高中数学-直线与直线的位置关系

高中数学■直线与直线的位置关系专

导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行

或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐

标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求

两条平行直线间的距离.

1.两直线的位置关系

平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情

况.

(1)两直线平行

对于直线7i：y=kix-\~bi,72：y=k2x-\-bz1

71//，20

对于直线Z：4x+8y+G=0,

，2：4x+与y+C=0（4民GWO）,

h//

(2)两直线垂直

对于直线7i：y=k\x-YA,A：y=k?x+民,

1\_L,ki=.

对于直线/i：4x+5y+C=0,

，2：与y+G=O,

2.两条直线的交点

两条直线，：4x+5y+C=0,

I2'4X+民y+G=0,

如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的

；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共

解，那么以这个解为坐标的点必是，和的,因

此，卜、心是否有交点，就看工、心构成的方程组是否有

3.有关距离

(1)两点间的距离

平面上两点4(汨，yi),已(出刃)间的距离夕出=

(2)点到直线的距离

平面上一点尸(两，为)到一条直线1\/x+8y+C=0的距离

d=.

⑶两平行线间的距离

已知工、4是平行线，求工、办间距离的方法：

①求一条直线上一点到另一条直线的距离；

②设Z：少+C=0,72：Ax+By+G=Q,则%与心之

间的距离d=.

【自我检测】

1.(济宁模拟)若点尸(a,3)到直线4x—3y+l=0的距离为

4,且点。在不等式2x+y—3〈0表示的平面区域内，则实

数H的值为.

2.若直线九y=4(x—4)与直线心关于点(2,1)对称，则

直线恒过的定点的坐标为.

3.已知直线7i：(gx+6y+c=0,直线72：勿0=0,

则詈=-1是直线，_L，2的条件.

bn

4.(上海)已知直线，：(4—3)x+(4—4)y+l=0与4：

2(4—3)x—2y+3=0平行，则左的值是.

5.已知2x+y+5=0,则，P+炉的最小值是.

探究点一两直线的平行与垂直

【例1】已知直线Z：ax+2y+6=0和直线4：x+(a—l)y

+a—1—0,

(1)试判断，与是否平行;

(2)］」」时,求a的值.

变式迁移1已知两条直线71：ax—5y+4=0和h：(a—

l)x+y+5=0.求满足以下条件的a、6的值：

且(过点(-3,-1)；

(2)IJ/lu且原点到这两条直线的距离相等.

探究点二直线的交点坐标

【例21已知直线Z：4x+7y—4=0,22：%x+y=0,73：2x

+3服一4=0.当勿为何值时，三条直线不能构成三角形.

变式迁移2回的两条高所在直线的方程分别为2x—3y

+1=0和x+y=O,顶点/的坐标为(1,2),求a1边所在

直线的方程.

探究点三距离问题

I例3】已知点尸(2,-1).求：

(1)求过。点且与原点距离为2的直线/的方程；

(2)求过产点且与原点距离最大的直线/的方程，最大距离

是多少？

⑶是否存在过户点且与原点距离为6的直线？若存在，求

出方程；若不存在，请说明理由.

变式迁移3已知直线/过点P(3,l)且被两平行线Z：x+

y+1—0,Li\x+y+6=0截得的线段长为5,求直线/的

方程.

转化与化归思想

I例】(14分)已知直线/：2x—3y+l=0,点4(—1,-

2).求：

(1)点/关于直线/的对称点H的坐标；

(2)直线加：3x—2y—6=0关于直线/的对称直线"的方

程；

⑶直线/关于点/(—I,—2)对称的直线7的方程.

【答题模板】

解(1)设/(x,。，

解得

卜1=0,

33

X=~13f

<

4

尸I?

(3341「…

：.A)运,司」4刀］

⑵在直线力上取一点，如欣2,0),则以2,0)关于直线/

的对称点〃必在直线加'上.设对称点〃(a,b),则

"a+26+0

2X^^—3X^^+l=0,

乙乙(630］「

<得〃〔I?同〔8

6—02

—^x『一1,

1a—23

分］

设直线/与直线/的交点为M

2x~3y-\-1=0,

贝11由＜得M4⑶.

3x—2y—6=0,

又二,经过点M4,3),...由两点式得直线〃的方程为9x

-46y+102=0.[10分]

(3)方法一在/：2x—3y+l=0上任取两点，

如"(1,1),M4⑶,则/N关于点4(—1,—2)的对称点

M',N'均在直线1,上，

易得，(—3,—5),N(—6,—7),

再由两点式可得7的方程为2x-3y—9=0.[14分]

方法二'：1//!',.•.设/'的方程为2x—3y+C=0

1),

•.•点/(—i,—2)到两直线1,r的距离相等，，由点到

直线的距离公式得

I-2+6+。—2+6+1,人工、

位+1=/叶娶'解付餐—9(餐1舍去)，

/.1'的方程为2x—3y—9=0.[14分]

方法三设2(x,力为，上任意一点，

则P(x,y)关于点4(—1,—2)的对称点为〃(一2一x,—

4-力，

,点户在直线一上,/.2(—2—x)—3(—4—y)+1=0,即

2x—3/一9=0.[14分]

【突破思维障碍】

点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是

已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称

点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转

化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关

于直线的对称.

【易错点剖析】

(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴

上”的问题.

(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关

于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题.

1.在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂

直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图

形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直

时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避

免分类讨论.

iq-ci

2.运用公式d=求两平行直线间的距离时，一定要

把x、V项系数化为相等的系数.

3.对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两

种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的

对称轴建立联系.

（满分：90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1.若直线x-\-ay—a—0与直线ax—（2a—3）y—1—0互相

垂直，则a的值是.

3Ji

2.已知直线/的倾斜角为丁，直线，经过点4（3,2）、

B（a,—1）,且与/垂直，直线4：2x+5y+l=0与直线

平行，则a~\~b=.

3.（南通模拟），点在直线3x+y—5=0上，且点，到直线

x—y—1=0的距离为正，则尸点坐标为

4.（浙江）若直线x—2y+5=0与直线2x+勿y-6=0互相

垂直，则实数%=.

5.设直线/经过点（一1,1）,则当点（2,—1）与直线/的

距离最大时，直线/的方程为.

6.若直线勿被两平行线/1：x—y+l=0与4：x—y+3=0

所截得的线段的长为2铉，则力的倾斜角可以是

①15。②30。③45。（4）60°⑤75。

其中正确答案的序号是.

7.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+6=0,已

知a、6是方程V+x+c=o的两个实根，且OWcW、，则

O

这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是一

和.

8.平行四边形两相邻边方程是x+y~\~1=0和3x—y-\-4=

0,对角线交点（3,3）,则另两边的方程为

和.

二、解答题（共42分）

9.（14分）（1）已知点£（2,3）,9（一4,5）和4（一1,2）,求

过点4且与点R,幺距离相等的直线方程.

⑵过点P（3,0）作一直线，使它夹在两直线A：2x—厂2=

0与乙：x+y+3=0之间的线段48恰被点尸平分，求此直

线的方程.

10.（14分）已知的一个顶点4（—1,—4）,内角N

B,NC的平分线所在直线的方程分别为：hy+l=0,

72：x+y+l=0.求边回所在直线的方程.

11.(14分)已知直线方程(a—2)y=(3a—l)xT.

(1)无论a为何实数，该直线是否总经过第一象限？

⑵为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围.

参考答案

1.⑴4=4且廿⑤*=称#3(2)—102.公共解

力2D25

交点唯一解3.⑴7—~X2~X\一耳一4一力一

自我检测

1.-32.(0,2)3.充分不必要4.3或55.邓

课堂活动区

I例1】解题导引运用直线的斜截式y=Ax+6讨论两直线

位置关系时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情

k\~~k?

况.即若上〃，2,则L一，或两直线斜率均不存在，若

则左42=-1或左、上一个为0,另一个不存在.若

直线1\、心的方程分别为4x+£y+G=0和4x+国y+G=

0,则的必要条件是4氏—44=0,而，_L，2的充要

条件是44+38=0.解题中为避免讨论，常依据上述结论

去解题.

解(1)方法一当a=l时，Z：x+2y+6=0,

k：x=0,/i与4不平行；

当a=0时，71：y=­3,72：x—y—1=0,乙与A不平

行；

当且a#0时，两直线可化为/1：y=—^x—3,

乙

1/I、

4：y=~,x—(a+1),

1—a

a_1

lx//2~1~3解得a=_],

、一3W—a+1,

综上可知，a=—1时，h//h,否则Z与4不平行.

万法一由ABz—481=0,

得a{a—1)—1X2=0.

由4C—AGW0,得a(3-l)—1X6#O,

aa—1—1X2—0a—a—2—0,

••1\//2.9.

aa—1—1X6T^0[aa-1#6.

*'-a=—\,故当a=—1时，7i/7h,否则上与心不平行.

(2)方法一当a=l时，7i：x+2y+6=0,72：x=0,h与

，2不垂直；

当a=0时，1[：y——3,Li',x—y—1=0,1、与心不垂

直；

a

当aWl且aWO时，71：尸―/_3,

1.,.Ja]12

心：y=~,x-(<a+l),由-W*；

1—,32-----a=—l=a=j.3

2

方法一由AIA'2~\~BIBZ=G,得a+2(a—1)=O=a=j

o

变式迁移1解(1)由已知可得办的斜率必存在，且4=1

—a.

若左=0,则a—1.由7i_L72＞的斜率不存在，••6=0.

又，过（一3,—1）,—3a+b+4=0,

，5=3a—4=-1,矛盾..二此情况不存在，即&W0.

若左W0,即左=〔左=1-a.

b

由得左42=弓（1一a）=—1.

b

由上过（一3,-1）,得一3a+6+4=0,

解N得a=2,b=2.

（2）二」的斜率存在,（〃丁，，金的斜率存在,

k\=k2,即［=1—a.

b

又原点到两直线的距离相等，且乙〃4，

4

：.卜、心在y轴上的截距互为相反数，即］=6.

2

a=2,a=

解之得Q.2或4j3v

、b=2.

2

:・a、6的值为2和一2或鼻和2.

O

I例2】解题导引①转化思想的运用

三条直线」、心、411、，2、4交于一点或至

不能构成三角形『少有两条直线平行

三条直线||，2与4的交|，2与/3对应方程组

交于一点“点在上'的解适合/1的方程

②分类讨论思想的运用

本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两

类，分类应注意按同一标准，不重不漏.

解当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成

三角形.

①三条直线共点时,

4

mx~\~y=0,X2—3/n2

,得《

2x+3%y=4,I~4/no

即4与Z的交点为国林，言,，

4—4m

代入h的方程得4*了薪+7义“^^一4=0,

解得勿=鼻，或勿=2.

4

②当Z〃/2时，4=7/，/.m=~；

7

当时，4X3片7X2,

当，2〃，3时，3%2=2,即

...勿取集合〈一乎，半，9，2,中的元素时，三条直

3337b

线不能构成三角形.

变式迁移2解可以判断/不在所给的两条高所在的直线

上，则可设/用边上的高所在直线的方程分别为2x—3y

+1=0,x+y=0,

则可求得45,力。边所在直线的方程分别为

3/、

y—2=--(X—1),y—2=x—l,

即3x+2y—7=0,x—y+l=0.

3x+2y—7=0

由《,得8(7,-7),

.x+y=0

x—y+1=0

由“，得C{—2,—1),

2x—3y+l=0

所以回边所在直线的方程为2x+3y+7=0.

I例3】解题导引已知直线过定点求方程，首先想到的是

求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记斜率不存在的直线

是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率

存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理

作依据求得解决.

第(3)问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断

对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并

求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理

由.如法二.

解(1)过，点的直线,与原点距离为2,而尸点坐标为

(2,-1),可见，过尸(2,—1)且垂直于x轴的直线满足条

件.

此时/的斜率不存在，其方程为x=2.

若斜率存在，设/的方程为y+l=Hx—2),

即kx-y-2k~1=0.

,,|—2k—1,3

由已知，仔~必+]-L=2,斛仔%■=[

此时1的方程为3x—4y—10=0.

综上，可得直线/的方程为x=2或3x—4y—10=0.

⑵作图可得过，点与原点。距离最大的直线是过户点且与

如垂直的直线，

由7J_OP,得kjkop=-1»所以k]=—%—=2.

k()p

由直线方程的点斜式得y+l=2(x—2),

即2x—y—5=0.

即直线2x—y—5=0是过户点且与原点0距离最大的直

线，最大距离为^^=小.

(3)由(2)可知，过p点不存在到原点距离超过小的直线，

因此不存在过2点且到原点距离为6的直线.

变式迁移3解方法一若直线/的斜率不存在，则直线

/的方程为x=3,此时与A的交点分别是4(3,—4),

8(3,-9),截得的线段长4?=1-4+9|=5,符合题意.

当直线/的斜率存在时，则设直线/的方程为p=4(x—3)

+1,分别与直线11,，2的方程联立，

y—kx—3+1,'3k—21—4/

由.解得4

x+y+1=0,、k~\~1，k~\~1,

y—kx—3+1,3k—71—92

由1,解得无

x+y+6=0,〃+l'k+\；

由两点间的距离公式，得

'3k—234_7、口_44]_94

、4+1k~\~1>+、4+1k~\~1?25'

解得4=0,即所求直线方程为y=l.

综上可知，直线/的方程为x=3或y=l.

方法二因为两平行线间的距离

如图，直线,被两平行线截得的线段长为5,

设直线,与两平行线的夹角为夕,

则sin。=手，所以。=45°.

乙

因为两平行线的斜率是一1,

故所求直线的斜率不存在或为0.

又因为直线/过点2(3,1),

所以直线1的方程为x=3或y=l.

课后练习区

1.2或02.-23.(1,2)或(2,-1)

4.1

解析•.•直线x—2y+5=0与直线2x+/y—6=0互相垂

直，

1/2、

;-X(--)=-1,A^l.

5.3x—2y+5—0

解析当/与过两点的直线垂直时，（2,—1）与直线/的

距离最大，因此所求直线的方程为y—1=一

2—T

•(x+1),

—1—1

即3x—2y+5=0.

6.①⑤

解析

如图，由两平行线间距离可得号=隹，故"与两

平行线的夹角都是30°,而两平行线的倾斜角为45。，则

加的倾斜角为75°或15°,故①⑤正确.

解析:d=।a.',d='|[(a+6)2—4a6]

l、

=5(zl—4c),

o4NNN

8.x+y-13=03x—y—16=0

解析设另两边方程为：x+y+G=0和3x—y+G—0.

x+y+l=051

由＜得交点4（—彳，彳）

3x—y+4=0

..•对角线交点坐标为（3,3）.

则所求两直线的交点坐标为（学y）,

代入方程得G=-13,Ci=-16.

9.解（1）设所求直线为/,由于/过点/且与点X,鸟距

离相等，所以有两种情况，

①当已在/同侧时，有/〃月龙，此时可求得/的方程

为

5—3

y—2=--~~（x+l）,即x+3y-5=0；（5分）

-4—/

②当X,£在/异侧时，/必过〃出的中点（一1,4）,此时1

的方程为x=-1.（7分）

所求直线的方程为x+3y—5=0或X——1.（8分）

（2）设点A（x,y）在）上,

2

由题意知＜.,.点8(6—x,—y),

2x—y—2=0,

解方程组