）圆锥曲线的综合应用

突破“两设”——设点、设线

［思维流程］

参数设点-

减元设点।A卜设而不求

直接设点|一

曲线系।广।标准方程

普通方程I一

参数方程।二匕般方程

［技法点拨］

圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求

曲线方程或离心率，一般比较简单.第2问往往是通过方程研究曲线

的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、

最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强,可通过

巧设“点'”“线\”，设而不求.在具体求解时，可将整个解题过程分成

程序化的三步：

第一步，联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的

关系正确写出；

第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中涉及的

位置关系和数量关系；

第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中.

在求解时，要根据题目特征,恰当的设点、设线,以简化运算.考向

一圆锥曲线中的范围、最值问题

解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、

斜率等),建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.

(1)利用判别式来构造不等式,从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核

心是在两个参数之间建立相等关系；

(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；

(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.

【例1】设恻12+/+2工-15=0的圆心为4・直线/过点3(1,0)且与1〉切入点：借助图形.利用几何关系寻求等

轴不重合・/交例A于两点•过8作AC的平行线交AD于点E.:址关系.

(D证明"EAI+IEBI为定值.并写出点E的轨迹方程；关键点：利用几何等最关系转化,定义法

>-........................................................................................................................................>

jH<'Jr-#-•

(2)设点E的航迹为曲线g.枣红空

直的直线与圆A交于P・Q两近诵丽防凉砥赢证最而百『关键点：由直线/的斜率6表示IMNI和

’..................................................................................................IPQI.近而把四边形MPNQ的面积表

示为关于K的函数.

［解］⑴证明：因为|4£>|=|AC|,E8〃AC,故NEBD=NACD=N

ADC.

所以\EB\^\ED\,^\EA\+\EB\^\EA\+\ED\^\AD\.

又圆A的标准方程为(%+l)2+y2=16,从而|A0|=4,所以|E4|十|£8|

=4.

由题设得A(-l,0),B(l,0),|4B|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方

22

程为5+方=10"0).

(2)当/与％轴不垂直时，

设/的方程为3=々(7—1)(丘¥0),-----T~~

〜5‘〜八~〜〜〜-；攻,点、攻线：由已知设

A4(i],了]),N(J;232)♦(纬语占引入余粉

j/Tv\，7]/、/乡>yv

y=kCj：—1）,

2

由J?2y2得（\k~+3）J?—

T=1

4

8/i+4/—12=0,

8/4/-12

则可+12=承百L=4^+3

12（公+1）

所以IMN|=d1+九之|%]一jr

24/+3•

过点B(l,0)且与/垂直的直线根：)=一!(i—1),A到

R

m的距离为

，62+1

4/+3

4

V+l

故四边形MPNQ的面积S=^|MN||PQ|

乙

=12/1+}.而遍茨一至谬反一缸亩］

74氏2+3

I数关系；

可得当/与1轴不垂直时，四边形1------------------------J

MPNQ面积的取值范围为（12,8痣）.

当/与1轴垂直时，其方程为£=1,|MN|=3,|PQ|=8,

四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,8痣）.

解圆锥曲线范围'最值问题的要点

求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目标函

数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.

［对点训练］

1.（2018•郑州质检）已知椭圆C：，+1=1（。»>0）的左、右焦点

分别为FI,F2,以FiF2为直径的圆与直线ax+2by-yf3ah^o相切.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如图，过F,作直线/与椭圆分别交于两点P,Q,若APQFz的周长

为4vl求母尸乃。的最大值.

[解](1)由题意可知以FIF2为直径的圆与直线ax-\-2hy—y[3ah

=0相切.

.\~\[3ab\

C,即3屋。2=，(Q2+4b2)=(Q2-匕2)(。2+4b2).

,■\]a2+4h2

.•.次=2〃，,qz2

・6/=亚三=、[l^=yRA

aaQ222,

匕2i

(2\：APQF2的周长为4g,.Maud啦,.「二啦，由⑴知了

h2—l,

...椭圆方程为了+产=1,且焦点F)(-l,0),F2(l,0).

①若直线/的斜率不存在，则可得l±x轴，直线I的方程为％=—1,

卜二­1,

或I巫

〔产―2・

72

F2P-F20=(-2)X(-2)+-^-X

7

故尸2尸.尸2。=].

②若直线/的斜率存在,设直线/的方程为y=%(%+1)(%WO),

y=k(x-\~l),

由,消去y整理得

_x2+2y2—2

(23+1)%2+43工+2/?-2=0.

设P(xi,yi),Q(x2,y2),

4A22公一2

则%]+%2=2公+],即％2=2标+1

F2PF2Q=(XI—1,yi>(%2—1,竺)

=(为-1)(%2—1)+>1>2

=(F+1)%1检+(3-1)(11+%2)+储+1

=(s+D2^22T—i2+(s—i”(一^4kT2lJ)+d+i

7Z?-1

=2k2+l

_7_9

=2~2(2k2+iy

可得一1＜尸2尸,

7

综上可得一KBPBQW,

ff7

...BPBQ的最大值是了

考向二圆锥曲线中的定点、定值问题

1.定点问题的求解策略

解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y^kx+m（k存

在的情形）.然后利用条件建立攵与机的关系.借助于点斜式方程思

想确定定点坐标.

2.定值问题的求解策略

定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般

化的证明或直接推证得出与参数无关的数值.在这类试题中选择消元

的方法是非常关键的.

【例2】（2018•全国卷1）设椭例（，+/=】的右焦点为F•过F的直线/与C

关键点:转化为直线MA

交于A.B两点,点M的坐标为（2・0）.

「•）与MB的斜率之和为0

当/与轴垂直时•求直线的方程：

（1）zAM的定值问题.

（2）设O为坐标原点,证明：ZOMA=ZOMB.

［解题指导］⑴3』f

得出直线AM方程

验证特殊直一设出直线I的借助根与系数的关

(2)线是否适合f方程并联立

系表不大MA+

一化简求值一得出结论

［解］⑴由已知得尸（1,0）,/的方程为x=l,由已知可得，点A的坐

标为1,1,

所以40的方程为旷=一多+也或丫=冬—#

（2）证明：当/与/轴重合时，NOMA=NOMB=0°,

当/与力轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，

所以NOMA=NOMB.

当I与1轴不重合也不垂直时，

设/的方程为（才一

线

设

设

3=4一-

:由已

A（JC1,丁1）,B（l2，丫2），-

-点，引

B的

则1]<",力2<—，直线

斜率之和为々^MB=

MA+JC1-ZTLo+

»2

力2-2'

由1yl=All-4，”=4彳2-k得归MA+々MB=

2kjC\JC2——34（1]+彳2）+44

5—2）（央—2）

72

将3=4（1一1）代入亍+»2=1得（2〃+1）JT2~^k~jc~\~2k-

乙

-2=0,

止_2k2~2

所以，了+科=

12/+1

则（）

2kx1X2—3/1]+n+44=:利用根与系数的

4/一靠一12〃+8*+软八

------------W+1------------=°'〈关系化简氏MA+

3MB为定值0

从而^MA+&MB=。，故M4,MB的倾I

斜角互补,

所以NOMA=NOMB

综上，NOMA=NOMB.

|名师点拨A

解答圆锥曲线的定值'定点问题应把握3点

(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；

(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；

(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离

出来，并令其系数为零,可以解出定点坐标.

［对点训练］

2.(2018•天津和平二模)已知椭圆E：，+卓=1(。泌>0)经过点

(1,1),且离心率e=；.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E的右顶点为A,若直线/：y=kx+m与椭圆E相交于

M、N两点(异于A点),且满足MA_LM4,试证明直线I经过定点,并求出

该定点的坐标.

<a2=b2-\-c2,

］9a—2,

（解］⑴依题意，得r了+正=1'解得,=小,

c_l、c=l.

〔小5

(2)证明：如图，设欣¥i,y)、M%2j2),

=kx~\~m,

联立

=1,

整理，得(3+43)d+8机区+4(小-3)=0,

则/=64机222—16(3+4Z?)(m2—3)>0,即3+4A?-;n2>0,

_8km4(m2—3)

为十%2=-3+4/阳%2=3+4乃.

从而y\yi—(京1+771)("2+m)=+mk(x\+%2)+机2=

3(m2—4Z?)

3+4炉’

由椭圆E的右顶点为A(2,0),MA_LNA,

得"'、二―I得为”+为应―2(即+%2)+4=0.

X\—ZX2-Z

2

则有毛3(m3—4+F)昔4(w?/—+3)讦16而mk+.4=0，

整理，得7/+16痴+4公=0,

2k

解得m=-2k或/"=一7，均满足条件3+4Z?—m2>0.

当加=一2%时，直线/的方程为>=网%—2),直线/过定点A,与题设

矛盾；

当机=一竽时，直线I的方程为>=《%—4直线I过定点修，0),

所以直线/经过定点，且定点的坐标为停，0)

考向三圆锥曲线中的探索性问题

处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设

出发,结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之

解决；若导出矛盾，则否定了存在性.

【例3】（2018•湖南五市十校联考）已知椭网+心＞0）的一个

〃b切入点：利用待定系数法求C

隼息之上,工期理酶鲤盛真蝮圆些出超典£典盘鳗为真鲤：■"＞的方程

［解］

'b=c、

_|0+0-2|r"='2'

（1）由题意知，卜=---6---，解得卜=1,

82+02=Q2,1。=1，

2

则椭圆C的标准方程为r今+»2=1.

乙

（2）当直线的斜率存在时，设直线方1二二1：

-------'设点、设线：由已知设；

程为）=为（］—1）（670）,线设占，引入参数k'

1VA），B（1B，'8），''

JL

又I2_*1

2'得（1+2庐）/—4/1+2*一2=0,△

（y=k{jc—1）,

=8/+8>0,

4/2k12-2

xA+xB=1+2^^AXB=1+2^'

假设在1轴上存在定点E(Zo,O),

使得EA・EB为定值•5标，引入参数入

则EA•EB=(1A-］。，了八)•(IB―

力0，了B)=RA1B-70(/A+NB)+曷+3^)8

JCAJCB-JC0

(•ZA+。)+//+42(1A-1)(J's-1)

=(1+/)JCA%B二，借助根与系数的关

JCQ)+曷+£2；系化简

(2焉一4TQ+1)^2+(^o-2)

1+2〃

VEA-EB为定值，；.EA-EB的值与归无关，

2JCQ—4TQ+1=2(j'o—2),

5—►——►一为定值，定点为

解得10彳，此时EA.EB5

，。卜

——7

当直线的斜率不存在时，也满足EA・EB=F为定值,

且定点为F0)-

综上，存在点E(1~,0),使得启•前为定值，且定值为

7

16,

|名师点拨A

存在性问题的解题步骤

［对点训练］

29

3.(2018・河北唐山模拟)已知椭圆宏+==13＞。＞。)的离心率e=

哗，过点A(0,一。)和点B(a,0)的直线与原点的距离为虐.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知定点E(—1,0),若直线y=^+2/W0)与椭圆交于CQ两点,

问：是否存在左,使得以C。为直径的圆过E点？请说明理由.

［解］(1)直线AB的方程为—ay—M=0,依题意可得

7述

a3以2=3,

)卜巧解得L1

ab_-31炉=1.

、＜(-a)2+Z722，

X2

所以椭圆的方程为全+v=l.

(2)存在.理由：假设存在这样的上

（y—kx~\~2,

联立方程彳芷+2_]得（1+3公）%2+12履+9=0.

由题意知/=（12%）2—36（1+3/）＞0,①

\2k

设。（即,巾）,£＞（©,竺）,则汨+%2=_]+3产，②

9…

即改二币后，③

而MV2—(kxi+2)(5+2)=I^X\X2+2k(xi+也)+4,

要使以CD为直径的圆过点反一1,0),当且仅当CE_LZ)E时成立,

则》|h+(%1+1)0+1)=0,

厂.(k+1)%送2+(2%+1)(^1+检)+5=0,④

7

将②③式带入④式整理得k=%

经验证，人力时使得①式成立.

综上可知，存在％=看7使得以8为直径的圆过点E.

专题跟踪训练(二十七)

1.(2018・济南模拟)已知点P(—2,1)在椭圆C：，+5=1(Q＞0)上,

动点A,B都在椭圆上,且直线AB不经过原点O,直线OP经过弦AB的

中点.

(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；

(2)求面积的最大值.

[解](1)将。(一2,1)代入方+与=1,得三=+彳=1,次=8.故椭圆

22

方程为L

当直线AB斜率不存在时不合题意，故设直线AB：>=区+

见4(孙力),仇X2,2),A3的中点为M(xo,yo),

y=kx-\-m,

由_^_Y_]得(1+4左2)%2+8初优+4/―8—0,

]4kfntn

xo=](%i+%2)=-]+40州==0+'n=]+4。

直线。P经过弦A3的中点，则kM=kop^=—

O沏,

mil1

于一=一去仁宗即直线四的斜率为余

—4km222

⑵当左=；时，由zl=64—16m2>0得一2</n<2,%[+%2=-2九为％2=

2m2—4,

点P到直线AB：y=；x+依一2|

m的距离d=

/\PAB的面积S—^\AB\-d—\m—2\-\l4—m2

—yj—(m—2)3(/n+2).

设J(m)=—(m—2)3(m+2)(—2<m<2),

则f(m)=—[3(m—2)2(m+2)+(zn—2)3]=—4(m—2)2-(zn+1),

求得角%)max=A—l)=27,所以5max=P=3小.

2.(2018•东北三校联考)已知椭圆C：5+%=1(4»>0)的焦距为

2啦,且过焦点的弦中最短的弦的长度为苧.

(1)求该椭圆。的方程.

(2)经过椭圆右焦点/2的直线和该椭圆交于A,3两点，点尸在椭圆

--►/―-►

上,0为原点，若。尸=；。4+孚。3,求直线的方程.

［解］(1)由题意得，在椭圆中。=啦,所以。2—〃=2.①

过焦点的弦中垂直于x轴的弦最短,易得该直线与椭圆的交点的

b2

纵坐标为土乙.

由弦的长度为手得誓=¥，即与二坐②

由①②式得。2=3/2=1,

所以椭圆C的方程为?+y2=i.

(2)椭圆C的方程为父+9=1,设A(%i,y)8(%2,y2),P(X3,y3),

1、/3一斗W-S

因为0。=］。4+勺。8,所以北

又因为点尸在椭圆上，

所以葭+%+半检)+(5］+与2}

方6©+>1小产1,

所以％1%2+36>2=。.

①当直线斜率为0时，其方程为y=0,

此时不妨设A(小,0),8(一小,0),不满足为%2+3y1竺=0,不符合题意,

舍去.

②当直线斜率不为0时,设直线方程为x=my+yf2,

x=my+j,

2

x7消去%,得(加+3)炉+2啦冲-1=0,

{门=1,

〃/>0,

—-2y/2m

所以｛6+竺=-^不5"，

—1

而导

所以xix2+3yly2—0yl+\[2)(my2+也)+3yly2=标＞色+也加(yi

—1—2"\/^zzz

+”)+2+3＞必=(团2+3)X^^+陋mXm213+2=0,

化简，得，篦2—4m2+3=0,解得*=1,所以直线方程为x=±y-\-\/2.

综上，直线方程为x—y~\l2—0或％+y一表=0.

3.(2018•西安模拟)如图，点尸是抛物线八/=20，(p＞O)的焦点,

点A是抛物线上的定点，且就=(2,0),点B,C是抛物线上的动点，直线

AB,AC的斜率分别为心心.

(1)求抛物线厂的方程；

(2)若22—俗=2,点D是B,C处切线的交点，记△BCD的面积为5,

证明S是定值.

［解］⑴设A(%o,yo),可知4°，驾,故州)=(2,0),