高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.1.1 椭圆及其标准方程(附答案)

3.1.1椭圆及其标准方程【考点梳理】考点一：椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.考点二：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2考点三：求轨迹方程的方法直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；

（2）写出适合条件的点M的集合；

（3）将“翻译”成代数方程；（4）化简代数方程为最简形式.【题型归纳】题型一：利用椭圆的定义求方程1．（2021·湖北·高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（

）A． B． C． D．题型二：椭圆的焦点三角形问题4．（2022·四川省绵阳江油中学高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．325．（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．题型三：根据方程表示椭圆求参数问题7．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件8．（2021·全国·高二专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（

）A． B．且C． D．题型四：椭圆的标准方程的求法10．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．11．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．12．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．题型五：与椭圆有关的轨迹问题13．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．14．（2021·四川·高二期末（文））若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．15．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（

）A． B．C． D．【双基达标】一、单选题16．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）已知表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．17．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（

）A． B． C． D．18．（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（

）A． B．2 C． D．319．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．20．（2022·四川内江·高二期末（理））已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．921．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴经过两点，；(2)过点，且与椭圆有相同的焦点.22．（2022·全国·高二课时练习）已知，当m为何值时，(1)方程表示椭圆；(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．【高分突破】一：单选题23．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．24．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（

）A．3 B．9 C． D．25．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（

）A． B．2 C． D．426．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．327．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（

）A．3 B．4 C．6 D．1128．（2022·吉林·长春外国语学校高二期末）方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（

）A． B． C．或 D．29．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）①曲线关于坐标原点对称；②曲线是一个椭圆；③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.A．① B．①② C．③ D．①③30．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．31．（2022·重庆八中高二阶段练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）对于曲线，下面四个说法正确的是（

）A．曲线不可能是椭圆B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件33．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值34．（2022·江苏·高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为35．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为三、填空题36．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________.37．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．38．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为________.39．（2022·全国·高二单元测试）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．四、解答题40．（2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若，求椭圆的标准方程．41．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．【答案详解】1．D【详解】因为，所以．因为，所以，，故椭圆C的标准方程为．故选：D.2．B【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解【详解】由，得，又因为，所以，由，得，所以，又.因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程是.故选：B.3．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得，，即可得到椭圆的方程．【详解】，，又，，又，，，，，，，在轴上．在中，，在中，由余弦定理可得．，可得，解得．．椭圆的方程为：．故选：C．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.4．C【分析】由已知条件，结合得出，然后利用椭圆的定义可得答案．【详解】∵，，∴，∴，∴∴的周长为．故选：C．5．B【分析】根据已知条件求得，由此求得的面积.【详解】由题意得，，，因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为，把代入椭圆方程解得，所以，因为A在直线MN上，所以，解得．又，，解得，令，则，即，因为M为椭圆的右焦点，所以，由椭圆的定义可知，，因为的周长为6，所以，所以，所以，，所以，，.所以．故答案为：．6．B【分析】利用椭圆的定义求出的值，进而可得出的值，由此可求得面积的最大值为，即可得解.【详解】由椭圆的定义可得的周长为，，则，则面积的最大值为，故选：B.7．A【分析】根据椭圆的定义和必要不充分条件定义可得答案.【详解】若方程表示椭圆，则，，“”是“方程表示椭圆”的必要条件；反过来，当时，如，或，方程表示圆，“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：A．8．D【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解.【详解】方程表示焦点在y轴上的椭圆,，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查方程表示椭圆求参数范围，熟记椭圆标准方程的要求条件是解题关键，属于基础题.9．D【分析】由条件可得，从而可得答案.【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆则，则故选：D10．C【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．故选：C11．C【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.故选：C.12．C【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，，即可求解．【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，，把点代入椭圆方程中得到，

令可得．由的面积为，，即，又，．解得，．故椭圆方程为．故选：C．13．D【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.14．A【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A15．B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B.16．B【分析】根据曲线方程表示焦点在y轴上的椭圆，列出相应的不等式，即可求得答案.【详解】由题意表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故选：B17．C【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得，从而求得的面积.【详解】设，根据椭圆的定义以及余弦定理得，整理得，即，所以的面积为.故选：C18．B【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案【详解】解：由椭圆可得即，因为P为椭圆上的点，所以，因为，所以，，故，故选：B．19．C【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示．由题意，得，．在中，①．又②．由①②，得a＝2，所以，所以椭圆C的标准方程为．方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a＝2或（舍去），所以，，故椭圆C的标准方程为．故选：C.20．A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，②2-①整理得：，所以故选：A21．(1)(2)【分析】（1）直接设椭圆的一般式，然后代入点的坐标，求解方程即可得到结果.（2）根据题意可设所求的椭圆方程为，然后代入点的坐标即可求得.（1）设椭圆方程为则，解得故椭圆方程为（2）由已知椭圆方程可得焦点坐标为，则可设所求的椭圆方程为:，（其中）代入点，解得，所以所求椭圆方程为:22．(1)3<m<7或7<m<11(2)7<m<11(3)3<m<7【分析】（1）（2）（3）根据椭圆标准方程的定义，列出不等式即可.（1）若方程表示椭圆，则，解得3<m<7或7<m<11．（2）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7<m<11．（3）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得3<m<7．23．B【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.【详解】因为，所以三点共线，且，因为分别为和的中点，所以，所以，设，，，由，可得，求得，，所以，因为点在椭圆上，所以，求得，，所以椭圆的方程为.故选：B.24．C【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.【详解】根据椭圆的定义有，①根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积．故选:C25．A【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，所以，，由正弦定理边角关系知：.故选：A26．C【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.故选：C.27．A【分析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知，因为，所以，因为点分别是线段，的中点，所以是的中位线，所以.故选：A.28．D【分析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.29．D【分析】对于①在方程中换为，换为可判断；对于②分析曲线的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.【详解】在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称所以①正确,当时，曲线的方程化为，此时当时，曲线的方程化为，此时所以曲线的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.当，时，设，设，则，（当且仅当或时等号成立）所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故③正确.故选：D30．A【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A31．B【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B32．CD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；对于B选项，因为或，所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，又因为，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.故选：CD.33．ABC【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC34．BD【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.【详解】解：对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，，，，故，进而，故C错误，对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD35．BD【分析】A.由|PQ|的最