高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.3.2 抛物线的简单几何性质(附答案)

3.3.2抛物线的简单几何性质【考点梳理】考点一抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p考点二直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．考点三直线和抛物线1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【题型归纳】题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是

()A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中）经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（

）A．B． C． D．3．（2021·全国·高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（

）A．B．或C． D．或题型二：抛物线的对称性4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（

）A．2 B． C．4 D．5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（

）A．2 B．3 C．4 D．66．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（

）A．4 B．8 C．10 D．16题型三：抛物线的弦长问题7．（2022·广西贵港·高二期末（理））设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（

）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（

）A．4 B．12 C．4或16 D．4或129．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（

）A．8 B．6 C．4 D．2题型四：抛物线的焦点弦性质问题10．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若，则点到焦点的距离为（

）A．5 B．3 C．4 D．611．（2022·浙江金华第一中学高二期中）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则(

)A． B． C． D．12．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（

）A． B．C． D．题型五：抛物线的应用13．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米14．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm15．（2020·广东揭阳·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（

）A． B． C． D．题型六：抛物线中的参数范围16．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2021·云南云天化中学教育管理有限公司高二期末（理））已知和直线，抛物线上动点P到l的距离为d，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．18．（2019·福建·莆田一中高二期中）设，是抛物线上的两点，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为时，直线在轴上的截距的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：直线与抛物线的位置关系19．（2022·全国·高二）已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（

）A． B．C． D．20．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．21．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（

）A． B．F为的中点C． D．题型七：抛物线的定值、定点问题22．（2022·河南·高二期中）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程．(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由．23．（2022·江苏徐州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点(1)求双曲线的方程；(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.24．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于两点，设，．(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．题型八：抛物线的定直线、向量问题25．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.26．（2022·上海中学东校高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A、B两点．(1)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值（用含有b的代数式表示）．(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．27．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．【双基达标】一、单选题28．（2022·河南·高二期中）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（

）A．8 B．12 C． D．29．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．30．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（

）A．2 B． C．6 D．31．（2022·全国·高二课时练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．32．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中）已知抛物线C：与直线相切．(1)求C的方程；(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．【高分突破】一：单选题33．（2022·全国·高二单元测试）已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（

）A． B．6 C． D．734．（2022·全国·高二课时练习）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（

）A． B．C． D．35．（2022·四川南充·高二期末（文））抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（

）A．－5 B．－3 C．3 D．536．（2022·湖北孝感·高二期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（

）A． B． C． D．37．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知抛物线E：（）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若，则（

）A． B． C． D．38．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（

）A． B．2 C． D．39．（2022·上海市控江中学高二期末）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（

）A． B．1 C．16 D．二、多选题40．（2022·江苏省宝楠国际学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，与轴相交于点，若，则（

）A． B． C． D．41．（2022·江苏徐州·高二期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．以AB为直径的圆与相离；B．当，；C．最小值为8；D．的坐标可为42．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（

）A．的准线方程为B．直线与相切C．若，则的最小值为D．若，则的周长的最小值为1143．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且AF＝3BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（

）A．∠CFD＝90° B．为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为 D．的面积为444．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（

）A．是等边三角形 B．C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为45．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若为抛物线上的动点，，则D．若为抛物线上的点，则三、填空题46．（2022·河南安阳·高二）已知抛物线与直线相切，则C的准线方程为______．47．（2022·四川·阆中中学高二）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.48．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且的重心坐标为，则___________.49．（2022·北京市十一学校高二期末）已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________①直线l：是曲线和的公切线：②曲线和的公切线有且仅有一条；③最小值为；④当轴时，最小值为.四、解答题50．（2022·河南·高二期中）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4．(1)求抛物线的方程;(2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．51．（2022·河南·巩义二中高二阶段练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．52．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（i）已知，，求的值；（ii）求的最小值．53．（2022·全国·高二单元测试）如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．(1)求使为等边三角形的点的坐标．(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案详解】1．A【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.故选A项.【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.2．B【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点的坐标为，所求直线方程为，即．故选：B．3．D【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.【详解】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.所以抛物线的方程为或故选：D【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.4．C【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，则，将代入可得，则.故选：C.5．B【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，∵的面积为，∴，而，∴由上整理得：，解得，则.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.6．B【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.7．C【分析】画出图形，由题意可得，，然后由结合抛物线的定义与三角形面积即可求解【详解】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，所以，结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．又因为，，所以的面积为，解得．故选：C8．A【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.设，，因为，，所以.因为，所以，.设直线的方程为，联立方程组得，则.因为，所以或.因为，所以，故.故选：A9．C【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案.【详解】由题可知，解得，所以的面积为，故选：C10．A【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,由题意知，，即，因为，所以,故,所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，故选：A.11．B【分析】联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求．【详解】由得，，设，，∵，∴，∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，∴，∴，∴，解得，由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，圆心(2，1)到l的距离，∴﹒故选：B．12．D【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：D.13．B【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出点坐标，求出，即可求解.【详解】以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，所以，所以米.故选：B.14．C【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点代入抛物线方程求得，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离.【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：因为灯口直径为，灯深，所以点在抛物线上.由题意设抛物线的方程为，由于点在抛物线上，得.∴∴焦点坐标为∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm故选：C15．C【分析】建立直角坐标系，设出抛物线方程，代入即可求解.【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位上升后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为.故选：C.16．B【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，，∵，∴,由题意得，直线与直线的距离，即，解得，∴,故选:B.17．C【分析】先求出抛物线的准线方程为直线，再根据抛物线的基本性质可得当焦点、P点、A点共线时距离最小，从而得到答案.【详解】抛物线准线为，P到其距离为，则，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法，属于中档题.18．A【分析】首先设直线的方程为，直线的方程为，直线与抛物线方程联立，求得线段的中点，和，利用中点也在直线上，表示的关系，求得截距的取值范围.【详解】设直线的方程为，则的斜率为-2，设直线的方程为，与抛物线联立，化简得，，且，故线段的中点，由题意可知点在直线上，，即，解得：，故直线在轴上的截距的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，重点考查转化，逻辑推理能力，属于中档题型，本题的关键是转化中点在直线上.19．D【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答.【详解】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得：，设，于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，即有，则，解得，因此，解得，所以直线l的方程为：，即.故选：D20．A【分析】结合抛物线定义可得，可知当最大时，最大，则当直线与抛物线相切时，取得最大值；将直线方程与抛物线方程联立，利用可求得点坐标，结合双曲线定义可求得，结合可得，由此可得双曲线离心率.【详解】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义知：；由得：，当取最大值时，最小，即最小，则最大；当直线与抛物线相切时，最大；设直线，由得：，，解得：，，解得：，；由双曲线定义知：，则；又，则，双曲线离心率.故选：A.21．D【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.【详解】依题意，设直线的方程为，由消去并化简得，解得，所以，所以，A选项正确.直线的方程为，令，则，故，由于，，所以是的中点，B选项正确，，，，C选项正确，D选项错误.故选：D22．(1)(2)存在．【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.【详解】（1）由题意得，，故，又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，所以右焦点到渐近线的距离为，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为．（2）假设存在，设，，由题意知，直线斜率不为0，设直线，联立，消去，得，则，，且，，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，则，即，则，整理得，故，即，因为，所以，故存在．23．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意，代入点，求解即可；（2）设，联立直线和双曲线，用坐标表示，结合韦达定理，可得或,分析即得解.（1）由等轴双曲线知，又过点，所以，

解之得，所以双曲线的方程为.（2）设，,联立得,当时，,又因为，即,即，化简得解得或,当,直线方程为,过定点,与重合，不成立，舍去；当，直线方程为，恒过点.24．(1)；(2)证明见解析；【分析】(1)由题意知C：，进而设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得，再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得，证明结论.（1）当时，双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与C联立得，，则，则，由，可得，所以，所以．（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，则，由,得，所以，，由点M在双曲线C上，可得，化简得，同理，故是方程的两根，则为定值.25．(1)(2)或【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程(1)设点，由题意得，式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与曲线的交点坐标为.所以与不垂直，即，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得由和，得.，因为，所以.所以，解得所以直线的方程为，即或.26．(1)(2)证明见解析，定值为(3)【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出，利用三角形是正三角形，求解，即可得到双曲线方程；（2）设，写出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，分别求出点到两条渐近线的距离，整理即可得出结论；（3）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出、坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．(1)解：双曲线的左、右焦点分别为，，，，直线过且与双曲线交于，两点，直线的倾斜角为，△是等边三角形，当时，，所以，则有，，即，解得，所求双曲线方程为：，其渐近线方程为；(2)证明：设，双曲线的渐近线方程为，则点到直线的距离，则点到直线的距离，则，又因，所以，所以，所以点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，为；(3)解：，双曲线，可得，，设，，，，直线的斜率为：，直线的方程为：，联立，消去可得：，，可得，则，设为的中点，则，则，则，得，解得，所以．即的斜率为．27．(1)(2)【分析】（1）根据题意列方程组求解（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解(1)，解得，故双曲线方程为(2)，故设直线方程为则，由得：故，点在双曲线上，则，解得直线l的斜率为28．C【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，所以，，．因为，所以，，．所以，．又因为，所以，所以为等边三角形，所以．若在第三象限，结果相同．故选：C29．A【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.【详解】设直线与相切，联立与得：，由，得：，则直线为，故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，由两平行线间距离公式得：.故选：A30．C【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．故选：C．31．(1)(2)【分析】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；选择条件②，可解得点坐标，进而得到抛物线的方程，选择条件③，可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；（2）由（1）可得焦点坐标，设两点坐标，联立直线的方程与抛物线的方程，利用韦达定理求解线段的值，利用点到直线的距离公式求解焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求解.（1）解：选择条件①，由抛物线的定义可得，因为，所以，解得，故抛物线C的标准方程为．选择条件②，因为，所以，，因为点在抛物线C上，所以，即，解得，所以抛物线C的标准方程为．选择条件③．当轴时，，所以．故抛物线C的标准方程为．（2）解：设，，由（1）知．由，得，则，，所以，故．因为点F到直线l的距离，所以的面积为．32．(1)(2)或【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】（1）联立方程，消去x得，∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）故抛物线的方程C：.（2）设l的方程为，则线段AB的中点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，∵，则，即，∴，联立方程，消去x得，，则，AB的中垂线的方程为，∴，则，即，解得，故l的方程为或.33．C【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.【详解】由知：；设，结合圆和抛物线的对称性可得，结合，得为等边三角形，不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，因为点A是抛物线C：上一点，所以，所以，得A的坐标为，故，故选：C34．A【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.【详解】设，，由，得，则．又，即．故选：A．35．B【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：设，，由题意，直线的斜率存在，因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，由，可得，所以，，，所以，故选：B.36．C【分析】利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.【详解】由题意知：，；，，；令，则，，则当，即时，取最大值，此时.故选：C.37．B【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：在中，可，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故选：B．38．D【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解【详解】，设，，，则，得，由抛物线定义得故选：D39．B【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.设，则.由，则，所以，，因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.于是.故选：B.【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.40．ACD【分析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，四边形为矩形，四边形为平行四边形，从而可判断各选项正误．【详解】解：如图所示：连接，，的焦点为，准线为：，为抛物线上一点，，分别为，的中点，，垂直于点，，，则选项A正确；，为等边三角形，，则选项C正确；，四边形为矩形，则选项B错误；四边形为平行四边形，，则选项D正确.故选：ACD.41．BCD【分析】由题意可得，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD，由抛物线的通径可判断C【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以，所以抛物线，抛物线的准线方程为，焦点为，设，对于A：由抛物线的定义易知：，所以以AB为直径的圆与相切，故A错误；对于B：由得，则，如图，过点分别作准线得垂线，垂足分别为,过作,垂足为，由得，则，，所以，所以，故B正确；对于C：当为抛物线的通径时，，故C正确；对于D：令，解得，所以当时，，，当时，则有，即，故D正确，故选：BCD42．BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所以，所以，故C正确；如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD43．AC【分析】对于A、B，结合抛物线定义可得；对于C、D，由直线与抛物线联立结合韦达定理及三角形面积公式可得.【详解】如图，过点M向准线l作垂线，垂足为N，设，．对于A，因为AF＝AC，所以∠AFC＝∠ACF，又因为∠OFC＝∠ACF，所以∠OFC＝∠AFC，所以FC平分∠OFA，同理可知FD平分∠OFB，所以∠CFD＝90°，故A正确；对于B，假设△CMD为等腰直角三角形，则∠CFD＝∠CMD＝90°，则C，D，F，M四点共圆且圆的半径为，又因为AF＝3BF，所以AB＝AF＋BF＝AC＋BD＝2MN＝4BF，所以MN＝2BF，所以CD＝2MN＝4BF，所以CD＝AB，显然不成立，故B错误；对于C，设直线AB的方程为x＝my＋1，联立，所以，所以，又因为AF＝3BF，所以，所以，所以，所以，所以直线AB的斜率为，故C正确；对于D，不妨取，则，所以，所以，故D错误．故选：AC44．ACD【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.【详解】根据题意作图，如图所示:因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，又，故，A在抛物线上，所以，所以为等边三角形，故A正确；因为，则轴，过作于点，则点为的中点，点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，所以，解得，则，故B错误；焦点到准线的距离为，故C正确；抛物线的方程为，故D正确．故选：ACD．45．ABC【分析】圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；所以|PQ|=64，选项A正确；因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，选项B正确；如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，所以，选项D错误.故选：ABC.46．【分析】联立得，由题知，得，求出抛物线方程继而得解.【详解】联立得，因为抛物线与直线相切，所以，计算得，（舍），所以抛物线的准线方程为：.故答案为：.47．【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以.又，所以，所以，则，所以抛物线的方程为.故答案为：.48．【分析】根据重心坐标求出直线的斜率，再根据抛物线的性质计算的值．【详解】解：抛物线的焦点坐标为，设，，则，，即，，若直线斜率不存在，则的重心在轴上，不符合题意；故直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立方程组，消去可得，，故．不妨设