高中数学 点到直线的距离教案 新人教a版必修2

点到直线的距离

一、教材分析

1.教学内容

《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修•人民教育出版社）

第二册（上），“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线

的距离公式的推导过程和公式应用.

2.地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了

高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线

方程和两条直线的位置关系等相关知识.对本节的研究，为以后直线与圆的位置

关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用.

二、目标分析

1.学情分析

我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的

利用代数方法研究几何问题的能力.我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，

但处理抽象问题的能力还有待进一步提高.

2.教学目标

根据新课程标准的理念以及前面对教材.、学情的分析，我制定了如下教学目

标.

【知识技能】

⑴理解点到直线的距离公式的推导过程;

⑵掌握点到直线的距离公式；

⑶掌握点到直线的距离公式的应用.

【数学思考】

⑴通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；

⑵通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学

阅读能力；

⑶通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力.

【解决问题】

由探索点P（N°）到直线X■y的距离，推广到探索点网44）到直线

血十分十（7=0（/+5'・0）的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体

到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运

用公式，解决问题的能力.

【情感态度】

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性,

有效激发学习兴趣.

3.教学重点、难点

为更好地完成教学目标，本课教学重点设置为：

【重点】

⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵点到直线的距离公式的应用.

【难点】

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析.

【难点突破】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用类比归

纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路.同

时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师

生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点.

三、教学方法

根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模

式.从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到•般、从具体到抽象的课堂

教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法.让学生在合作交流、共同探讨

的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化

的数学能力.

四、过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节.

点到直线的距

点到直线的距离

创设情景离公式的推导类比化石

A公式的应用

（）i±^

2W*5忒公式直用

（2。分钟）

如

HIR

-B

-

保堂小结

（2^）

环节1创设情境

在教学环节1中，以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全

距离等生活图片的欣赏，以及一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离

铁轨中心的距离小于2加的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险.创设

情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，从而有效调动学生的学

习兴趣.

（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效调动学生的

学习兴趣.）

那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2.

环节2点到直线的距离公式的推导过程

首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点F作直线，的

垂线，垂足为C点，线段”的长度叫做点F到直线，的距离.

（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础.）

接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离.由于点和直线处在一般位置，

所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象.为帮助学生更好地理解，可以补

充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫.

问题1如何求点气23到直线/°的距离？

补充的问题1,由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓

励学生利用多种解法解决本问.

方法①利用定义

由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义,

将点尸到直线，的距离，转化为点5、垂足。两点之间距离来解决.

解：过点三作？的垂线E?,设垂足为0

•.心x-L=0.P(2O)二PQy=_(1一a.

x=L

■-00J)--阂=^2-1)1+(0-1)1=屐

方法②利用直角三角形的面积公式

结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这•方法的难点是如何添作辅

助线.教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相

关知识.

解：过点声作L岸的垂线股甩，交点为点a相在

Rt^op醉.p向IM.二a点*2引-2/2.|eH-五

方法③利用三角函数

根据定义作出图象后，由于涉及到Rt、M2和直线倾斜角的，学生容易联想

利用三角函数知识解决问题.

解：过点Q作？的垂线也，垂足为Q

■.J:*-y=0,二ZQOP=451...P(2,o),二PH・2.

..幽=阳而45・=2*告=悔

方法④利用函数的思想

在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的儿何特征：连接直线外一点与

直线上任意点，所得线段中垂线段最短.以此为背景，学生可能通过函数的思想

来解决.

解：设直线[上的点QU6）,则」

:-A=0.

二|（5.=#「_孥+界'=工1|・_4."+]=^2（勺-。’+22企.

当~=1时，取得等号，即此时点Q（u）

对于问题1,学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整.改变点F

和直线『的位置，引出补充问题2.

问题2如何求点段£2）到直线2x-，+2=0的距离？

组织学生类比问题1,独立思考本问的解决方法.在课堂上只要求学生说明解

法思路，而不要求解题过程.

（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运

算.通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线

处在一般位置时，点到直线的距离的求法.）

在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出

问题3.

问题3如何求点到直线AX+0+C-。（#+即*0）的距离？

方法①利用定义的推导方法

通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法,

学生可能会类比考虑利用定义，将点F到直线『的距离转化为点尸与垂足C,两点

之间距离来处理.这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合

教材.，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程.尽管在前面的学习中，

学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略/金。，这一前提条

B

件，而直接得到与，垂直直线的斜率为我要加以纠正，并强调对于/=减石=0

的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑.

方法②利用直角三角形的面积公式的的推导方法

学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通

过面积构造法解决问题.对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学

生代表可以只说明算法步骤.与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培

养，淡化形式、注重实质.由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，

所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三

角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了.所以，可以让学生根据算法框图，

自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力.在此过程中，应该提醒学生注

意RtAP&?三边边长的求法.

方法③利用平面向量的推导方法

由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了

向量的有关知识讨论直线的一些问题.所以我班部分思维能力较强的学生，可能

会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定.尽管这种方法具有一定难度，但

根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生

明确向量数量积的两种表示方式及其儿何意义，再结合图象，师生互动，共同讨

论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图.在这一过程中，学生

可能会遇到，无法表示与直线，垂直的向量】的坐标的困难，我给予提示：可以借

助于，向量鼠与直线i的方向向量互相垂直的充要条件来解决.对于这种方法的具

体推导过程，要求学生课后，在自学教材段阅读材料“向量与直线”的基础上，

作为思考作业完成.这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法

得到点到平面的距离公式奠定了基础.

（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让

学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标

的方法研究儿何问题是一种重要的数学方法.由于点和直线处在一般位置，所以

公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象.为帮助学生理清思路，在教学中强调

了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式

证明和自学阅读.）

点到直线的距离公式

点网4㈤到直线4X+功+C=o（其中A环同时为0）的距离

取+物+0|

0—.

卬+8：

在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆

公式.同时强调：当/=电3=0时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结

论.

在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2,并与前面的计算结果进

行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性.点到直线的距离公式的

应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3.

环节3点到直线的距离公式的应用

在本环节，我安排了三个典型例题.其中例1是引用教材&,由于例题中所

给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线

方程化为一般式，在确定了系数4&的值之后，再代入公式进行计算.这一点对

于直线方程中含参数的问题尤为重要.为了强调运用公式的这一前提条件，我在

例1中补充设置了⑶、⑷两个小问.

例1求点弓LL2）到下列直线的距离：

（1）211-^-10=0.（2）3«=之

⑶«+7.（4）尸？=

（设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用.同时，“代入公式

计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数4总的值”是学生在应用

公式中，容易忽略的环节.将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误

体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的.）

在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2,进一步

提高学生灵活运用公式的能力.

例2⑴已知点4（々3）到直线y.皿+1的距离为近，求匚的值；

（2）已知点4-23）到直线尸的距离为近，求才的值.

由于例2的两个问题中，直线方程所含参数下都具有明显的几何意义：一个

表示直线的斜率，另一个表示直线在尸轴上的截距.所以解出参数；的值后，在“儿

何画板”中，以数学实验的形式，通过度量进行操作确认.其中⑴随直线」的不断

变化，学生可观察点上到直线『距离3的度量值、直线斜率二的度量值的变化趋

势.当』=近时，可发现此时两条直线的斜率二的度量值，与计算结果吻合.同

时，度量出说明点/落在两条直线所成角的角平分线上（如

图1）；在⑵中，学生可观察点/到直线/距离W的度量值、直线在9轴上截距工的

变化趋势.当/=点时，直线在1“轴上的截距上的度量值，也与计算结果吻合（如

图2）.本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系的研

究设下伏笔，并由问题⑵中两平行线间距离为2石，引出教材&的例题.

图图2

（设计意图：点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容.在例1的

基础上，增补直线方程含有参数的例2,进一步提高学生灵活运用公式的能力.在

几何画板的软件平台中，通过数学实验，让学生感受在利用代数方法研究几何问

题后，再回归儿何本身的重要性.）

例3求平行线2x-7>+8=0和2x-7_y-6=°的距离.

教材上采用了类比化归的思想，将两平行直线之间的距离，转化为点到直线

的距离来解决问题.由于两平行线间的距离处处相等，所以教材选择了一条直线

上的特殊点，便于简化计算.学生可能会提出如果在直线上任选一点？（勺6）能

否得到这两条平行线之间的距离的问题，由此引出了教材号的习题15.根据课堂

剩余时间，此题作为机动练习.

此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4.

（设计意图：紧扣教材.，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业

中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔.）

环节4课堂总结

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明.

⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路；

⑵点到直线的距离公式；

⑶点到直线的距离公式的应用前提条件.

（设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固

知识，明确方法.）

课后作业

①在自学教材段阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的

距离公式；

②教材旦习题了313、14、16

板书设计

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________________LMl如何求点名20）到直线”-尸=°的距离？

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1---------------------------------12.确2如何塞点气42）到直线2x-户2=0的距离?

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