高中数学 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列经典例题集锦

华师大教育祈福分校电话老师

高中数学必修5数列题目精选精编

【典型例题】

(-)研究等差等比数列的有关性质

1.研究通项的性质

例题1.已知数列满足

(1)求a2,a3；

(2)证明：

2解：⑴

(2)证明：由已知，故

,所以证得2.

例题2.数列的前n项和记为

(I)求的通项公式；

(II)等差数列的各项为正，其前n项和为

Tn,且，又

成等比数列，求Tn.

解：(I)由可得，

两式相减得:

又故是首项为1,公比为3的等比数

(II)设的公比为d,由得，可得，可

得故可设，又

2由题意可得，解得

•••等差数列的各项为正，

2例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，

且

对任意的都成立，数列是等差数列.

⑴求数列与的通项公式；

是否存在，使得，请说明理由.

占桃(1)］左边相当

于是数列前n项和的形式，

可以联想到已知Sn求an的方法，当时，

1

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(2)把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的

取值情况.

解：(1)已知)①

时，一②

一②得，，求得,

在①中令可得得

，所以).

由题意，，，所以

...数列｝的公差为

(2),

).

单调递增，且，当时,

所以时，

又，，

所以，不存在，使得

例题4.设各项均为正数的数列｛an｝和｛bn｝满足：an、bn、an+1成等差

数列，bn>an+l>bn+1成等比数列，且al=1,bl=2,a2=3,求

通项an,bn解：依题意得：

2bn+l=an+1+an+2①

a2n+l=bnbn+1②

•/an、bn为正数，由②得，

9

2,代入①并同除以倚：a2=

3,则

当n三2时，，

又al=1,当n=1时成立，

2.研究前n项和的性质

例题5.

已知｛an｝的前n项和为，且

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(1)求a、b的值及数列｛an｝的通项公式；

,求数列｛bn｝的前n项和Tn.(2)设

解：(1)时，

而｛an｝为等比数列，得，又，得

,从而又

(2),

),得232222,

2.

1

例题6.数列｛an｝是首项为1000,公比为10的等比数列，数列｛bn｝满

足

k

（1）求数列｛bn｝的前n项和的最大值；（2）求数列｛|bn|｝的前n项和

Sn.

的等差数列，

解：（1）由题意：n,，，数列｛Igan｝是首

项为3,公差为

2,

.\n22

由，得，工数列｛bn｝的前

n项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，，

当时，

当时，

例题7.已知递增的等比数列｛an｝满足，且是

a2,a4的等差中项.（1）求｛an｝的通项公式an；（2）若

,求使nl2n23

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成立的n的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q（q>l）,由

1

alq+alq2+alq3=28,alq+alq3=2（alq2+2）,得：al=2,q=2或

al=32,q=2，an=2•2（n-l）（舍）=2n

2(2)V,ASn=-(1•2+2•22+3•23+…+n•2n)

2Sn=—(1,22+2•23+…+n,2n+l),Sn=2+22+23+…+2n—

n•2n+l=—(n—1),2n+l—2,若Sn+n・2n+l>30成立，则2n+l>

32,故n>4,，n的最小值为

*例题8.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且成等差数

列，函数

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(II)设数列｛bn｝满足

，记数列｛bn｝的前n项和为T,试比较n

与的大小.

解：(I)成等差数列，当

时，

①—②得：，，an

当n=l时，由①得，又

是以1为首项3为公比的等比数列，

(II),

与的大小，只需比较与

312的大小即可.比较

又

即且

当时，

当时，

即当且时，

3.研究生成数列的性质

4

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nn例题9.(I)已知数列，其中，且数列

为等比数列，求常数

P;

(H)设、是公比不相等的两个等比数列，

,证明数列不是等比数列.

解：(I)因为｛cn+1—pen｝是等比数列，故有

(cn+1—pen)2=(cn+2—pcn+1)(cn-pen—1),

将cn=2n+3n代入上式，得

++[2nl+3nl—p(2n+3n)]2

+H----=[2n2+3n2—p(2n+l+3n+l)],[2n+3n—p(2nl+3nl)],

即[(2—p)2n+(3—p)3n]2

---=[(2—p)2n+l+(3—p)3n+l][(2—p)2nl+(3—p)3nl].1

整理得6(2—p)(3-p)•2n•3n=0,

解得p=2或p=3.

(II)设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q,p#q,cn=an+bn.

为证｛cn｝不是等比数列只需证c2Wcl-c3.

事实上，c2=(alp+blq)2=alp2+blq2+2alblpq,

cl•c3=(al+bl)(alp2+blq2)=alp2+blq2+albl(p2+q2).

由于pNq,p2+q2>2pq,又al、bl不为零，

2c因此，故｛cn｝不是等比数列.222222

例题10.n2(nN4)个正数排成n行n歹U：其中每一行的数成等差数

列，每一列的数成，

求5=211+a22+a33+”+arm解：设数列｛alk｝的公差为d,数

列｛aik｝(i=l,2,3,n)的公比为q

则alk=all+(k—1)d,akk=[al1+(k—1)d]qkl—

,解得：all=d=q=±2依题意得：

又n2个数都是正数，

lkk/.al1=d=q=2,.*.akk=

5

华师大教育祈福分校电话老师两式相减得：

例题11.已知函数的图象经过

点A(2,1)和B(5,2),记

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设，若，求m的最小值；

(3)求使不等式对一切

均成立的最大

实数

解：(1)由题意得，

解得，

,22222①

(2)由(1)得

一②

得

,22.

设，则由

n2得随n的增大而减小

当时，又恒成立,

对

(3)由题意得恒成立

记1111(1,则

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即F(n)是随n的增大而增大

F(n)的最小值为,,即.

(二)证明等差与等比数列

1.转化为等差等比数列.

*例题12.数列｛an｝中,且满足

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵设，求Sn；

1

**⑶设是否存在最

大的整数m,使得

m

*对任意，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，

请说明理由.解：(1)由题意，an,为等差

数列，设公差为d,由题意得，

（2）若则时

对任意成立，即对任意

成立，若

的最小值是2,的最大整数值是7.

即存在最大整数使对任意，均有

a例题13.已知等比数列｛bn｝与数列｛an｝满足

华师大教育祈福分校电话老师（1）判断｛an｝是何

种数列，并给出证明；

（2）若

解：⑴设｛bn｝的公比为q,

o所以｛an｝是以log3q为公

差的等差数列.a

所以由等差数列性质可得

2.由简单递推关系证明等差等比数列

例题14.已知数列｛an｝和｛bn｝满足:

0,),且｛bn｝是以q为公比的等比数列.

(I)证明：；

(II)若，证明：数列｛cn｝是等比数列;

(III)求和：ala2a3a4

q2解法1：(I)证：由bn,

2(II)证：Van,

是首项为5,公比为q2的等比数列.

1

(III)解：由(II)得,a,于是

1111111

当时,

ala2

当时，ala2

8

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故

解法2：(I)同解法1(1).

(H)证：cn,又

是首项为5,公比为q2的等比数列.

(III)由解法1中(II)的类似方法得

.X

n.

例题15.设数列｛an｝的前n项和为Sn,且其中

(1)证明：数列

(2)设数列

求数列｛an｝是等比数列；n｛an｝的公比，数列｛bn｝满足

,b=f(b(n6N*,n22),n-1)｛bn｝的通项公式；

,求数歹lJ｛Cn｝的前n项和Tn.bn

(1)证明：由

数列｛an｝是等比数列相减得：

(3)设，

(2)解：

是首项为，公差为1的等差数列，

n(3)解：时nnn2bn2

9

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①一②得:

②所以:

例题的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2),设P1为线段

BC的中点，P2为线段OC的中点，P3为线段OP1的中点.对每一个正整数

3为线段的中点.令Pn的坐标为(xn,yn),

(1)求al,a2,a3及

(3)记，证明：｛bn｝是等比数列.

13(1)解：因为yl=y2=y4=l,y3=,y5=,所以得al=a2=a3=2.24

又由，对任意的正整数n有2

(2)证明:

恒成立，且al=2,所以｛an｝为常数数列，an=2,(n为正整数)

(2)证明：根据，及

,易证得yn+4=l—n224

(3)证明：因为(1-

又由一)一(1—4n),,

44

所以｛bn｝是首项为4,公比为4的等比数列.

10

【模拟试题】

一、填空题

1.在等差数列｛an｝中，已知al=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于=.

2.已知数列的通项，则其前n项和

3.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范

围是

2

4.在等比数列｛an｝中，a3和a5是二次方程的两个

根，则a2a4a6的值为.

5.等差数列｛an｝中,al=La3+a5=14,其前n项和Sn=100,则.6.

等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为

,b77.已知两个等差数列n和n的前n项和分别为An

和n,且n

an

bn为正整数，n的取值个数为o

8.已知数列对于任意p,，有，若

*

1

9,则

9.记数列｛an｝所有项的和为S(l),第二项及以后各项的和为S(2),第

三项及以后各项的和为，第n项及以后各项的和为S(n),若

,S⑵

，则an等于.

10.等差数列｛an｝共有项，其中奇数项之和为319,偶数项之和

为290,则其中间项

为.

2

11.等差数列｛an｝中，，若且，

,则m的值为.

12.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和.已知

,则n等于

13.已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x,都有

，且，贝

14.三个数a,b,c成等比数列，且，则b的取值范

围是.15.等差数列｛an｝中，前n项和为Sn,首项(1)若

,求n(2)设

an

，求使不等式的最小正整数n的值.

点拨：在等差数列中an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由

已知可以求出首项al与公差d,把an,Sn分别用首项al与公差d,表示即

可.对于求和公式

,2

d采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能

更2

简单一些.例如：已知判断S17,S18,S20

的正负.问题2在思考时要注

意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.16.

等差数列｛an｝的前n项和为S

V2

n,

0

(I)求数列｛an｝的通项an与前n项和为Sn；(H)设

Sn

*

n(),求证：数列｛bn｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

，对一切正整数n,点Pn位17.

在直角坐标平面上有一点列P

于函数

513

4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，为公差的等差数列

{xn}.

⑴求点Pn的坐标；

⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于x轴，

第n条抛物线cn的

2

顶点为Pn,且过点，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜

率为kn,求：

设

,1等差数列{an}的任一项

,其中al是中的最大数，，求{an}

的通项公式.

*

已知数列满足

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列满足(n6N*),证明:

是等差

1

2

n

n

数列.

【试题答案】

1.42

小

;5个

解法一：点拨利用等差数列的求和公式

“若，则

2及等差数列的性质

，，

2

11313

b2解析:7=

2

这个结论，根据条件nn解法2：点拨利用“若｛｝为等

差数列，那么

找出an和bn的通项.

解析：可设，，则

,则

,显然只需使为正整数即可，由上面的解法2可知

故，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况

能够灵活应用.反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.

8.4

解: