高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)4.2.2等差数列的前n项和公式2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第二册)(原卷版+解析)

4.2.2等差数列的前n项和公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等差数列前n项和；数列前n项和判断数列是否为等差数列；等差数列前n项和求通项；含绝对值的等差数列前n项和；等差数列前n和的性质；两个等差数列前n项和的比；等差数列前n项和的二次函数特征；求等差数列前n项和的最值；等差数列前n项和求参数；等差数列奇数项或偶数项的和；等差数列的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列考点讲解考点讲解考点1：求等差数列前n项和例1．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧】公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【变式训练】1．若是等差数列，且是方程的两个根，则（

）A．4046 B．4044 C． D．2．已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.3．已知等差数列满足：，，其前n项和为.求数列的通项公式及.考点2：由等差数列前n项和判断数列是否为等差数列例2．（多选）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（

）A．（，为常数，）； B．（为常数，）；C．； D．的前项和（）.【方法技巧】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【变式训练】1．已知数列的前n项和是.当________时，是公差________的等差数列.考点3：等差数列前n项和求通项例3．（多选）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（

）．A．是递增数列 B．是递减数列C． D．数列的最大项为和【方法技巧】根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.【变式训练】1．设数列前n项和为，，求数列的通项公式．2．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？3．已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)设，试判断是否为等差数列，并说明理由．考点4：含绝对值的等差数列前n项和例4．在等差数列中，，，求数列的前n项和．【方法技巧】根据已知条件列方程组求出，再求出，然后可判断数列的前5项为正，其余各项为负，再分和两种情况求解.【变式训练】1．等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和的公式．考点5：等差数列前n和的性质例5．设等差数列的前项和为，若，，则______．【方法技巧】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，进而即得【变式训练】1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．2802．等差数列的前n项和为，若，，则（

）．A．27 B．45 C．18 D．363．等差数列的前n项和为，若，，则______．考点6：两个等差数列前n项和的比例6．设等差数列的前项和分别是，且，则__________.【方法技巧】根据等差数列前项和公式求解即可.【变式训练】1．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（

）A． B． C． D．2．若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．3．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.考点7：等差数列前n项和和n的比例7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【方法技巧】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【变式训练】1．若等差数列的公差为，前项和为，记，则（

）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为的等差数列C．数列是公差为的等差数列D．数列是公差为的等差数列2．已知等差数列的前项和为，，，则___________.3．等差数列中，，前项和为，若，则______.考点8：等差数列前n项和的二次函数特征例8．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【方法技巧】根据等差数列前n项和的函数特征，即可根据对称性求解.【变式训练】1．已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2（多选）．等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（

）A．B．C．D．3.等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．考点9：求等差数列前n项和的最值例9．记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【方法技巧】设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定.【变式训练】1．等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（

）A． B． C． D．2（多选）．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．C． D．取得最大值时，考点10：等差数列前n项和求参数例10．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．【方法技巧】根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.【变式训练】1．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，（

）A． B． C． D．2．在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（

）A．17 B．18 C．19 D．20考点11：等差数列奇数项或偶数项的和例11．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【方法技巧】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【变式训练】1．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．2．已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．考点12：等差数列的应用例12．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【方法技巧】根据等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.【变式训练】1．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（

）A．134 B．133 C．114 D．1132．广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368知识小结知识小结等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列巩固提升巩固提升一、单选题1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（

）A．18 B．27 C．36 D．92．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（

）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝（

）A．15 B．16 C．19 D．205．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．266．记为等差数列的前n项和，若则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，且，数列的前m项和，若，则m的值为（

）A．9 B．11 C．12 D．148．已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（

）A． B．C． D．三、填空题11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为___．12．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.13．已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．14．已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.四、解答题15．已知数列的前项和满足（），且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足（），且，求数列的前项和．16．为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.(1)求；(2)求数列的前2022项和.4.2.2等差数列的前n项和公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等差数列前n项和；数列前n项和判断数列是否为等差数列；等差数列前n项和求通项；含绝对值的等差数列前n项和；等差数列前n和的性质；两个等差数列前n项和的比；等差数列前n项和的二次函数特征；求等差数列前n项和的最值；等差数列前n项和求参数；等差数列奇数项或偶数项的和；等差数列的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列考点讲解考点讲解考点1：求等差数列前n项和例1．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】方法一：∵∴∴∴，方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，故选:B【方法技巧】公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【变式训练】1．若是等差数列，且是方程的两个根，则（

）A．4046 B．4044 C． D．【答案】C【分析】由题可得，然后利用等差数列的性质及求和公式即得.【详解】因为是方程的两个根，所以，所以，所以.故选：C.2．已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.【答案】55【分析】根据等差数列性质可求得，化简，即可求得答案.【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，，则，即，所以，故答案为：553．已知等差数列满足：，，其前n项和为.求数列的通项公式及.【答案】，【分析】设等差数列的首项为，公差为，则由题意可得，从而解出与的值即可得出数列的通项公式及．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，依题意可得，解得，，．考点2：由等差数列前n项和判断数列是否为等差数列例2．（多选）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（

）A．（，为常数，）； B．（为常数，）；C．； D．的前项和（）.【答案】AC【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【方法技巧】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【变式训练】1．已知数列的前n项和是.当________时，是公差________的等差数列.【答案】

【分析】根据等差数列的前n项和公式，得到要使得为等差数列，得到且，即可求解.【详解】由等差数列的前n项和公式，可知，要使得为等差数列，则满足，解得，即，又由，所以公差.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中正确理解等差数列的前n项和公式，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.考点3：等差数列前n项和求通项例3．（多选）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（

）．A．是递增数列 B．是递减数列C． D．数列的最大项为和【答案】BCD【详解】解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；当时，，当时，由，得，两式相减得：，又，适合上式，所以，故C正确；因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD【方法技巧】根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.【变式训练】1．设数列前n项和为，，求数列的通项公式．【答案】【分析】利用，求得数列的通项公式【详解】解：由，当时，；当时，，∵不适合上式，所以数列的通项公式2．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【答案】是等差数列，首项和公差分别是和2.【分析】利用得出通项，最后不忘检验是否适合通项即可.【详解】解:①当时,②当时,由得又，满足，所以此数列的通项公式为.因为，所以此数列是首项为,公差为2的等差数列.3．已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)设，试判断是否为等差数列，并说明理由．【答案】(1)(2)不能是等差数列，理由见解析【分析】（1）当，可得答案；（2）利用等差中项判断可得答案.(1)当时，，当，，当时，，综上.(2)依题意有，，，，知不能是等差数列．考点4：含绝对值的等差数列前n项和例4．在等差数列中，，，求数列的前n项和．【答案】【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．所以．由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．数列的前n项和．所以当时，；当时，，即．【方法技巧】根据已知条件列方程组求出，再求出，然后可判断数列的前5项为正，其余各项为负，再分和两种情况求解.【变式训练】1．等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可；（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解.（1）由题意得：，解得，；（2），当时，，；时，，；当时，；当时，；即，综上所述：.2．已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和的公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求解通项公式即可；（2）分别讨论当及时两种情况下与的关系，进而求得与的关系，综合两种情况，从而得出的前项和的公式.(1)当n＝1时，；当时，，显然时也满足上式，所以.(2)由（1）知，所以当时，；当时，，①当时，，则，此时②当时，，=.综上可得：.考点5：等差数列前n和的性质例5．设等差数列的前项和为，若，，则______．【答案】32.【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得，∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故答案为：32.【方法技巧】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，进而即得【变式训练】1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.2．等差数列的前n项和为，若，，则（

）．A．27 B．45 C．18 D．36【答案】B【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，所以，所以，故选：B．3．等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】7【分析】方法一：设出公差，利用题干条件得到，进而求出公差，再求出首项，利用求和公式进行求解；方法二：利用题干条件得到，再利用求和公式的性质进行求解.【详解】方法一：设公差为d，由，∴，又，∴，，∴．方法二：由已知得，∴，又，所以．故答案为：7考点6：两个等差数列前n项和的比例6．设等差数列的前项和分别是，且，则__________.【答案】【详解】由等差数列的性质可知，则.故答案为：【方法技巧】根据等差数列前项和公式求解即可.【变式训练】1．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设，，由，直接计算即可.【详解】设，，.则，，所以.故选：B.2．若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的前项的和的公式即可转化成,进而求解.【详解】因为和是等差数列,故故选:C3．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.【答案】【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：依题意可得；故答案为：考点7：等差数列前n项和和n的比例7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．【方法技巧】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【变式训练】1．若等差数列的公差为，前项和为，记，则（

）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为的等差数列C．数列是公差为的等差数列D．数列是公差为的等差数列【答案】AC【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.【详解】由已知可得，对于AB选项，，所以，数列是公差为的等差数列，A对B错；对于C选项，，所以，数列是公差为的等差数列，C对；对于D选项，，所以，数列是公差为的等差数列，D错.故选：AC.2．已知等差数列的前项和为，，，则___________.【答案】【分析】设等差数列的公差为，推导出数列为等差数列，且公差为，求出的值，可求得的值，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为，所以，，故，所以，.故答案为：.3．等差数列中，，前项和为，若，则______.【答案】【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：考点8：等差数列前n项和的二次函数特征例8．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，所以可看成关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，可得，解得k＝2022．故选：C【方法技巧】根据等差数列前n项和的函数特征，即可根据对称性求解.【变式训练】1．已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得，利用二次函数的性质即得；或在时恒成立，即求；或数列从第8项开始后面的项都是正数即可，，即得.【详解】解法一：∵，∴，∴，∵数列在时为递增数列，∴，解得．解法二：数列在时为递增数列，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，∴．解法三：数列在时为递增数列只需满足数列从第8项开始，后面的项都是正数即可，∴，即．故选：D.2（多选）．等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】等差数列的前项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案．【详解】等差数列中，，公差，为其前项和，，点在曲线上，，二次函数开口向下，故A，B不可能；对称轴，对称轴在轴的右侧，故C可能，D不可能.故选：ABD3.等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．【答案】9【分析】先由求得，由求得的取值范围，从而求得正确答案.【详解】因为，，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整数n的值为9.故答案为：考点9：求等差数列前n项和的最值例9．记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以数列满足：当时，；当时，；当时，，所以取得最大值时，的取值为11或12.【方法技巧】设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定.【变式训练】1．等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，列方程求得，再求解的最小值即可.【详解】解：设等差数列的公差为，因为等差数列中，，，所以，解得，所以，且时，所以的最小值为.故选：A2（多选）．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．C． D．取得最大值时，【答案】AB【分析】对于ABC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.【详解】由，得即，又，所以，选项A正确；由；，得，选项B正确；由，得，又，所以，选项C错误；，令，得，解得，又，所以，即数列满足：当时，，当时，，所以取得最大值时，，选项D错误．故选：AB．考点10：等差数列前n项和求参数例10．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．【答案】【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为．故答案为：【方法技巧】根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.【变式训练】1．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由条件求，再代入等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】由条件可知，当时，，，解得：，因为，所以，得，，解得：或（舍）.故选：D2．在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】由题意，可得，又，所以，进而可得，，从而可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，∵，∴，∴，∴，∴，，∴取得最大值.故选：C.考点11：等差数列奇数项或偶数项的和例11．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【详解】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．【方法技巧】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【变式训练】1．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．【答案】【分析】由题意可得，可解得它们的值，而，代入可解．【详解】解：设首项为，公差为，则由题意可得，解得又，．2．已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．【答案】【分析】设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，，由此能求出数列的通项公式．【详解】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，∴，①∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于，+×=33，②∵，∴，③由①②③，解得，故．数列的通项公式为．考点12：等差数列的应用例12．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【详解】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列是公差为17的等差数列，因为绵的总重量为996斤，所以，解得，则第八个儿子分到的绵．故选：D．【方法技巧】根据等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.【变式训练】1．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（

）A．134 B．133 C．114 D．113【答案】B【分析】根据等差数列的前项和公式计算．【详解】由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28，所以所有齿数之和为．故选：B．2．广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368【答案】C【分析】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，由条件确定两个数列的特征，再分别求两个数列的前8项和即可.【详解】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，由已知可得，，，，，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，故，数列为公差为的等差数列，故，设数列，的前项和分别为，所以，，这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，故选：C.知识小结知识小结等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列巩固提升巩固提升一、单选题1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（

）A．18 B．27 C．36 D．9【答案】A【分析】根据等差数列的性质计算出，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，解得：，所以.故选：A2．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案.【详解】数列满足，则数列是等差数列，设等差数列的公差为.因为，所以，即.所以，所以，，，所以，.故选：B3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（

）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长．【详解】由题意知：从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，，解得，，芒种日影长为（寸）尺5寸．故选：B4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝（

）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】B【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.【详解】设等差数列的公差为，所以，解得，∴.故选：B.5．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【分析】由题意，根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，可知数列为等差数列，则，则当时，取最大值.故选：B.6．记为等差数列的前n项和，若则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等差数列通项公式及前n项和公式计算得解.【详解】设等差数列的公差为d，，联立解得，则的公差为3．故选：C．7．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，且，数列的前m项和，若，则m的值为（

）A．9 B．11 C．12 D．14【